Toán 11 tập 2 trang 15 Bài 19: Lôgarit
Toán 11 tập 2 trang 15 Bài 19: Lôgarit
Giải toán 11 tập 2 trang 15 Bài 19 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 11 tập 2 trang 10
HĐ 1 trang 10 toán 11 tập 2
Tìm x, biết:
a) ${2^x} = 8;$
b) ${2^x} = \frac{1}{4};$
c) ${2^x} = \sqrt 2 .$
Lời giải:
a)
$\begin{array}{l}{2^x} = 8\\ \Leftrightarrow {2^x} = {2^3}\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$
b)
$\begin{array}{l}{2^x} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {2^x} = {2^{ – 2}}\\ \Leftrightarrow x = – 2\end{array}$
c)
$\begin{array}{l}{2^x} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {2^x} = {2^{\frac{1}{2}}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\end{array}$
LT 1 trang 11 toán 11 tập 1
Tính:
a) ${\log _3}3\sqrt 3 ;$
b) ${\log _{\frac{1}{2}}}32.$
Lời giải:
a)
${\log _3}3\sqrt 3 = {\log _3}\left( {{{3.3}^{\frac{1}{2}}}} \right) = {\log _3}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}$
b)
${\log _{\frac{1}{2}}}32 = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 5}} = – 5$
HĐ 2 trang 11 toán 11 tập 1
Cho M = 25, N = 23. Tính và so sánh:
a) ${\log _2}\left( {MN} \right)$ và ${\log _2}M + {\log _2}N;$
b) ${\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right)$ và ${\log _2}M – {\log _2}N.$
Lời giải:
a)
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {MN} \right) = {\log _2}\left( {{2^5}{{.2}^3}} \right) = {\log _2}{2^8} = 8;\\{\log _2}M + {\log _2}N = {\log _2}{2^5} + {\log _2}{2^3} = 5 + 3 = 8\\ \Rightarrow {\log _2}\left( {MN} \right) = {\log _2}M + {\log _2}N\end{array}$
b)
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{2^3}}}{\log _2}{2^2} = 2\\{\log _2}M – {\log _2}N = {\log _2}{2^5} – {\log _2}{2^3} = 5 – 3 = 2\\ \Rightarrow {\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _2}M – {\log _2}N\end{array}$
Toán 11 tập 2 trang 11
LT 2 trang 11 toán 11 tập 2
Rút gọn biểu thức:
$A = {\log _2}\left( {{x^3} – x} \right) – {\log _2}\left( {x + 1} \right) – {\log _2}\left( {x – 1} \right)\,\,\,\,\left( {x > 1} \right).$
Lời giải:
$\begin{array}{c}A = {\log _2}\left( {{x^3} – x} \right) – {\log _2}\left( {x + 1} \right) – {\log _2}\left( {x – 1} \right) = {\log _2}\frac{{{x^3} – x}}{{x + 1}} – {\log _2}\left( {x – 1} \right) = {\log _2}\frac{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}\\ = {\log _2}\frac{{x\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{{x^2} – 1}} = {\log _2}x.\end{array}$
HĐ 3 trang 11 toán 11 tập 2
Giả sử đã cho ${\log _a}M$ và ta muốn tính ${\log _b}M.$ Để tìm mối liên hệ giữa ${\log _a}M$ và ${\log _b}M,$ hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a) Đặt $y = {\log _a}M,$ tính M theo y;
b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.
Lời giải:
a) $y = {\log _a}M \Leftrightarrow M = {a^y}$
b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của $M = {a^y}$ ta được
${\log _b}M = {\log _b}{a^y} \Leftrightarrow {\log _b}M = y{\log _b}a \Leftrightarrow y = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}$
LT 3 trang 12 toán 11 tập 1
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính ${\log _9}\frac{1}{{27}}.$
Lời giải:
${\log _9}\frac{1}{{27}} = {\log _{{3^2}}}{3^{ – 3}} = \frac{{{{\log }_3}{3^{ – 3}}}}{{{{\log }_3}{3^2}}} = \frac{{ – 3}}{2}.$
Toán 11 tập 2 trang 14
Vận dụng trang 14 toán 11 tập 2
Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.
a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:
– Lãi kép kì hạn 12 tháng;
– Lãi kép kì hạn 1 tháng;
– Lãi kép liên tục.
b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thẻ thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
a) Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo lãi kép kì hạn 12 tháng là:
$100.{\left( {1 + \frac{{0,06}}{1}} \right)^1} = 106$ (triệu đồng)
Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo lãi kép kì hạn 1 tháng là:
$100.{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12}} = 106,1677812$ (triệu đồng)
Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo lãi kép liên tục là:
$100.{e^{0,06.1}} = 106,1836547$ (triệu đồng)
b) Vì cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thẻ thức lãi kép liên tục nên ta có
$100.{e^{0,06t}} = 150 \Leftrightarrow {e^{0,06t}} = 1,5 \Leftrightarrow 0,06t = {\log _e}1,5 \Leftrightarrow t = 6,757751802$
Do đó thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thẻ thức lãi kép liên tục là 7 năm
Bài 6.9 trang 14 Toán 11 tập 2
Tính
a) $\log_{2}2^{-13}$
b) $lne^{\sqrt{2}}$
c) $\log_{8}16-\log_{8}2$
d) $\log_{2}6.\log_{6}8$
Bài làm
a) $\log_{2}2^{-12} = -12\log_{2}2 = -12$
b) $lne^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\ln(e) = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$
c) $\log_{8}16-\log_{8}2 = \log_{8}\frac{16}{2} = \log_{8}8 = 1$
d) $\log_{2}6.\log_{6}8 = \frac{\log_{2}6}{\log_{2}6}.\frac{\log_{6}8}{\log_{6}2} = \frac{\log_{2}2.\log_{2}4}{\log_{2}2.\log_{2}3} = \frac{\log_{2}4}{\log_{2}3} = \log_{3}4\approx 1.26186$
Bài 6.10 trang 14 Toán 11 tập 2
Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
a) $A=ln(\frac{x}{x-1})+ln(\frac{x+1}{x})-ln(x^{2}-1)$
b) $B=21\log_{3}\sqrt[3]{x}+\log_{3}(9x^{2})-\log_{3}9$
Bài làm
a) $A = ln(\frac{x(x+1)}{(x-1)(x^2-1)}) = ln(x(x+1)) – ln((x-1)(x^2-1))$
b) $B = 21\log_{3}(x^{\frac{1}{3}}) + \log_{3}(9x^2) – \log_{3}9$
=$\log_{3}(x^7) + \log_{3}(9x^2) – \log_{3}9$
= $\log_{3}(\frac{9x^9}{9})$
= $\log_{3}(x^9)$
Toán 11 tập 2 trang 15
Bài 6.11 trang 15 Toán 11 tập 2
Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A=\log_{\frac{1}{3}}5+2\log_{9}25-\log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}$
b) $A=\log_{a}M^{2}+\log_{a^{2}}M^{4}$
Bài làm
a) $A=\frac{\log_{3^{-1}}5}{1}+\frac{\log_{3^2}25}{2}-\frac{\log_{5^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{5}}{1}$
=-$\log_{3}5+2\log_{3}25-\frac{\log_{5}\frac{1}{5}}{2}$
=-$\log_{3}5+2\log_{3}5-\log_{3}5=-\log_{3}5+2\log_{3}5-\log_{3}5=\log_{3}5$
b) $\displaystyle B={{\log }_{a}}{{M}^{2}}+{{\log }_{{{{a}^{2}}}}}{{M}^{4}}$$A=\log_{a}(M^{2})+\log_{a^{2}}(M^{4})=2\log_{a}M + 4\log_{a}M = 6\log_{a}M$ =$\displaystyle =2{{\log }_{a}}M+\frac{1}{2}\cdot 4{{\log }_{a}}M=4{{\log }_{a}}M$
Bài 6.12 trang 15 Toán 11 tập 2
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A=\log_{2}3.\log_{3}4.\log_{4}5.\log_{5}6.\log_{6}7.\log_{7}8$
b) $A=\log_{2}2.\log_{2}4…\log_{2}2^{n}$
Bài làm
a) $A=\frac{\log_{2}3}{\log_{2}2}.\frac{\log_{3}4}{\log_{3}3}.\frac{\log_{4}5}{\log_{4}4}.\frac{\log_{5}6}{\log_{5}5}.\frac{\log_{6}7}{\log_{6}6}.\frac{\log_{7}8}{\log_{7}7}= \frac{\log_{2}8}{\log_{2}2}= 3$
b) $A=\log_{2}2.\log_{2}4…\log_{2}2^{n} = \frac{1}{\log_{2}2}.\frac{1}{\log_{2}4}…\frac{1}{\log_{2}2^{n}}=\frac{1}{1+2+…+n}=\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$
Bài 6.13 trang 15 Toán 11 tập 2
Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là
a= 15 500(5 – log p) trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).
Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850m so với mực nước biển.
Ta có đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển nên a = 8 850.
Khi đó 15 500(5 – log p) = 8 850 ⇔ $\displaystyle \Leftrightarrow \log p=\frac{{1373}}{{310}}$
$\displaystyle \Leftrightarrow p={{10}^{{\frac{{1373}}{{310}}}}}\approx 26855,44$
Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest xấp xỉ 26 855,44 Pa.
Bài 6.14 trang 15 Toán 11 Tập 2:
Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m2) được định nghĩa như sau: $\displaystyle L\left( I \right)=10\log \frac{I}{{{{I}_{0}}}}$
trong đó I0 = 10– 12 W/m2 là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).
Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10– 7 W/m2.
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10– 3 W/m2.
Lời giải:
a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10– 7 W/m2 là
$\displaystyle {{L}_{1}}=10\log \frac{I}{{{{I}_{0}}}}=10\log \frac{{{{{10}}^{{-7}}}}}{{{{{10}}^{{-12}}}}}=10\log {{10}^{5}}=50\left( {dB} \right)$
b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10– 3 W/m2 là
$\displaystyle {{L}_{2}}=10\log \frac{I}{{{{I}_{0}}}}=10\log \frac{{{{{10}}^{{-3}}}}}{{{{{10}}^{{-12}}}}}=10\log {{10}^{9}}=90\left( {dB} \right)$