Giải toán 11 tập 2 trang 33 bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giải toán 11 tập 2 trang 33 Bài 4 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 11 tập 2 trang 26

Hoạt động 1 trang 26 toán 11 tập 2

Số lượng cá thể vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy tuân theo công thức $P\left( t \right) = {50.10^{kt}}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm bắt đầu nuôi cấy, $k$ là hằng số.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 101)

a) Ban đầu mẻ có bao nhiêu cá thể vi khuẩn?

b) Sau 1 giờ thì mẻ có 100 cá thể vi khuẩn. Tìm giá trị của $k$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

c) Sau bao lâu thì số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000?

Lời giải:

a) Số cá thể vi khuẩn ban đầu mẻ có là:

$P\left( 0 \right) = {50.10^{k.0}} = {50.10^0} = 50$ (cá thể)

b) Với $t = 1,P\left( t \right) = 100$ ta có:

$P\left( 1 \right) = {50.10^{k.1}} \Leftrightarrow 100 = {50.10^k} \Leftrightarrow {10^k} = 2 \Leftrightarrow k = \log 2 \approx 0,3$

c) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000 là:

$50000 = {50.10^{0,3t}} \Leftrightarrow {10^{0,3t}} = 1000 \Leftrightarrow 0,3t = \log 1000 \Leftrightarrow 0,3t = 3 \Leftrightarrow t = 10$ (giờ)

Giải toán 11 tập 2 trang 27

Hoạt động 2 trang 27 toán 11 tập 2

Cho đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = b$ như Hình 2a (với $a > 0$) hay Hình 2b (với $0 < a < 1$). Từ đây, hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình ${a^x} = b$ trong hai trường hợp $b > 0$ và $b \le 0$.

Lời giải:

Khi $b > 0$, đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = b$ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình ${a^x} = b$ có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$.

Khi $b \le 0$, đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = b$ không có điểm chung. Khi đó phương trình ${a^x} = b$  vô nghiệm.

Giải toán 11 tập 2 trang 28

Thực hành 1 trang 28 toán 11 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) ${3^{x + 2}} = \sqrt[3]{9}$;    b) ${2.10^{2{\rm{x}}}} = 30$;    c) ${4^{2{\rm{x}}}} = {8^{2{\rm{x}} – 1}}$.

Lời giải:

a) ${3^{x + 2}} = \sqrt[3]{9} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {9^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {\left( {{3^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^{\frac{2}{3}}} \Leftrightarrow x + 2 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x =  – \frac{4}{3}$

b) ${2.10^{2{\rm{x}}}} = 30 \Leftrightarrow {10^{2{\rm{x}}}} = 15 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \log 15 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\log 15$

c) ${4^{2{\rm{x}}}} = {8^{2{\rm{x}} – 1}} \Leftrightarrow {\left( {{2^2}} \right)^{2{\rm{x}}}} = {\left( {{2^3}} \right)^{2{\rm{x}} – 1}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}}}} = {2^{6{\rm{x}} – 3}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} = 6{\rm{x}} – 3 \Leftrightarrow  – 2{\rm{x}} =  – 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.

Vận dụng 1 trang 28 toán 11 tập 2

Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu ${M_0}$ là $M\left( t \right) = {M_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}$, trong đó $t$ là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và $T$ là chu kì bán rã của chất. Đồng vị plutonium-234 có chu kì bản rã là 9 giờ.

(Nguồn: https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/element/Plutonium#section=Atomic- Mass-Half-Life-and-Decay)

Từ khối lượng ban đầu 200 g, sau bao lâu thì sau bao lâu thì khối lượng plutonium-234 còn lại là:

a) 100 g?

b) 50 g?

c) 20 g?

Lời giải:

a) Với ${M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 100$ ta có:

$100 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = 1 \Leftrightarrow t = 9$

Vậy sau 9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 100 g.

b) Với ${M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 50$ ta có:

$50 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = 2 \Leftrightarrow t = 18$

Vậy sau 18 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.

c) Với ${M_0} = 200,T = 9,M\left( t \right) = 20$ ta có:

$20 = 200{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{9}}} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{t}{9} = {\log _2}10 \Leftrightarrow t = 9{\log _2}10 \approx 29,9$

Vậy sau 29,9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.

Hoạt động 3 trang 28 toán 11 tập 2

Nhắc lại rằng, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức $pH =  – \log x$, trong đó $x$ là nồng độ ion H⁺ tính bằng mol/L.

Biết sữa có độ pH là 6,5. Nồng độ H⁺ của sữa bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: $pH =  – \log x \Leftrightarrow 6,5 =  – \log x \Leftrightarrow \log x =  – 6,5 \Leftrightarrow x = {10^{ – 6,5}} \approx 3,{16.10^{ – 7}}$

Vậy nồng độ H⁺ của sữa bằng $3,{16.10^{ – 7}}$ mol/L.

Giải toán 11 tập 2 trang 29

Hoạt động 4 trang 29 toán 11 tập 2

Cho đồ thị của hai hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ và $y = b$ như Hình 3a (với $a > 1$) hay Hình 3b (với $0 < a < 1$). Từ đây hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình ${\log _a}x = b$.

Lời giải:

Đồ thị của hai hàm số $y = {\log _a}x$ và $y = b$ luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình ${\log _a}x = b$ có nghiệm duy nhất $x = {a^b}$.

Giải toán 11 tập 2 trang 30

Thực hành 2 trang 30 toán 11 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 2} \right) =  – 2$;

b) ${\log _2}\left( {x + 6} \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + 1$

Lời giải:

a) ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 2} \right) =  – 2$

Điều kiện: $x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

${\log _{\frac{1}{2}}}(x – 2) =  – 2 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}(x – 2) = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 2}} \Leftrightarrow x – 2 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 2}} \Leftrightarrow x = 6\,\,(TMDK)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 6$.

b) ${\log _2}\left( {x + 6} \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + 1$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 6 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  – 6\\x >  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x >  – 1$

$\begin{array}{l}{\log _2}(x + 6) = {\log _2}(x + 1) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}(x + 6) = {\log _2}(x + 1) + {\log _2}2 = {\log _2}2(x + 1)\\ \Leftrightarrow x + 6 = 2(x + 1) \Leftrightarrow x = 4\,(TMDK)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 4$.

Hoạt động 5 trang 30 toán 11 tập 2

Xét quần thể vi khuẩn ở Hoạt động 1.

a) Ở những thời điểm nào thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000?

b) Ở những thời điểm nào thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000 nhưng chưa vượt quá 100000?

Lời giải:

Do $10 > 1$ nên hàm số $P\left( t \right) = {50.10^{kt}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

a) Tại thời điểm $t = 10$ thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 50000.

Vì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên với $t > 10$ thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000.

b) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 100000 là:

$100000 = {50.10^{0,3t}} \Leftrightarrow {10^{0,3t}} = 2000 \Leftrightarrow 0,3t = \log 2000 \Leftrightarrow t \approx 11$ (giờ)

Tại thời điểm $t = 10$ thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 50000.

Tại thời điểm $t = 11$ thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 100000.

Vì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên với $10 < t < 11$ thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000 nhưng chưa vượt quá 100000.

Giải toán 11 tập 2 trang 31

Thực hành 3 trang 31 toán 11 tập 2

Giải các bất phương trình sau:

a) ${2^x} > 16$;

b) $0,{1^x} \le 0,001$;

c) ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{x – 2}} \ge {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x}$.

Lời giải:

a) ${2^x} > 16 \Leftrightarrow {2^x} > {2^4} \Leftrightarrow x > 4$ (do $2 > 1$) .

b) $0,{1^x} \le 0,001 \Leftrightarrow 0,{1^x} \le 0,{1^3} \Leftrightarrow x \ge 3$ (do $0 < 0,1 < 1$).

c) ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{x – 2}} \ge {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{x – 2}} \ge {\left( {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{x – 2}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{2x}} \Leftrightarrow x – 2 \le 2{\rm{x}}$ (do $0 < \frac{1}{5} < 1$)

$ \Leftrightarrow x \ge  – 2$.

Hoạt động 6 trang 31 toán 11 tập 2

Biết rằng máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45 (nguồn: Hoá học 11, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 15). Nồng độ H⁺ trong máu nhận giá trị trong miền nào?

Lời giải:

$pH =  – \log x = {\log _{{{10}^{ – 1}}}}x = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x$

Do $0 < \frac{1}{{10}} < 1$ nên hàm số $pH = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}pH = 7,3 \Leftrightarrow 7,3 = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{7,3}} \approx 5,{01.10^{ – 8}}\\pH = 7,45 \Leftrightarrow 7,45 = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{7,45}} \approx 3,{55.10^{ – 8}}\end{array}$

Vì hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên nồng độ H⁺ trong máu nhận giá trị trong miền từ $3,{55.10^{ – 8}}$ đến $5,{01.10^{ – 8}}$.

Giải toán 11 tập 2 trang 32

Thực hành 4 trang 32 toán 11 tập 2

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < 2$;

b) ${\log _5}\left( {x + 2} \right) \le 1$.

Lời giải:

a) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < 2$

Điều kiện: $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  – 1$

${\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1) < 2 \Leftrightarrow x + 1 > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow x > \frac{{ – 8}}{9}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x >  – \frac{8}{9}$.

b) ${\log _5}\left( {x + 2} \right) \le 1$

Điều kiện: $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x >  – 2$

$BPT \Leftrightarrow x + 2 \le {5^1} \Leftrightarrow x + 2 \le 5 \Leftrightarrow x \le 3$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $ – 2 < x \le 3$.

Vận dụng 2 trang 32 toán 11 tập 2

Nước uống đạt tiêu chuẩn phải có độ pH nằm trong khoảng từ 6,5 đến 8,5 (theo Quy chuẩn Việt Nam QCVN 01:2009/BYT). Nồng độ H⁺ trong nước uống tiêu chuẩn phải nằm trong khoảng nào?

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}6,5 \le pH \le 8,5 \Leftrightarrow 6,5 \le  – \log x \le 8,5 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow  – 6,5 \ge \log x \ge  – 8,5\\ \Leftrightarrow {10^{ – 6,5}} \ge x \ge {10^{ – 8,5}} \Leftrightarrow 3,{16.10^{ – 7}} \ge x \ge 3,{16.10^{ – 9}}\end{array}$

Vậy nồng độ H⁺ trong nước uống tiêu chuẩn phải nằm trong khoảng từ $3,{16.10^{ – 9}}$ đến $3,{16.10^{ – 7}}$.

Giải bài 1 trang 32 Toán 11 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) 5^2x−1 = 25

b) 3^x+1 = 9^2x+1

c) 10^1−2x = 100000

Bài làm

a) $5^{2x-1}=25 \Leftrightarrow 5^{2x-1}=5^{2}\Leftrightarrow 2x-1=2 \Leftrightarrow x =\frac{3}{2}$

b) $3^{x+1} = 9^{2x+1} \Leftrightarrow 3^{x+1}=(3^{2})^{2x+1}$

$\Leftrightarrow 3^{x+1}=3^{4x+2}\Leftrightarrow x+1 = 4x+2 \Leftrightarrow x = \frac{-1}{3}$

c) $10^{1-2x} = 100000 \Leftrightarrow 10^{1-2x}=10^{5}\Leftrightarrow 1-2x = 5\Leftrightarrow x = -2$

Giải toán 11 tập 2 trang 33

Giải bài 2 trang 33 Toán 11 tập 2

Giải các phương trình sau. Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn

a) 3^x+2 = 7

b) 3.10^2x+1 = 5

Bài làm

a) $3^{x+2}=7 \Leftrightarrow x + 2 = log_{3}7\Leftrightarrow x = log_{3}7-2\Leftrightarrow x = -0,229$

b) $3.10^{2x+1} = 5\Leftrightarrow 10^{2x+1}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow 2x+1=log\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow x = (log\frac{5}{3}-1):2\Leftrightarrow x = -0,389$

Giải bài 3 trang 33 Toán 11 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) $log_{6}(4x+4) = 2$

b) $log_{3}x – log_{3}(x-2)=1$

Bài làm

a) $log_{6}(4x+4) = 2 \Leftrightarrow 4x+4 = 6^{2}\Leftrightarrow x = 8$

b) $log_{3}x – log_{3}(x-2)=1 \Leftrightarrow log_{3}\frac{x}{x-2}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{x-2} = 3\Leftrightarrow x = 3(x-2)\Leftrightarrow x = 3$

Giải bài 4 trang 33 Toán 11 tập 2

Giải các bất phương trình sau:

a) $(\frac{1}{3})^{2x+1} \leq 9$

b) $4^{x} > 2^{x-2}$

Bài làm

a) $(\frac{1}{3})^{2x+1} \leq 9 \Leftrightarrow (\frac{1}{3})^{2x+1} \leq(\frac{1}{3})^{-2}\Leftrightarrow 2x+1 \geq -2 \Leftrightarrow x \geq \frac{-3}{2} (do \frac{1}{3} <1 )$

b) $4^{x} > 2^{x-2} \Leftrightarrow (2^{2})^{x}>2^{x-2}\Leftrightarrow 2^{2x}>2^{x-2}\Leftrightarrow 2x > x-2\Leftrightarrow x > -2 (do 2>1)$

Giải bài 5 trang 33 Toán 11 tập 2

Giải các bất phương trình sau:

a) $log_{2}(x-2)<2$

b) $log(x+1) \geq log(2x-1)$

Bài làm

a) ${\log _2}\left( {x – 2} \right) < 2$

Điều kiện: $x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

$BPT \Leftrightarrow x – 2 < {2^2} \Leftrightarrow x – 2 < 4 \Leftrightarrow x < 6$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $2 < x < 6$.

b) $\log \left( {x + 1} \right) \ge \log \left( {2x – 1} \right)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2{\rm{x}} – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  – 1\\x > \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$

$BPT \Leftrightarrow x + 1 \ge 2{\rm{x}} – 1 \Leftrightarrow  – x \ge  – 2 \Leftrightarrow x \le 2$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $\frac{1}{2} < x \le 2$.

Giải bài 6 trang 33 Toán 11 tập 2

Chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Điều này có nghĩa là cứ sau 138 ngày, lượng polonium còn lại trong một mẫu chỉ bằng một nửa lượng ban đầu. Một mẫu 100 g có khối lượng polonium-210 còn lại sau t ngày được tính theo công thức $M(t) = 100(\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}}$ (g)

a) Khối lượng polonium còn lại bao nhiêu sau 2 năm?

b) Sau bao lâu thì còn lại 40 g polonium-210?

Bài làm

a) $t = 730$

Khối lượng polonium-210 còn lại sau 2 năm là:

$M\left( {730} \right) = 100{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{730}}{{138}}}} \approx 1,92$ (g)

b) Ta có:

$\begin{array}{l}M\left( t \right) = 40 \Leftrightarrow 40 = 100{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{138}}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{138}}}} = \frac{4}{{10}} \Leftrightarrow \frac{t}{{138}} = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{4}{{10}}\\ \Leftrightarrow t = 138{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{4}{{10}} \approx 182,43\end{array}$

Vậy sau 183,43 ngày thì còn lại 40 g polonium-210

Giải bài 7 trang 33 Toán 11 tập 2

Nhắc lại rằng, mức cường độ âm L được tính bằng công thức $L=10log(\frac{I}{I_{0}})$ (dB) , trong đó I là cường độ âm tính bằng $W/m^{2}$ và I₀ = 10^-12 W/m²

a) Một giáo viên đang giảng bài trong lớp học có mức cường độ âm là 50 dB. Cường độ âm của giọng nói giáo viên bằng bao nhiêu?

b) Mức cường độ âm trong một nhà xưởng thay đổi trong khoảng từ 75 dB đến 90 dB. Cường độ âm trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng nào?

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{l}L = 50 \Leftrightarrow 10\log \left( {\frac{I}{{{I_0}}}} \right) = 50 \Leftrightarrow 10\log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ – 12}}}}} \right) = 50 \Leftrightarrow \log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ – 12}}}}} \right) = 5\\ \Leftrightarrow \frac{I}{{{{10}^{ – 12}}}} = {10^5} \Leftrightarrow I = {10^{ – 7}}\left( {W/{m^2}} \right)\end{array}$

Vậy cường độ âm của giọng nói giáo viên bằng $I = {10^{ – 7}}\left( {W/{m^2}} \right)$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}75 \le L \le 90 \Leftrightarrow 75 \le 10\log \left( {\frac{I}{{{I_0}}}} \right) \le 90 \Leftrightarrow 75 \le 10\log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ – 12}}}}} \right) \le 90 \Leftrightarrow 7,5 \le \log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ – 12}}}}} \right) \le 9\\ \Leftrightarrow {10^{7,5}} \le \frac{I}{{{{10}^{ – 12}}}} \le {10^9} \Leftrightarrow {10^{ – 4,5}} \le I \le {10^{ – 3}} \Leftrightarrow 3,{16.10^{ – 5}} \le I \le {10^{ – 3}}\end{array}$

Vậy cường độ âm trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng $3,{16.10^{ – 5}}\left( {W/{m^2}} \right)$ đến ${10^{ – 3}}\left( {W/{m^2}} \right)$.