Giải toán 11 tập 2 trang 12 bài 1: Phép tính luỹ thừa

Giải toán 11 tập 2 trang 12 Bài 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 11 tập 2 trang 6

Hoạt động 1 trang 6 toán 11 tập 2

Cho biết dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ được xác định theo một quy luật nào đó và bốn số hạng đầu tiên của nó được cho như ở bảng dưới đây:

a) Tìm quy luật của dãy số và tìm ba số hạng tiếp theo của nó.

b) Nếu viết các số hạng của dãy số dưới dạng luỹ thừa, thì bốn số hạng đầu tiên có thể viết thành ${2^4};{2^3};{2^2};{2^1}$. Dự đoán cách viết dưới dạng luỹ thừa của ba số hạng tiếp theo của dãy số và giải thích.

Lời giải:

a) Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó chia cho 2.

Vậy ba số hạng tiếp theo là: ${a_5} = 1;{a_6} = \frac{1}{2};{a_7} = \frac{1}{4}$.

b) Các số hạng của dãy số có dạng ${2^n}$, với số mũ của số liền sau ít hơn số mũ của số liền trước 1 đơn vị.

Vậy ta có thể viết ba số hạng tiếp theo là: ${a_5} = {2^0};{a_6} = {2^{ – 1}};{a_7} = {2^{ – 2}}$.

Giải toán 11 tập 2 trang 7

Thực hành 1 trang 7 toán 11 tập 2

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ${\left( { – 5} \right)^{ – 1}}$;

b) ${2^0}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 5}}$;

c) ${6^{ – 2}}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 3}}:{2^{ – 2}}$.

Lời giải:

a) ${\left( { – 5} \right)^{ – 1}} = \frac{1}{{{{\left( { – 5} \right)}^1}}} = \frac{1}{{ – 5}} =  – \frac{1}{5}$

b) ${2^0}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 5}} = {2^0}.\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}} = 1.\frac{1}{{\frac{1}{{32}}}} = 32$

c) ${6^{ – 2}}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 3}}:{2^{ – 2}} = \frac{1}{{{6^2}}}.\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}}}:\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{36}}.\frac{1}{{\frac{1}{{27}}}}:\frac{1}{4} = \frac{1}{{36}}.27.4 = 3$

Vận dụng 1 trang 7 toán 11 tập 2

Trong khoa học, người ta thường phải ghi các số rất lớn hoặc rất bé. Để tránh phải viết và đếm quá nhiều chữ số 0, người ta quy ước cách ghi các số dưới dạng $A{.10^m}$, trong đó $1 \le A \le 10$ và $m$ là số nguyên.

Khi một số được ghi dưới dạng này, ta nói nó được ghi dưới dạng kí hiệu khoa học.

Chẳng hạn, khoảng cách 149 600 000 km từ Trái Đất đến Mặt Trời được ghi dưới dạng kí hiệu khoa học là $1,{496.10^8}$ km.

Ghi các đại lượng sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Vận tốc ánh sáng trong chân không là 299790000 m/s;

b) Khối lượng nguyên tử của oxygen là 0,000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 kg.

Lời giải:

a) Vận tốc ánh sáng trong chân không là $2,{9979.10^8}$ m/s;

b) Khối lượng nguyên tử của oxygen là $2,{657.10^{ – 26}}$ kg.

Hoạt động 2 trang 7 toán 11 tập 2

Một thùng gỗ hình lập phương có độ dài cạnh $a\left( {dm} \right)$. Kí hiệu $S$ và $V$ lần lượt là diện tích một mặt và thể tích của thùng gỗ này.

a) Tính $S$ và $V$ khi $a = 1{\rm{ }}dm$ và khi $a = 3{\rm{ }}dm$.

b) $a$ bằng bao nhiêu để $S = 25{\rm{ }}d{m^2}$?

c) $a$ bằng bao nhiêu để $V = 64{\rm{ }}d{m^3}$?

Lời giải:

a) Khi $a = 1{\rm{ }}dm$

$S = {a^2} = {1^2} = 1\left( {d{m^2}} \right);V = {a^3} = {1^3} = 1\left( {d{m^3}} \right)$

Khi $a = 3{\rm{ }}dm$

$S = {a^2} = {3^2} = 9\left( {d{m^2}} \right);V = {a^3} = {3^3} = 27\left( {d{m^3}} \right)$

Giải toán 11 tập 2 trang 9

Thực hành 2 trang 9 toán 11 tập 2

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{16}}}}$;

b) ${\left( {\sqrt[6]{8}} \right)^2}$;

c) $\sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{{27}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{16}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^4}}} = \left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}$

b) ${\left( {\sqrt[6]{8}} \right)^2} = \sqrt[6]{{{8^2}}} = \sqrt[6]{{{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}} = \sqrt[6]{{{2^6}}} = \left| 2 \right| = 2$

c) $\sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{{27}} = \sqrt[4]{3}.\sqrt[4]{{{3^3}}} = \sqrt[4]{{{{3.3}^3}}} = \sqrt[4]{{{3^4}}} = \left| 3 \right| = 3$.

Hoạt động 3

Cho số thực $a > 0$.

a) Hai biểu thức $\sqrt[6]{{{a^4}}}$ và $\sqrt[3]{{{a^2}}}$ có giá trị bằng nhau không? Giải thích.

b) Chỉ ra ít nhất hai biểu thức khác nhau có giá trị bằng $\sqrt[3]{{{a^2}}}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\sqrt[6]{{{a^4}}} = \sqrt[{3.2}]{{{a^4}}} = \sqrt[3]{{\sqrt {{a^4}} }} = \sqrt[3]{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }} = \sqrt[3]{{\left| {{a^2}} \right|}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}$

Vậy $\sqrt[6]{{{a^4}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}$.

b) $\sqrt[3]{{{a^2}}} = \sqrt[9]{{{a^6}}} = \sqrt[{12}]{{{a^8}}}$

Giải toán 11 tập 2 trang 10

Thực hành 3 trang 10 toán 11 tập 2

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ${25^{\frac{1}{2}}}$;

b) ${\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)^{ – \frac{1}{2}}}$;

c) ${100^{1,5}}$.

Lời giải:

a) ${25^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {25}  = \sqrt {{5^2}}  = 5$

b) ${\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{36}}{{49}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{{36}}{{49}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\frac{6}{7}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\frac{6}{7}}} = \frac{7}{6}$

c) ${100^{1,5}} = {100^{\frac{3}{2}}} = \sqrt {{{100}^3}}  = \sqrt {{{\left( {{{10}^2}} \right)}^3}}  = \sqrt {{{\left( {{{10}^3}} \right)}^2}}  = {10^3} = 1000$.

Thực hành 4 trang 10 toán 11 tập 2

Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a) $\sqrt {{2^3}} $;

b) $\sqrt[5]{{\frac{1}{{27}}}}$;

c) ${\left( {\sqrt[5]{a}} \right)^4}$.

Lời giải:

a) $\sqrt {{2^3}}  = {2^{\frac{3}{2}}}$

b) $\sqrt[5]{{\frac{1}{{27}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{3}{5}}}$

c) ${\left( {\sqrt[5]{a}} \right)^4} = \sqrt[5]{{{a^4}}} = {a^{\frac{4}{5}}}$

Hoạt động 4 trang 10 toán 11 tập 2

Ta biết rằng, $\sqrt 2 $ là một số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn: $\sqrt 2  = 1,414213562…$

Cũng có thể coi $\sqrt 2 $ là giới hạn của dãy số hữu tỉ $\left( {{r_n}} \right)$:

$1,4;1,41;1,414;1,4142;…$

Từ đây, ta lập dãy số các luỹ thừa $\left( {{3^{{r_n}}}} \right)$.

a) Bảng dưới cho biết những số hạng đầu tiên của dãy số $\left( {{3^{{r_n}}}} \right)$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ chín). Sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính số hạng thứ 6 và thứ 7 của dãy số này.

b) Nêu nhận xét về dãy số $\left( {{3^{{r_n}}}} \right)$.

Lời giải:

a) ${r_6} = {3^{1,414213}} = 4,728801466;{r_7} = {3^{1,4142134}} = 4,728803544$.

b) Ta thấy khi $n \to  + \infty $ thì ${3^{{r_n}}} \to {3^{\sqrt 2 }}$.

Giải toán 11 tập 2 trang 11

Thực hành 5 trang 11 toán 11 tập 2

Sử dụng máy tính cầm tay, tính các luỹ thừa sau đây (làm tròn đến chữ số thập phân thứ sáu):

a) $1,{2^{1,5}}$;

b) ${10^{\sqrt 3 }}$;

c) ${\left( {0,5} \right)^{ – \frac{2}{3}}}$.

Lời giải:

Học sinh sử dụng máy tính

Hoạt động 5 trang 11 toán 11 tập 2

a) Sử dụng máy tính cầm tay, hoàn thành bảng sau vào vở (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

b) Từ kết quả quả ở câu a, có dự đoán gì về tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ thực?

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {3^{\sqrt 2 }}{.3^{\sqrt 3 }} \approx 31,70659\\{a^\alpha }:{a^\beta } = {3^{\sqrt 2 }}:{3^{\sqrt 3 }} \approx 0,70527\\{a^{\alpha  + \beta }} = {3^{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} \approx 31,70659\\{a^{\alpha  – \beta }} = {3^{\sqrt 2  – \sqrt 3 }} \approx 0,70527\end{array}$

b) Ta thấy: ${a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }},{a^\alpha }:{a^\beta } = {a^{\alpha  – \beta }}$.

Ta dự đoán tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ thực có tính chất tương tự với phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên.

Giải toán 11 tập 2 trang 12

Thực hành 6 trang 12 toán 11 tập 2

Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa $\left( {a > 0} \right)$:

a) ${a^{\frac{3}{5}}}.{a^{\frac{1}{2}}}:{a^{ – \frac{2}{5}}}$;

b) $\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt a } } $.

Lời giải:

a) ${a^{\frac{3}{5}}}.{a^{\frac{1}{2}}}:{a^{ – \frac{2}{5}}} = {a^{\frac{3}{5} + \frac{1}{2} – \left( { – \frac{2}{5}} \right)}} = {a^{\frac{3}{2}}}$

b) $\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt a } }  = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{2}}}} }  = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt {{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}} }  = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}\sqrt a }  = \sqrt {{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{2}}}}  = \sqrt a $.

Thực hành 7 trang 12 toán 11 tập 2

Rút gọn biểu thức: ${\left( {{x^{\sqrt 2 }}y} \right)^{\sqrt 2 }}\left( {9{y^{ – \sqrt 2 }}} \right)$ (với $x,y > 0$).

Lời giải:

${\left( {{x^{\sqrt 2 }}y} \right)^{\sqrt 2 }}\left( {9{y^{ – \sqrt 2 }}} \right) = {\left( {{x^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 2 }}{y^{\sqrt 2 }}.9{y^{ – \sqrt 2 }} = 9{x^{\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{y^{\sqrt 2  + \left( { – \sqrt 2 } \right)}} = 9{x^2}{y^0} = 9{x^2}$

Vận dụng 2 trang 12 toán 11 tập 2

Tại một vùng biển, giả sử cường độ ánh sáng $I$ thay đổi theo độ sâu theo công thức $I = {I_0}{.10^{ – 0,3{\rm{d}}}}$, trong đó $d$ là độ sâu (tính bằng mét) so với mặt hồ, ${I_0}$ là cường độ ánh sáng tại mặt hồ.

a) Tại độ sâu 1 m, cường độ ánh sáng gấp bao nhiều lần ${I_0}$?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 2 m gấp bao nhiêu lần so với tại độ sâu 10 m? Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân.

Lời giải:

a) Với $d = 1$ ta có: $I = {I_0}{.10^{ – 0,3.1}} = {I_0}{.10^{ – 0,3}}$.

Vậy tại độ sâu 1 m, cường độ ánh sáng gấp ${10^{ – 0,3}}$ lần ${I_0}$.

b) Với $d = 2$ ta có: $I = {I_0}{.10^{ – 0,3.2}} = {I_0}{.10^{ – 0,6}}$.

Với $d = 10$ ta có: $I = {I_0}{.10^{ – 0,3.10}} = {I_0}{.10^{ – 3}}$.

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 2 m gấp cường độ ánh sáng tại độ sâu 10 m số lần là:

$\left( {{I_0}{{.10}^{ – 0,6}}} \right):\left( {{I_0}{{.10}^{ – 3}}} \right) = {10^{ – 0,6}}:{10^{ – 3}} = {10^{ – 0,6 – \left( { – 3} \right)}} = {10^{2,4}} \approx 251,19$ (lần)

Giải toán 11 tập 2 trang 13

Giải bài 1 trang 13 Toán 11 tập 2

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\left ( \frac{3}{4} \right )^{-2}.3^{2}.12^{0}$

b) $\left ( \frac{1}{12} \right )^{-1}.\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}$

c) $(2^{-2}.5^{2})^{-2}:(5.5^{-5})$

Lời giải

a) $\left ( \frac{3}{4} \right )^{-2}.3^{2}.12^{0}=\frac{1}{\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}.9.1 = \frac{1}{\frac{9}{16}}.9 = \frac{16}{9}.9=16$

b) $\left ( \frac{1}{12} \right )^{-1}.\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2} = \frac{1}{\frac{1}{12}}.\frac{1}{\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=12.\frac{1}{\frac{4}{9}}=12.\frac{9}{4}=27$

c) $(2^{-2}.5^{2})^{-2}:(5.5^{-5})=\left ( \frac{1}{2^{2}}.5^{2} \right )^{-2}:\left ( 5.\frac{1}{5^{5}} \right )=\left ( \frac{5^{2}}{4} \right )^{-2}:\frac{1}{5^{4}}$

$= \frac{1}{\left ( \frac{5^{2}}{4} \right )^{2}}.5^{4}=\frac{1}{\frac{5^{4}}{16}}.5^{4}=\frac{16}{5^{4}}.5^{4}=16$

Giải bài 2 trang 13 Toán 11 tập 2

Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa (a > 0)

a) $3.\sqrt{3}.\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}$

b) $\sqrt{a.\sqrt{a.\sqrt{a}}}$

c) $\frac{\sqrt{a}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^{3}.a^{\frac{2}{5}}}$

Bài làm

a) $3.\sqrt{3}.\sqrt[4]{3}.\sqrt[8]{3}=3.3^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{1}{4}}.3^{\frac{1}{8}}=3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=3^{\frac{15}{8}}$

b) $\sqrt{a.\sqrt{a.\sqrt{a}}} = \sqrt{a.\sqrt{a.a^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{a.\sqrt{a^{1+\frac{1}{2}}}}=\sqrt{a.\sqrt{a^{\frac{3}{2}}}}$

$= \sqrt{a.a^{\frac{3}{4}}} = \sqrt{a^{1+\frac{3}{4}}}=\sqrt{a^{\frac{7}{4}}} = a^{\frac{7}{8}}$

c) $\frac{\sqrt{a}.\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^{3}.a^{\frac{2}{5}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{5}}.a^{\frac{2}{5}}}= \frac{a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}}}=\frac{a^{\frac{13}{12}}}{a}=a^{\frac{13}{12}-1}=a^{\frac{1}{12}}$

Giải bài 3 trang 13 Toán 11 tập 2

Rút gọn các biểu thức sau (a > 0; b > 0)

a) $a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{7}{6}}$

b) $a^{\frac{2}{3}}.a^{\frac{1}{4}}:a^{\frac{1}{6}}$

c) $\left ( \frac{3}{2}a^{-\frac{3}{2}}.b^{-\frac{1}{2}} \right )\left ( -\frac{1}{3}a^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{3}{2}} \right )$

Bài làm

a) $a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{7}{6}} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{7}{6}} = a^{2}$

b) $a^{\frac{2}{3}}.a^{\frac{1}{4}}:a^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{4}}$

c) $\left ( \frac{3}{2}a^{-\frac{3}{2}}.b^{-\frac{1}{2}} \right )\left ( -\frac{1}{3}a^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{3}{2}} \right )= \frac{3}{2}.\left ( -\frac{1}{3} \right ).a^{-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}.b^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}a^{-1}b$

Giải bài 4 trang 13 Toán 11 tập 2

Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng 1 m³ và dày khoảng 1,94.10⁻⁷ m. Đồng xu 5000 đồng dày 2,2.10⁻³ m. Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm

Bài làm

Để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng, ta cần chồng số lá vàng là:

2,2.10⁻³ : (1,94.10⁻⁷) = 11300

Giải bài 5 trang 13 Toán 11 tập 2

Tại một xí nghiệp, công thức P(t) = $500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{3}}$ được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian t (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.

a) Tính giá trị còn lại của máy sau 2 năm, sau 2 năm 3 tháng

b) Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?

Bài làm

a) Sau 2 năm: t = 2. Ta có: P(2) = $500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{2}{3}}$ = 315 (triệu đồng)

Sau 2 năm 3 tháng: t = 2,25. Ta có: P(2,25) = $500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{2,25}{3}}$ = 297 (triệu đồng)

b) Sau 1 năm sử dụng: P(1) = $500.\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{3}}$ = 397

Vậy sau 1 năm sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng 397 : 500.100% = 79,4% so với ban đầu

Giải bài 6 trang 13 Toán 11 tập 2

Biết rằng 10^α = 2; 10^β = 5

Tính 10^α+β; 102^α; 1000^β; 0,012^α

Lời giải

$\begin{array}{l}{10^{\alpha  + \beta }} = {10^\alpha }{.10^\beta } = 2.5 = 10\\{10^{\alpha  – \beta }} = \frac{{{{10}^\alpha }}}{{{{10}^\beta }}} = \frac{2}{5}\\{10^{2\alpha }} = {\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {2^2} = 4\\{10^{ – 2\alpha }} = \frac{1}{{{{10}^{2\alpha }}}} = \frac{1}{4}\\{1000^\beta } = {\left( {{{10}^3}} \right)^\beta } = {\left( {{{10}^\beta }} \right)^3} = {5^3} = 125\\0,{01^{2\alpha }} = {\left( {\frac{1}{{100}}} \right)^{2\alpha }} = \frac{1}{{{{100}^{2\alpha }}}} = \frac{1}{{{{\left( {{{10}^2}} \right)}^{2\alpha }}}} = \frac{1}{{{{10}^{4\alpha }}}} = \frac{1}{{{{\left( {{{10}^\alpha }} \right)}^4}}} = \frac{1}{{{2^4}}} = \frac{1}{{16}}\end{array}$

Giải bài 7 trang 13 Toán 11 tập 2

Biết rằng 4^α = $\frac{1}{5}$. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 16^α + 16^−α

b) (2^α + 2^−α)²

Lời giải

a) ${16^\alpha } + {16^{ – \alpha }} = {16^\alpha } + \frac{1}{{{{16}^\alpha }}} = {\left( {{4^2}} \right)^\alpha } + \frac{1}{{{{\left( {{4^2}} \right)}^\alpha }}} = {\left( {{4^\alpha }} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{4^\alpha }} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}}} = \frac{{626}}{{25}}$

b)

$\begin{array}{l}{\left( {{2^\alpha } + {2^{ – \alpha }}} \right)^2} = {\left( {{2^\alpha }} \right)^2} + {2.2^\alpha }{.2^{ – \alpha }} + {\left( {{2^{ – \alpha }}} \right)^2} = {2^{2\alpha }} + 2 + {2^{ – 2\alpha }} = {\left( {{2^2}} \right)^\alpha } + 2 + {\left( {{2^2}} \right)^{ – \alpha }}\\ = {4^\alpha } + 2 + {4^{ – \alpha }} = {4^\alpha } + 2 + \frac{1}{{{4^\alpha }}} = \frac{1}{5} + 2 + \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = \frac{{36}}{5}\end{array}$