Toán 11 tập 2 trang 36 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt

Giải toán 11 tập 2 trang 36 Bài 23 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 2 trang 31

HĐ 1 trang 31 toán 11 tập 2

Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Lời giải:

a) Vì mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà nên khi cánh cửa đóng, điểm A trên cánh cửa sẽ nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường sát sàn nhà. Khi mở cánh cửa, điểm A sẽ di chuyển theo đường thẳng song song với đường sát sàn nhà và vẫn giữ nguyên góc vuông với các đường thẳng đi qua B trên sàn nhà. Do đó, đường thẳng AB luôn vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Theo tính chất của góc phẳng, khi hai đường thẳng AB và BC vuông góc với một đường thẳng CD chung, thì AB cũng vuông góc với BC. Vì vậy, khi đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng đi qua điểm B trên sàn nhà, thì đường thẳng AB cũng vuông góc với mọi đường thẳng khác trên sàn nhà.

Toán 11 tập 2 trang 32

CH 1 trang 32 toán 11 tập 2

Nếu đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

Lời giải:

Nếu đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau.

HĐ 2 trang 32 toán 11 tập 2

Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bia thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.

a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?

b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Lời giải:

a) Sau khi gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật, ta sẽ có hai hình chữ nhật MNAB; ABCD. Do đó, đường thẳng AB sẽ vuông góc với cạnh AN, AD của hai hình chữ nhật đó.

b) Để kiểm tra xem đường thẳng AB có vuông góc với đường thẳng a hay không, ta có thể sử dụng một ê-ke. Đặt một đầu ê-ke lên điểm A và đưa đầu kia đi dọc theo đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke không thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là hai đường không vuông góc nhau.

CH 2 trang 32 toán 11 tập 2

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại hay không?

Lời giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại.

LT 1 trang 32 toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO $ \bot $ (ABCD).

Lời giải:

+) Xét tam giác SAC có SA = SC $ \Rightarrow $ SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến

$ \Rightarrow $ SO $ \bot $ AC.

Xét tam giác SBD có SB = SD $ \Rightarrow $ SBD là tam giác cân mà SO là trung tuyến

$ \Rightarrow $ SO $ \bot $ BD.

+) Ta có SO $ \bot $ AC; SO $ \bot $ BD; AC $ \cap $ BD tại O $ \Rightarrow $ SO $ \bot $ (ABCD).

Toán 11 tập 2 trang 33

VD trang 33 toán 11 tập 2

Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Lời giải:

Ta coi hai thanh đế thẳng đặt dưới dàn nhà là 2 đường thẳng cắt nhau và sàn nhà là 1 mặt phẳng.

Vì hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó, hai thanh đế đó cắt nhau và nằm trên mặt phẳng là sàn nhà nên cột treo vuông góc với sàn nhà.

HĐ 3 trang 33 toán 11 tập 2

Cho điểm O và đường thẳng $\Delta $ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với $\Delta $. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với $\Delta $.

Lời giải:

$\left. \begin{array}{l}a \bot d\\d//\Delta \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot a$

$\left. \begin{array}{l}b \bot d\\d//\Delta \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot b$

Mà $a \cap b = \left\{ O \right\}$ $ \Rightarrow $ mp(a, b) đi qua O và vuông góc với $\Delta $.

Toán 11 tập 2 trang 34

HĐ 4 trang 34 toán 11 tập 2

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ cắt nhau theo một đường thẳng $\Delta $ đi qua O.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $\Delta $ và (P).

Lời giải:

a) Vì $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ là các mặt phẳng qua O và giao 2 mặt phẳng là 1 đường thẳng nên hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$ cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Gọi $\Delta $ là giao tuyến của 2 $\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)$

$\left. \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha  \right)\\\Delta  \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot \Delta $

$\left. \begin{array}{l}b \bot \left( \beta  \right)\\\Delta  \subset \left( \beta  \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b \bot \Delta $

Mà $a \cap b = \left\{ I \right\} \Rightarrow \Delta  \bot \left( P \right)$

LT 2 trang 34 toán 11 tập 2

Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải:

Vì AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P) nên AB trùng AC

$ \Rightarrow $ A, B, C thẳng hàng.

HĐ 5 trang 34 toán 11 tập 2

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).

Lời giải:

$\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\m \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot m \Rightarrow \left( {a,m} \right) = {90^0}$

a // b $ \Rightarrow \left( {a,m} \right) = \left( {b,m} \right) = {90^0}$ mà đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P)

$ \Rightarrow $ b $ \bot $ (P).

HĐ 6 trang 34 toán 11 tập 2

Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b.

a) Hỏi c có vuông góc với (P) hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.

Lời giải:

a) b // c; b $ \bot $ (P) $ \Rightarrow $ c $ \bot $ (P)

Mà a $ \bot $ (P)

a, c cùng đi qua điểm O

$ \Rightarrow $ a trùng c.

b) Ta có b // c mà a trùng c nên a // b.

Toán 11 tập 2 trang 35

HĐ 7 trang 35 toán 11 tập 2

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng $\Delta $ vuông góc với (P). Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh ($\Delta $, b) và ($\Delta $, a). Từ đó rút ra mối quan hệ giữa $\Delta $ và (Q).

Lời giải:

$\left. \begin{array}{l}\Delta  \bot \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta  \bot a,a//b \Rightarrow \Delta  \bot b \Rightarrow \left( {\Delta ,b} \right) = {90^0}$

$\Delta  \bot a \Rightarrow \left( {\Delta ,a} \right) = {90^0}$

$ \Rightarrow $ ($\Delta $, b) = ($\Delta $, a) mà b là đường thẳng bất kì thuộc (Q)

$ \Rightarrow $ $\Delta  \bot \left( Q \right)$

HĐ 8 trang 35 toán 11 tập 2

Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng $\Delta $. Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).

a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).

b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Lời giải:

a) (R) // (Q); $\Delta $ $ \bot $ (Q) $ \Rightarrow $ $\Delta $ $ \bot $ (R)

Mà $\Delta $ $ \bot $ (P) và (R), (Q) là 2 mặt phẳng cùng đi qua O

$ \Rightarrow $ (R) trùng (P)

b) (R) // (Q) mà  (R) trùng (P) nên (P) // (Q)

LT 3 trang 35 toán 11 tập 2

Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Lời giải:

Ta coi chân bàn như đường thẳng và mặt bàn, mặt sàn là 2 mặt phẳng.

Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn nên hai mặt phẳng đó có song song với nhau vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

HĐ 9 trang 35 toán 11 tập 2

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính ($\Delta $, a).

Lời giải:

Vì a // (P) nên a // b sao cho b $ \subset $ (P)

$ \Rightarrow $ ($\Delta $; a) = ($\Delta $; b)

Mà $\Delta $ $ \bot $ (P); b $ \subset $ (P) nên $\Delta $ $ \bot $ b $ \Rightarrow $ ($\Delta $; b) = 90⁰

Vậy ($\Delta $; a) = 90⁰

Toán 11 tập 2 trang 36

HĐ 10 trang 36 toán 11 tập 2

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng $\Delta $.

a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a’ song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a’ và (P).

b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Lời giải:

a) $\Delta  \bot a,a//a’ \Rightarrow \Delta  \bot a’$

$\Delta  \bot a’,\Delta  \bot \left( P \right)$ $ \Rightarrow $ a’ // (P) hoặc a’ $ \subset $ (P) mà điểm O thuộc (P) và đi qua a’

Vậy a’ $ \subset $ (P).

b) a’ // a; a’ $ \subset $ (P) $ \Rightarrow $a // (P) hoặc a $ \subset $ (P) vì a và (P) không phân biệt.

LT 4 trang 36 toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA $ \bot $ (ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC $ \bot $ (MBD) và AH // (MBD).

Lời giải:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} + )AC \bot BD\,\,\left( {hv\,\,ABCD} \right)\\SA \bot BD\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\\left. \begin{array}{l} + )BD \bot SC\left( {BD \bot \left( {SAC} \right)} \right)\\BM \bot SC\\BD \cap BM = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot \left( {MBD} \right)\end{array}$

Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$

$\left. \begin{array}{l}SC \bot \left( {MBD} \right)\\OM \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SC \bot OM$

Mà $AH \bot SC$

$ \Rightarrow AH//OM,OM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow AH//\left( {MBD} \right)$

Bài 7.5 trang 36 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAM);

b) Tam giác SBC cân tại S.

Bài làm

a) Ta có $SA \perp (ABC)$ và AM là đường trung bình trong tam giác đều ABC, nên $AM \perp BC$ và AM là đường cao của tam giác SBC. Khi đó, ta có $BC \perp (SAM)$ vì $BC \perp AM$ .

b) Ta có $\widehat{ SBC} = 180^\circ -\widehat{ABC} = 180^\circ – \widehat{BAC} = \widehat{ SAC}$

. Mặt khác, ta có SA = SC vì S là đỉnh của hình chóp S.ABC và AC là đường bờ của đáy ABC, vì ABC là tam giác cân tại A nên AC là đường trung trực của BC, suy ra SC = SA. Vậy SBC là tam giác cân tại S.

Bài 7.6 trang 36 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

Bài làm

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó, ta có MN // AD và MN // BC vì ABCD là hình chữ nhật.

Do đó, SM và SN là hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và do đó chúng cũng vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, bao gồm các cạnh AB, BC, CD và AD.

Vì SM ⊥ AB và SN ⊥ CD, nên SMB và SND là hai tam giác vuông. Tương tự, SMC và SNA cũng là hai tam giác vuông. Do đó, các mặt bên của hình chóp S.ABCD đều là các tam giác vuông.

Bài 7.7 trang 36 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM ⊥ (SBC), AN ⊥ (SCD), SC ⊥ (AMN).

Bài làm

Gọi O là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Khi đó, SO là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đi qua trung điểm O của đường chéo AC của hình chữ nhật.

Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ (ABCD), SA // SO. Do đó, SAOM là hình bình hành. Vì OM ⊥ SB, nên AM ⊥ SB. Tương tự, ta chứng minh được AN ⊥ SD.

Ta có SM//ND vì SM và ND cùng vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đi qua cùng một điểm A. Vậy, $\widehat{AMN\;}=\;\widehat{BMS}\;=\;\widehat{SBC}$  Như vậy, AM ⊥ (SBC). Tương tự, ta chứng minh được AN ⊥ (SCD).

Cuối cùng, ta chứng minh được SC ⊥ (AMN) như sau: Vì AM vuông góc với SB nên SC vuông góc với mặt phẳng (SAB). Tương tự, SC vuông góc với mặt phẳng (SCD). Do đó, SC là đường vuông góc chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), suy ra SC ⊥ (AMN).

Bài 7.8 trang 36 Toán 11 Tập 2

Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

Lời giải:

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.

Bài 7.9 trang 36 Toán 11 Tập 2

Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Lời giải:

Có 1² + 1² ≠ 1,5² . Do đó theo định lí Pythagore thì cột không vuông góc với mặt sân.

Do đó cột không có phương thẳng đứng.