Giải toán 11 tập 2 trang 56 bài 1: Hai đường thẳng vuông góc
Giải toán 11 tập 2 trang 56 bài 1: Hai đường thẳng vuông góc
Giải toán 11 tập 2 trang 56 Bài 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải toán 11 tập 2 trang 54
Hoạt động 1 trang 54 toán 11 tập 2
Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ trong không gian. Qua một điểm $M$ tuỳ ý vẽ $a’\parallel a$ và vẽ $b’\parallel b$. Khi thay đổi vị trí của điểm $M$, có nhận xét gì về góc giữa $a’$ và $b’$?
Lời giải:
Khi thay đổi vị trí của điểm $M$, góc giữa $a’$ và $b’$ không đổi.
Thực hành 1 trang 54 toán 11 tập 2
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có 6 mặt đều là hình vuông $M,N,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,BA,AA’,A’D’$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a) $MN$ và $DD’$;
b) $MN$ và $CD’$;
c) $EF$ và $CC’$.
Lời giải:
a) Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$
$N$ là trung điểm của $AB$
$ \Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$ \Rightarrow MN\parallel AC$
Mà $DD’\parallel AA’$
$ \Rightarrow \left( {MN,DD’} \right) = \left( {AC,AA’} \right) = \widehat {A’AC} = {90^ \circ }$.
b) Ta có: $MN\parallel AC$
$ \Rightarrow \left( {MN,CD’} \right) = \left( {AC,C{\rm{D}}’} \right) = \widehat {AC{\rm{D}}’}$
Vì $ABC{\rm{D}},ADD’A’,C{\rm{DD}}'{\rm{C}}’$ là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau. Vậy $AC = A{\rm{D}}’ = C{\rm{D}}’$
$ \Rightarrow \Delta AC{\rm{D}}’$ là tam giác đều $ \Rightarrow \widehat {AC{\rm{D}}’} = {60^ \circ }$.
Vậy $\left( {MN,CD’} \right) = {60^ \circ }$.
Giải toán 11 tập 2 trang 55
Vận dụng 1 trang 55 toán 11 tập 2
Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$. Tính góc giữa hai thanh gỗ $a$ và $b$.
Lời giải:
Ta có: $a\parallel OM \Rightarrow \left( {a,b} \right) = \left( {OM,b} \right) = \widehat {MON} = {90^ \circ }$.
Hoạt động 2 trang 55 toán 11 tập 2
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng:
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng:
a) $AB$ và $BB’$;
b) $AB$ và $DD’$.
Lời giải:
a) $\left( {AB,BB’} \right) = \widehat {ABB’} = {90^ \circ }$.
b) Ta có: $DD’\parallel BB’ \Rightarrow \left( {AB,DD’} \right) = \left( {AB,BB’} \right) = {90^ \circ }$.
Thực hành 2 trang 55 toán 11 tập 2
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có 6 mặt đều là hình vuông.
a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với $AC$.
b) Trong các đường thẳng tìm được ở câu a, tìm đường thẳng chéo với $AC$.
Lời giải:
a) Các đường thẳng vuông góc với $AC$ là: $B{\rm{D}},B’D’,AA’,BB’,CC’,DD’$.
b) Các đường thẳng chéo với $AC$ là: $B’D’,BB’,DD’$.
Vận dụng 2 trang 55 toán 11 tập 2
Hình bên mô tả một người thợ đang ốp gạch vào tưởng có sử dụng thước laser để kẻ vạch. Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng $a$ trong Hình 4.
Lời giải:
Các đường thẳng vuông góc với đường thẳng $a$ trong Hình 4 là: chân tường, mép các viên gạch ốp tường, mép các viên gạch sàn nhà song song với chân tường,…
Giải toán 11 tập 2 trang 56
Giải bài 1 trang 56 Toán 11 tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết Sa = a$\sqrt{3}$, SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB
Bài làm
CD//AB nên góc giữa SB và CD là góc giữa AB và SB, $\widehat{ABS}$
CB//AD nên góc giữa SD và CB là góc giữa SD và AD, $\widehat{ADS}$
Ta có: $tan\widehat{ABS}=tan\widehat{ADS} = \frac{a\sqrt{3}}{a} =\sqrt{3}$
Suy ra $\widehat{ABS} = \widehat{ADS} = \frac{\pi}{3}$
Giải bài 2 trang 56 Toán 11 tập 2
Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB $\perp$ CD
Bài làm
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, AD
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện ABCD
Tam giác ACD là MP là đường trung bình nên MP = $\frac{1}{2}.CD = \frac{1}{2}a$, MP // CD
Tam giác ABC là MN là đường trung bình nên MN = $\frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}a$; MN // AB
Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Suy ra tam giác BCP cân tại P có PN là trung tuyến nên PN $\perp$ BC
$NP = \sqrt{CP^{2} – CN^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2} – (\frac{1}{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
Tam giác MNP có: $MN^{2} + MP^{2} = NP^{2}$ nên tam giác MNP vuông tại M
Do MN // AB, MP // CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MN và MP và bằng 900
Vậy AB $\perp$ CD
Giải bài 3 trang 56 Toán 11 tập 2
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{BSA} = \widehat{CSA} = 60^{o} , \widehat{BSC} = 90^{o}$. Cho I và J lần lượt là trung diểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ $\perp$ SA và IJ $\perp \sqrt{BC}$
Bài làm
Tam giác SAB có SA = SB = a; $\widehat{BSA} = 60^{o}$ nên tam giác SAB đều cạnh a. Suy ra IB = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Tam giác SAC có SA = SC = a; $\widehat{CSA} = 60^{o}$ nên tam giác SAC đều cạnh a. Suy ra IC = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Suy ra tam giác IBC cân tại I có IJ là trung tuyến. Nên IJ $\perp$ BC
Tam giác SBC vuông cân tại S nên BC = $\sqrt{2}a$; SJ = $\frac{\sqrt{2}}{2}a$
Tam giác ABC có AB = AC = a; CB = $\sqrt{2}a$ nên tam giác ABC vuông cân tại A. Mà AJ là trung tuyến nên AJ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Suy ra tam giác SAJ cân tại J có JI là trung tuyến. Nên IJ $\perp$ SA
Giải bài 4 trang 56 Toán 11 tập 2
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC
Bài làm
Tam giác ACD đều cạnh a có AK là trung tuyến nên AK = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Gọi I là trung điểm của BD
Tam giác ABD đều cạnh a có AI là trung tuyến nên AI = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Tam giác BCD có IK là đường trung bình nên IK // BC, IK = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$
Ta có: $cos\widehat{AKI} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Nên $\widehat{AKI} = 73,2^{o}$
Vì BC // IK nên góc giữa AK và BC là góc giữa AK và KI và bằng $73,2^{o}$
Giải bài 5 trang 56 Toán 11 tập 2
Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = a$\sqrt{3}$. Tính góc giữa AB và CD
Lời giải
Gọi $P$ là trung điểm của $AC$.
Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$
$P$ là trung điểm của $AC$
$ \Rightarrow MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$ \Rightarrow MP\parallel AB,MP = \frac{1}{2}AB = a$
$N$ là trung điểm của $A{\rm{D}}$
$P$ là trung điểm của $AC$
$ \Rightarrow NP$ là đường trung bình của tam giác $AC{\rm{D}}$
$ \Rightarrow NP\parallel C{\rm{D}},NP = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = a$
Ta có: $MP\parallel AB,NP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MP,NP} \right)$
Xét tam giác $MNP$ có:
$\cos \widehat {MPN} = \frac{{M{P^2} + N{P^2} – M{N^2}}}{{2.MP.NP}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {MPN} = {120^ \circ }$
Vậy $\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {180^ \circ } – \widehat {MPN} = {60^ \circ }$.
Giải bài 6 trang 56 Toán 11 tập 2
Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD
Lời giải
Ta có: $AB\parallel a \Rightarrow \left( {AF,a} \right) = \left( {AF,AB} \right)$
$ABCDEF$ là lục giác đều $ \Rightarrow \widehat {F{\rm{A}}B} = {120^ \circ } \Rightarrow \left( {AB,a} \right) = {180^ \circ } – \widehat {F{\rm{A}}B} = {60^ \circ }$
$ABCDEF$ là lục giác đều
$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {AFE} = {120^ \circ } \Rightarrow \widehat {F{\rm{AE}}} = \frac{{{{180}^ \circ } – \widehat {AFE}}}{2} = {30^ \circ }\\ \Rightarrow \widehat {E{\rm{A}}B} = \widehat {F{\rm{A}}B} – \widehat {F{\rm{AE}}} = {90^ \circ }\end{array}$
$AB\parallel a \Rightarrow \left( {AE,a} \right) = \left( {AE,AB} \right) = \widehat {E{\rm{A}}B} = {90^ \circ }$
$ABC{\rm{D}}$ là hình thang cân $ \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^ \circ }$
$AB\parallel a \Rightarrow \left( {AD,a} \right) = \left( {AD,AB} \right) = \widehat {D{\rm{A}}B} = {60^ \circ }$