Toán 11 tập 2 trang 88 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Giải toán 11 tập 2 trang 88 Bài 2 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 80 toán 11 tập 2

Câu hỏi khởi động trang 80 Toán 11 Tập 2:

Trong Hình 9, cột gỗ thẳng đứng và sàn nhà nằm ngang gợi nên hình ảnh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được hiểu như thế nào?

Lời giải:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được hiểu là đường thẳng nằm thẳng đứng so với mặt phẳng.

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 80 Toán 11 Tập 2:

Hình 10 mô tả một người thợ xây đang thả dây dọi vuông góc với nền nhà. Coi dây dọi như đường thẳng d và nền nhà như mặt phẳng (P), khi đó Hình 10 gợi nên hình ảnh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Người thợ xây đặt chiếc thước thẳng ở một vị trí tùy ý trên nền nhà. Coi chiếc thước thẳng đó là đường thẳng a trong mặt phẳng (P), nêu dự đoán về mối liên hệ giữa đường thẳng d và đường thẳng a.

Lời giải:

Quan sát Hình 10 ta dự đoán rằng đường thẳng d và đường thẳng a vuông góc với nhau.

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Toán 11 trang 81 Tập 2

Hoạt động 2 trang 81 Toán 11 Tập 2:

Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

Lời giải:

Ta thấy: khi a và b thay đổi (đóng mở cửa) thì đường thẳng d luôn vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.

Như vậy ta có thể nói rằng đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) hay đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Luyện tập 1 trang 81 Toán 11 Tập 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).

Lời giải:

Do SA ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD).

Suy ra SA ⊥ BD hay BD ⊥ SA.

Vì ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC.

Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC; SA ∩ AC = A trong (SAC)

Suy ra BD ⊥ (SAC).

3. Tính chất

Hoạt động 3 trang 81 Toán 11 Tập 2:

Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

Lời giải:

a) Ta có: a ⊥ b, a ⊥ c và b ∩ c = O trong (P).

Suy ra a ⊥ (P).

Vậy mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a.

b) Theo câu a, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), với mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c cùng vuông góc với đường thẳng a và b ∩ c = O.

Mà qua hai đường thẳng b và c cắt nhau, có một và chỉ một mặt phẳng, tức là tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau b và c.

Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với a.

Luyện tập 2 trang 81 Toán 11 Tập 2:

Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

Lời giải:

Giả sử (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

Khi đó ta có đường thẳng d’ đi qua M và d // d’ nên d’ ⊥ (P) tại M.

Lại có a đi qua M và a ⊥ d’ nên a ⊂ (P).

Vậy đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

Toán 11 trang 82 Tập 2

Hoạt động 4 trang 82 Toán 11 Tập 2:

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua O. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b (Hình 18).

a) Giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)?

Lời giải:

a) Do a ⊥ (Q) và ∆ ⊂ (Q) nên a ⊥ ∆.

b ⊥ (R) và ∆ ⊂ (R) nên b ⊥ ∆.

Mà a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P)

Suy ra ∆ ⊥ (P).

Vậy giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Theo câu a, ta có ∆ ⊥ (P) với ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R); với hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b.

Vì hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng. Tức là tồn tại duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua O (điểm chung của 2 mặt phẳng (Q) và (R)).

Vậy có duy nhất một đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P).

Luyện tập 3 trang 82 Toán 11 Tập 2:

Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, a ⊥ (P). Giả sử điểm M thỏa mãn OM ⊥ (P). Chứng minh rằng M ∈ a.

Lời giải:

Ta có a ⊥ (P) tại O.

Mặt khác, có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, tức là tồn tại duy nhất đường thẳng a đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (P).

Nên nếu OM ⊥ (P) thì M ∈ a.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Toán 11 trang 83 Tập 2

Hoạt động 5 trang 83 Toán 11 Tập 2:

Trong Hình 19, hai thanh sắt và bản phẳng để ngồi gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P).

Quan sát Hình 19 và cho biết:

a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b hay không;

b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau hay không.

Lời giải:

Quan sát Hình 19 ta thấy:

a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b.

b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau.

Trang 84 toán 11 tập 2

Luyện tập – vận dụng 4 trang 84 toán 11 tập 2

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại điểm O. Lấy các điểm A, B thuộc d khác O; các điểm A’, B’ thuộc (P) thỏa mãn $AA’ \bot (P),\,BB’ \bot (P)$. Chứng minh rằng: $\frac{{AA’}}{{BB’}} = \frac{{OA}}{{OB}}$

Lời giải:

Do ${\rm{AA}}’ \bot (P),\,BB’ \bot (P) \Rightarrow {\rm{AA’ //}}\,{\rm{BB’}}$

Xét  có ${\rm{AA’ //}}\,{\rm{BB’}} \Rightarrow \frac{{{\rm{AA}}’}}{{{\rm{BB’}}}} = \frac{{OA}}{{OB}}$ (Định lý Thalès)

Hoạt động 6 trang 84 toán 11 tập 2

Trong Hình 21 , hai mặt sàn của nhà cao tầng và cột trụ bê tông gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt và đường thẳng a.

Quan sát Hình 21 và cho biết:

a)     Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q) hay không?

b)    Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau hay không?

Lời giải:

a)     Nếu (P) // (Q) và $a \bot (P)$ thì $a \bot (Q)$

b)    Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng song song với nhau.

Trang 85 toán 11 tập 2

Luyện tập – vận dụng 5 trang 85 toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Mặt phẳng (P) khác với mặt phẳng (ABC), vuông góc với đường thẳng SA và lần lượt cắt các đường thẳng SB, SC tại hai điểm phân biệt B’, C’. Chứng minh rằng B’C’ // BC

Lời giải:

Do $\left\{ \begin{array}{l}(P) \bot SA\$ABC) \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow (P)\,//\,(ABC) \Rightarrow B’C’\,//BC$

Hoạt động 7 trang 85 toán 11 tập 2

Trong mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian.

a)     Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?

b)    Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm?

Lời giải:

a)     Có 1 đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)

b)    Đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại 1 điểm

Trang 86 toán 11 tập 2

Luyện tập – vận dụng 6 trang 86 toán 11 tập 2

Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P)

Lời giải:

Để xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB lên mặt phẳng (P), ta cần thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Tìm hình chiếu A’ của A trên (P)

Bước 2: Tìm hình chiếu B’ của B trên (P)

Bước 3: Nối A’ với B’ ta được đoạn thẳng A’B’ là hình chiếu của AB trên (P).

Lưu ý rằng, nếu đoạn thẳng AB nằm hoàn toàn trên mặt phẳng (P), thì hình chiếu của nó trùng với đoạn thẳng AB. Nếu không, thì hình chiếu của nó sẽ là một đoạn thẳng khác.

Trang 87 toán 11 tập 2

Hoạt động 8 trang 87 toán 11 tập 2

Trong Hình 27, mặt sàn gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng a’ là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P), đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Quan sát Hình 27 và cho biết:

a)     Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a’ thì đường thẳng d có vuông góc với a hay không?

b)    Ngược lại, nếu dường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d có vuông góc với hình chiếu a’ hay không

Lời giải:

Gọi A, B là 2 điểm phân biệt thuộc a

Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P)

a)     Vì $d \subset \left( P \right)$ nên $d \bot AA’$

Vậy nếu $d \bot a’$ thì $d \bot mp\left( {a,a’} \right)$ do đó $d \bot a$

b)    Ngược lại, nếu $d \bot a$ thì $d \bot mp\left( {a,a’} \right)$ do đó $d \bot a’$

Luyện tập – vận dụng 7 trang 87 toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot (ABCD)$ và đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông

Lời giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $BC \bot AB$.

Vì $SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB,\,SA \bot CD$

+ Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\\AB \cap SA = A\\AB,\,SA \subset (SAB)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB$

Xét $\Delta SBC$ có $BC \bot SB \Rightarrow $Tam giác SBC vuông tại B.

+ Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\\AD \cap SA = A\\AD,\,SA \subset (SAD)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot SD$

Xét $\Delta SCD$ có $CD \bot SD \Rightarrow $Tam giác SCD vuông tại D.

Trang 88 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 88 SGK Toán 11 tập 2

Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Bài làm

• Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Bài 2 trang 88 SGK Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.

Bài làm

a) Để xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC), ta có thể vẽ đường thẳng vuông góc từ điểm S đến mặt phẳng (ABC), kết hợp với việc vẽ các đường thẳng từ A, B, C vuông góc với mặt phẳng (ABC) để tìm hình chiếu của các đường thẳng đó. Hình chiếu của SA, SB, SC lần lượt là AD, BE, CF

b) Vì BC ⊥ SA và CA ⊥ SB, nên BC và CA lần lượt là các đường vuông góc với SA và SB. Do đó, ta có:

• SA ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ BC và SK ⊥ AB (trong đó H và K lần lượt là hình chiếu của S xuống BC và AB)
• SB ⊥ (ABC) ⇒ SJ ⊥ AC và SL ⊥ AB (trong đó J và L lần lượt là hình chiếu của S xuống AC và AB)
• SC ⊥ (ABC) ⇒ SM ⊥ AB và SN ⊥ AC (trong đó M và N lần lượt là hình chiếu của S xuống AB và AC)

Khi đó, ta thấy rằng tam giác ABC có ba đường cao HN, KM và LJ, nên H là trực tâm của tam giác ABC (vì trực tâm là điểm giao điểm của ba đường cao của tam giác).

Bên cạnh đó, ta có AB ⊥ SL (vì AB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SL vuông góc với AB), và từ đó suy ra AB ⊥ SC (vì SL là hình chiếu của SC xuống AB). Vậy AB ⊥ SC, như cần chứng minh.

Bài 3 trang 88 SGK Toán 11 tập 2

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác BCD, ACD. Chứng minh rằng:

a) CD ⊥ (ABH)

b) CD ⊥ (ABK)

c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Bài làm

a) Vì AB ⊥ (BCD)

=> AB ⊥ CD (1)

Có H là trực tâm của tam giác BCD => BH ⊥ CD (2)

Từ (1) và (2) => CD ⊥ (ABH)

b) Vì AB ⊥ (BCD)

=> AB ⊥ CD (1)

Có K là trực tâm của tam giác ACD => AK ⊥ CD (2)

Từ (1) và (2) => CD ⊥ (ABK)

Bài 4 trang 88 SGK Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H là hình chiếu của S trên (ABCD). Chứng minh rằng

a) SA ⊥ AD

b) SC ⊥ CD

Bài làm

a) Chứng minh SA ⊥ AD

Gọi M là trung điểm của AB

=> HM // CD (vì AB và CD là hai đường chéo của hình bình hành).

Có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SM vuông góc với HM. Vì SM song song với CD, nên SA cũng vuông góc với CD. Do đó, ta có SA ⊥ AD.

b) Chứng minh SC ⊥ CD

Chứng minh tương tự, gọi N là trung điểm của CD. Ta có HN song song với AB. Theo tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta biết rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SN vuông góc với HN. Vì SN song song với AB, nên SC cũng vuông góc với AB. Do đó, ta có SC ⊥ CD.

Bài 5 trang 88 SGK Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), BC ⊥ AB. Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC và điểm P nằm trên cạnh SA. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác vuông.

Bài làm

Có SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

mà BC ⊥ AB

=> BC ⊥ (SAB)

=> BC ⊥ MP (1)

Xét tam giác SBC có M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC

=> MN là đường trung bình của tam giác SBC

=> MN // BC (2)

Từ (1) và (2)

=> MN ⊥ MP

=> tam giác MNP là tam giác vuông tại M