Toán 11 tập 2 trang 94 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Giải toán 11 tập 2 trang 94 Bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 89 toán 11 tập 2

Hoạt động 1 trang 89 toán 11 tập 2

Quan sát Hình 32 và cho biết:

a) Hình chiếu của đường thẳng $MO$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ là đường thẳng nào;

b) Góc giữa đường thẳng $MO$ và hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc nào.

Lời giải:

a) Vì $MH \bot \left( P \right),O \in \left( P \right)$ nên hình chiếu của đường thẳng $MO$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ là đường thẳng $HO$

b) Góc giữa đường thẳng $MO$ và hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc $\widehat {MOH}$.

Trang 90 toán 11 tập 2

Luyện tập 1 trang 90 toán 11 tập 2

Giả sử ở những giây đầu tiên sau khi cất cánh. máy bay chuyển động theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc ${20^ \circ }$ và có vận tốc 200 km/h. Tính độ cao của máy bay so với mặt đất theo đơn vị mét sau khi máy bay rời khỏi mặt đất 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Đổi $200km/h = \frac{{500}}{9}m/s$

Mô hình hoá như hình vẽ, với $OA$ là quãng đường máy bay bay được sau 2 giây, $OH$ là độ cao của máy bay so với mặt đấy khi máy bay bay được sau 2 giây, độ lớn của góc $\widehat {AOH}$ chỉ số đo góc giữa máy bay với mặt đất.

Sau 2 giây máy bay bay được quãng đường là: $\frac{{500}}{9}.2 = \frac{{1000}}{9}\left( m \right)$

Vì tam giác $OAH$ vuông tại $H$ nên ta có:

$AH = OA.\sin \widehat {AOH} = \frac{{1000}}{9}.\sin {20^ \circ } \approx 38,0\left( m \right)$

Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 38 mét sau khi máy bay rời khỏi mặt đất 2 giây.

Trang 91 toán 11 tập 2

HĐ2 trang 91 toán 11 tập 2

Quan sát hình ảnh một quyển sổ được mở ra (Hình 35), mỗi trang sổ gợi nên hình ảnh của một nửa mặt phẳng. Nêu đặc điểm của hai nửa mặt phẳng đó.

Lời giải:

Hai nửa mặt phẳng đó có chung bờ là đường thẳng chứa gáy sổ.

LT2 trang 91 toán 11 tập 2

Trong không gian cho hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ cắt nhau theo giao tuyến d. Hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ tạo nên bao nhiêu góc nhị diện có cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d?

Lời giải:

Số góc nhị diện mà hai mặt phẳng (a) và (B) tạo ra bằng số điểm trên đường thẳng d.

Trang 92 toán 11 tập 2

HĐ3 trang 92 toán 11 tập 2

Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng $d$.

Qua một điểm $O$ trên đường thẳng $d$, ta kẻ hai tia $Ox,Oy$ lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ và cùng vuông góc với đường thẳng $d$. Góc $xOy$ gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho (Hình 38).

Giả sử góc $x’Oy’$ cũng là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho với $O’$ khác $O$ (Hình 39).

Hãy so sánh số đo của hai góc $xOy$ và $x’Oy’$.

Lời giải:

Trong $\left( P \right)$ ta có:

$\left. \begin{array}{l}Ox \bot d\\O’x’ \bot d\end{array} \right\} \Rightarrow Ox\parallel O’x’$

Trong $\left( Q \right)$ ta có:

$\left. \begin{array}{l}Oy \bot d\\O’y’ \bot d\end{array} \right\} \Rightarrow Oy\parallel O’y’$

Vậy $\left( {Ox,Oy} \right) = \left( {O’x’,O’y’} \right)$ hay số đo của hai góc $xOy$ và $x’Oy’$ bằng nhau.

Trang 93 toán 11 tập 2

LT3 trang 93 toán 11 tập 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện:

a) $\left[ {B,SA,D} \right]$;

b) $\left[ {B,SA,C} \right]$.

Lời giải:

a) $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot A{\rm{D}}$

Vậy $\widehat {BA{\rm{D}}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {B,SA,D} \right]$

$ABCD$ là hình vuông $ \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {90^ \circ }$

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {B,SA,D} \right]$ bằng ${90^ \circ }$.

b) $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot A{\rm{C}}$

Vậy $\widehat {BA{\rm{C}}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$

$ABCD$ là hình vuông $ \Rightarrow \widehat {BA{\rm{C}}} = {45^ \circ }$

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$ bằng ${45^ \circ }$.

Trang 94 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 94 SGK Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a.

a) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].

b) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, D].

c) Biết SA = a, tính số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Bài làm

a) SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AB, SA ⊥ AC

=> $\widehat{BAC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,C]

Có AB = BC = AC = a

=> Tam giác ABC đều

=> $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ABC}$ = 60^∘

b) SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ AB, SA ⊥ AD

=> BADˆ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA,D]

Có ABCD là hình thoi

=> $\widehat{BAD}$ = 180^∘ − $\widehat{ABC}$ = 120^∘

c) SA ⊥ (ABCD) => (SC,(ABCD)) = (SC,AC) = $\widehat{SCA}$

Tam giác SAC vuông tại A

=> tan$\widehat{SCA}$ =  $\frac{SA}{AC}$ = $\frac{a}{a}$ = 1

=> $\widehat{SCA}$ = 45^∘

Bài 2 trang 94 SGK Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh rằng AC ⊥ (SBD). Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính số đo của góc nhị diện [M, SO, D].

Bài làm

SO ⊥ (ABCD) => (SA,(ABCD)) = (SA,OA) = $\widehat{SAO}$

Tam giác SAC là tam giác đều => $\widehat{SAO}$ = 60^∘

=> $(SA,(ABCD))=60^{\circ}$

b) ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD

SO ⊥ (ABCD) => SO ⊥ AC

=> AC ⊥ (SBD)

=>(SA,(SBD)) = (SA,SO) = $\widehat{ASO}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat{ASC}$ = 30^∘

c) SO ⊥ (ABCD) => SO ⊥ MO, SO ⊥ DO

=> $\widehat{MOD}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M,SO,D]

Có ABCD là hình vuông => $\widehat{AOD}$ = 90^∘

Tam giác AMO vuông cân tại M => $\widehat{AOM}$ = 45^∘

=> $\widehat{MOD}$ = $\widehat{AOM}$ + $\widehat{AOD}$ = 45^∘ + 90^∘ = 135^∘

Bài 3 trang 94 SGK Toán 11 tập 2

Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc 90° (độ dốc 10% tương ứng với góc 9°). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bài làm

Dựa vào hình vẽ, ta có AB là chiều dài con dốc, AE là độ cao của điểm A so với mặt nước biển, BD là độ cao của điểm B so với mực nước biển, BC là chiều cao của con dốc, độ dốc là góc BAC

Ta có: AE = 200, BD = 220, AB = 120

AEDC là hình chữ nhật => AE = CD = 200 => BC = 220 − 200 = 20

Vì tam giác ABC vuông tại C

=> sin$\widehat{ABC}$ = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{1}{6}$

=> $\widehat{ABC}$ ≈ 9,59^∘

=> Độ dốc của con dốc đó là 10,66%

Bài 4 trang 94 SGK Toán 11 tập 2

Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính đó, biết tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = AC = 30 cm và BC = 30$\sqrt{3}$ cm.

Bài làm

Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính

=> d ⊥ AB, d ⊥ AC

=> $\widehat{BAC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính

Xét tam giác ABC có

cos$\widehat{ABC}$ = $\frac{AB^{2}+AC^{2} -BC^{2} }{2AB.AC}$ = $-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{BAC}$ = 120^∘

Bài 5 trang 94 SGK Toán 11 tập 2

Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là $\hat{B}$, $\hat{C}$, $\hat{D}$, $\hat{E}$ trong cùng mặt phẳng. Lục giác ABCDEG nằm trong mặt phẳng đó có AB = GE = 2 m, BC = DE, $\hat{A}$ = $\hat{G}$ =  90,  $\hat{B}$ = $\hat{E}$ = x, $\hat{C}$  =  $\hat{D}$ = y . Biết rằng khoảng cách từ C và D đến AG là 4 m, AG = 12 m, CD = 1 m. Tìm x, y (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Bài làm

Kẻ CH ⊥ AG (H ∈ AG), DK ⊥ AG (K ∈ AG)

Gọi I = BE ∩ CH, J = BE ∩ DK

ABEG là hình chữ nhật => BE = AB = 12

CDKH,CDJI là hình chữ nhật => IH = JK = AB = 2

AH = GK = BI = EJ = $\frac{AG-HK}{2}$ = $\frac{12-1}{2}$ = 5,5

CD = d(C,AG) = 4 => CI = CH − IH = 2

Có tam giác BCI vuông tại I

=> tan$\widehat{CBI}$ = $\frac{CI}{BI}$ = $\frac{2}{5,5}$ = $\frac{4}{11}$

=> $\widehat{CBI}$ ≈ 19,98^∘

=> x = $\widehat{ABI}$ + $\widehat{CBI}$ = 90^∘ + 19,98^∘ = 110^∘

=>y = 180^∘ − x = 180^∘ − 110^∘ = 70^∘

Bài 6 trang 94 SGK Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC). Gọi a là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosa.

Bài làm

Kẻ $AH\perp BC (H\in BC)$

=> $SA\perp (ABC) => SA\perp BC$

=> $BC \perp (SAH) => BC\perp SH$

=> $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A,BC,S]

=> $\widehat{SHA}=\alpha$

Có $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta SBC}}=\frac{\frac{1}{2}BC.AH}{\frac{1}{2}BC.SH}=cos\widehat{SHA}=cos\alpha$