Toán 11 tập 2 trang 53 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc
Toán 11 tập 2 trang 53 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc
Giải toán 11 tập 2 trang 53 Bài 25 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 11 tập 2 trang 44
HĐ1 trang 44 toán 11 tập 2
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a’ cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b’ cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a,b) và (a’, b’).
Lời giải:
Vì hai đường thẳng a, a’ cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b’ cùng vuông góc với (Q) nên a // a’, b // b’
Vậy (a,b) = (a’, b’)
CH1 trang 44 toán 11 tập 2
Góc giữa hai mặt phẳng bằng 00 khi nào, khác 00 khi nào?
Lời giải:
Góc giữa hai mặt phẳng
+) bằng 00 khi trùng nhau
+) khác 00 khi giao nhau
Toán 11 tập 2 trang 45
LT1 trang 45 toán 11 tập 2
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO $ \bot $ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.
Lời giải:
$\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\\\left( {SAC} \right):AC \bot SO = \left\{ O \right\}\\\left( {SBD} \right):BD \bot SO = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AC,BD} \right) = \widehat {AOB}$
+) Nếu $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow AC \bot BD$
Mà ABCD là hình chữ nhật nên ABCD là hình vuông.
+) Nếu ABCD là hình vuông $ \Rightarrow AC \bot BD \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0}$
$ \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$
HĐ2 trang 45 toán 11 tập 2
Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).
a) Tính góc giữa a và b.
b) Tính góc giữa (P) và (Q).
Lời giải:
a) $\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b \Rightarrow \left( {a,b} \right) = {90^0}$
b) Gọi $\left( P \right) \cap \left( Q \right) = \Delta $
$\begin{array}{l}a \bot \Delta \left( {a \bot \left( P \right)} \right)\\b \bot \Delta \left( {b \bot \left( Q \right)} \right)\\ \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {a,b} \right) = {90^0}\end{array}$
Toán 11 tập 2 trang 46
LT2 trang 46 toán 11 tập 2
Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.
Lời giải:
Trong một phòng, mặt sàn và các mặt tường đều vuông góc với nhau. Khi cánh cửa được đóng lại, thì mặt cửa cũng vuông góc với cả mặt sàn và mặt tường, nên đường thẳng nối bán lề của cánh cửa và cạnh của phòng sẽ là đường thẳng vuông góc với sàn nhà.
Trong quá trình đóng – mở cánh cửa, bán lề của cánh cửa vẫn cố định với mặt tường, nên đường thẳng nối bán lề của cánh cửa và cạnh của phòng vẫn là đường thẳng vuông góc với sàn nhà. Từ đó suy ra, trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.
HĐ3 trang 46 toán 11 tập 2
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến $\Delta $ của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và $\Delta $. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với $\Delta $ tại O.
a) Tính góc giữa a và b.
b) Tìm mỗi quan hệ giữa a và (Q).
Lời giải:
a) $\left\{ \begin{array}{l}(P) \cap (Q) = \Delta \\a \subset (P),a \bot \Delta \\b \subset (Q),b \bot \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left( {(P),(Q)} \right) = \left( {a,b} \right)$
Do $(P) \bot (Q) \Rightarrow \left( {(P),(Q)} \right) = {90^0} \Rightarrow \left( {a,b} \right) = {90^0}$
b) Do $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot \Delta \\b \cap \Delta \end{array} \right. \Rightarrow a \bot (Q)$
HĐ4 trang 46 toán 11 tập 2
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a’ là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).
a) Hỏi a’ có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?
b) Tìm mối quan hệ giữa a và a’.
c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).
Lời giải:
a) Vì O là một điểm thuộc a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và a’ là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).
Theo nhận xét trang 46 thì a’ có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q).
b) Vì a’ có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) nên a’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) do đó a trùng a’ (do a cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)).
c) a vuông góc với (R) do a trùng a’ và a’ vuông góc với (R).
Toán 11 tập 2 trang 47
LT3 trang 47 toán 11 tập 2
Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:
a) Các mặt phẳng (AB’C’D’) và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);
b) Giao tuyển của hai mặt phẳng (AB’C’D’) và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.
Lời giải:
a) Từ ví dụ 3b ta có AB’, AC’ cùng đi qua A và vuông góc với SC
$ \Rightarrow SC \bot \left( {AB’C’D’} \right),SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {AB’C’D’} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right),SA \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
Do đó các mặt phẳng (AB’C’D’) và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC).
b) Vì (AB’C’D’) và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’D’) và (ABCD) vuông góc với (SAC)
Vậy giao tuyển của hai mặt phẳng (AB’C’D’) và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.
HĐ5 trang 47 toán 11 tập 2
Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.
a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?
b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?
Lời giải:
a) Theo tài liệu nói trên, góc xOy trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°
b) Vì các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế nên góc giữa lưng ghế và mặt ghế là góc giữa Ox và Oy mà góc xOy có số đo từ 100° đến 105°
Do đó nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo 750 đến 800
Toán 11 tập 2 trang 48
LT4 trang 48 toán 11 tập 2
Cho hình chóp S.ABC có SA $ \bot $ (ABC), AB = AC = a, $\widehat {BAC} = {120^0},SA = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}.$ Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng $\widehat {SMA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC có AB = AC => tam giác ABC cân tại A mà M là trung điểm BC
=> $AM \bot BC$ (1)
$\begin{array}{l}SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right);SM \subset \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$
Từ (1), (2) ta có $\widehat {SMA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
b) Xét tam giác ABC cân tại A có
$\widehat {BAC} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {30^0}$
$\sin \widehat {ACB} = \frac{{AM}}{{AC}} \Leftrightarrow \sin {30^0} = \frac{{AM}}{a} \Leftrightarrow AM = \frac{a}{{2 }}$
$\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}:\frac{a}{{2 }} = \frac{\sqrt 3}{3} \Rightarrow \widehat {SMA} = 30^0$
VD1 trang 48 toán 11 tập 2
Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.
Lời giải:
Gọi đường kính của khung là AB có tâm I và đường kính của cánh là MN có tâm I’
=> II’ = d = 40cm
Vì đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau nên mặt phẳng chứa cánh song song với mặt phẳng chứa khung
=> Hai mặt phẳng đó cắt nhau tại 1 đường thẳng d’ qua O song song với AB và MN.
Vì O là điểm chính giữa nên $OI \bot AB,OI’ \bot MN$
=> $d’ \bot OI,d’ \bot OI’$
Do đó góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa là góc $\widehat {IOI’}$
Xét tam giác IOI’ có
$OI = OI’ = \frac{{80}}{2} = 40 \Rightarrow OI = OI’ = II’$
$ \Rightarrow $ Tam giác IOI’ đều $ \Rightarrow $ $\widehat {IOI’} = {60^0}$
Vậy số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm là 600
Toán 11 tập 2 trang 49
HĐ6 trang 49 toán 11 tập 2
Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?
Lời giải:
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật.
Vì hình lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc với mặt đáy nên các mặt bên có vuông góc với mặt đáy.
HĐ7 trang 49 toán 11 tập 2
Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?
Lời giải:
Lăng trụ đều có các cạnh bên bằng nhau, đáy là đa giác đều nên các cạnh đáy bằng nhau do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước.
HĐ8 trang 49 toán 11 tập 2
Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?
Lời giải:
Trong 6 mặt của hình hộp đứng, ít nhất 4 mặt là hình chữ nhật vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành và hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy nên các mặt bên là hình chữ nhật.
Toán 11 tập 2 trang 50
HĐ9 trang 50 toán 11 tập 2
a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?
b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?
Lời giải:
a) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật vì hình hộp đứng có các mặt bên là hình chữ nhật và hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhât.
b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Điều này bởi vì cứ 2 đường chéo bất kì của hình hộp chữ nhật đều xác định nằm trong 1 một hình chữ nhật và là 2 đường chéo của hình chữ nhật đó.
HĐ10 trang 50 toán 11 tập 2
Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Các mặt của một hình lập phương là các hình vuông do hình hộp chữ nhật có các mặt là hình chữ nhật và có các cạnh bằng nhau.
VD2 trang 50 toán 11 tập 2
Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cũng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.
Lời giải:
Do các hình vuông được cắt ra từ tấm tôn góc ban đầu có kích thước giống nhau, do đó khi ghép các mép lại với nhau, ta sẽ có được đường biên của chiếc hộp chữ nhật. Các cạnh của hình vuông trùng với các cạnh của hộp chữ nhật, do đó khi các mặt được ghép lại với nhau, chúng sẽ tạo thành các mặt của hộp chữ nhật. Vì vậy, bằng cách này, bác Hùng đã tạo ra một chiếc thùng hình hộp chữ nhật từ một tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.
Toán 11 tập 2 trang 51
HĐ11 trang 51 toán 11 tập 2
Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).
Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đây là tâm của đáy tháp.
Lời giải:
Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp với các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của đỉnh trên đáy tháp sẽ cách đều 4 đỉnh ở đáy mà đáy là hình vuông do đó hình chiếu của đỉnh là tâm của đáy tháp.
HĐ12 trang 51 toán 11 tập 2
Cho hình chóp S.A1A2…An. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2…An).
a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với đa giác đều A1A2…An?
b) Nếu đa giác A1A2…An là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?
Lời giải:
a) Hình chóp S.A1A2…An đều nên SA1 = SA2 = … = SAn
Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2…An) nên OA1, OA2, …, OAn lần lượt là hình chiếu của SA1, SA2, …, SAn
$ \Rightarrow $ OA1 = OA2 = … = OAn $ \Rightarrow $ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A1A2…An
b) Nếu đa giác A1A2…An là đều và O là tâm của đa giác đó thì OA1 = OA2 = … = OAn $ \Rightarrow $ SA1 = SA2 = … = SAn $ \Rightarrow $ Hình chóp S.A1A2…An là hình chóp đều
LT5 trang 51 toán 11 tập 2
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt {\frac{5}{{12}}} .$ Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Lời giải:
Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.
Gọi AG cắt BC tại D
Ta có $AG \bot BC,SG \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right);SD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD$
$BC \bot AD$ (G là trực tâm)
$ \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \left( {AD,SD} \right) = \widehat {SDA}$
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Mà G là trọng tâm nên $GD = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$
Xét tam giác SDC vuông tại D có
$\begin{array}{l}S{D^2} + D{C^2} = S{C^2}\\ \Leftrightarrow S{D^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {\left( {a\sqrt {\frac{5}{{12}}} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow S{D^2} = \frac{{{a^2}}}{6} \Leftrightarrow SD = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\end{array}$
Xét tam giác SGD vuông tại G có
$\cos \widehat {SGD} = \frac{{GD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {SGD} = {45^0}$
Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 450.
HĐ13 trang 52 toán 11 tập 2
Cho hình chóp đều S.A1A2…An. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,…. SAn, tương ứng tai B1, B2,…, Bn
a) Giải thích vì sao S. B1B2…Bn là một hình chóp đều.
b) Gọi H là tâm của đa giác A1A2…An. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1B2…Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2…An), (B1B2…Bn)
Lời giải:
a) Vì mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,…. SAn, tương ứng tại B1, B2,…, Bn nên theo định lý Talet trong từng tam giác SA1A2, …, SAn-1An thì $\frac{{S{B_1}}}{{S{A_1}}} = \frac{{S{B_2}}}{{S{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = … = \frac{{S{B_n}}}{{S{A_n}}}$ mà S.A1A2…An là hình chóp đều nên S.B1B2…Bn cũng là một hình chóp đều.
b) Ta có $SH \bot \left( {{A_1}{A_2}…{A_n}} \right)$ (H là tâm của đa giác A1A2…An)
Mà $\left( {{A_1}{A_2}…{A_n}} \right)//\left( {{B_1}{B_2}…{B_n}} \right)$
$ \Rightarrow $$SH \bot \left( {{B_1}{B_2}…{B_n}} \right)$
Mà $SK \bot \left( {{B_1}{B_2}…{B_n}} \right)$ (K là tâm của đa giác B1B2…Bn)
$ \Rightarrow $ SH trùng SK
Vậy đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1B2…Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2…An), (B1B2…Bn)
Toán 11 tập 2 trang 52
CH2 trang 52 toán 11 tập 2
Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không?
Lời giải:
Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau vì theo hoạt động 13 có SB1 = SB2 = … = SBn , SA1= SA2=…. = SAn nên B1A1=…= BnAn
Toán 11 tập 2 trang 53
Bài 7.16 trang 53 Toán 11 tập 2
Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
a) Chứng minh rằng (SAB) $\perp$ (ABC) và (SAH) $\perp$ (SBC).
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC} = 30 ^{\circ} , AC = a , SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Tính số đo nhị diện [S. BC. A]
Bài làm
a) (SAB) $\perp$ (ABC): Vì SA $\perp$ (ABC) nên ta có SA $\perp$ AB và SA $\perp$ AC. Do đó, ta có thể kết luận rằng hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là A, và hình chiếu của A trên đường thẳng SB cũng nằm trên mặt phẳng (ABC), do đó (SAB) vuông góc với (ABC).
(SAH) $\perp$ (SBC): Gọi I là trung điểm của SA. Ta có IH $\perp$ BC vì H là hình chiếu của A trên BC, và SI $\perp$ BC vì SI là đường cao của tam giác SBC. Do đó, (SAH) vuông góc với (SBC).
b) ta có $\widehat{ABC} = 30^\circ do đó AB=AC\sqrt{3}=a\sqrt{3}$
Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{3a^{2}}{4}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Khi đó, ta có:
$SBC=\frac{1}{2}.BC.SH=\frac{1}{2}.2a.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Do đo số đo nhị diện [S.BC.A]
$S_{SBC}-S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{3a^{2}}{4}=-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Bài 7.17 trang 53 Toán 11 tập 2
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.
b) Chứng minh rằng (ACC’A’) $\perp$ (BDD’B’)
c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\widehat{COC’}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C’]. Tinh (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C. BD, C]. [A, BD, C’].
Bài làm
a) Độ dài đường chéo của hình lập phương có thể tính từ công thức cạnh đường chéo của hình lập phương như sau: $d=\sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}a$
b) Ta có $AC^{2}+CA’^{2}=AA’^{2}$ do tam giác vuông ACA’ nên ta có $AC=CA’=\frac{a}{\sqrt{2}}$ tương tự $BD^{2}=DB’^{2}=BC^{2}=CB’^{2}=AD^{2}=DA’^{2}=a^{2}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BD , A’C’ thì MN // AC // A’C’ và $MN=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}a^{2}$
Do AMD’ và D’BN là hai tam giác vuông cân tại M , N .
suy ra (ACC’A’) $\perp$ (BDD’B’)
Bài 7.18 trang 53 Toán 11 tập 2
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng (BDD′B′) ⊥ (ABCD).
b) Xác định hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng (ABCD).
c) Cho AB = a, BC = b, CC′ = c . Tính AC′.
Bài làm
a) Ta có BD // B’D’ và BD’=BD, suy ra BDD’B’ là hình bình hành. Hơn nữa, BD $\perp$ AB và B’D’ $\perp$ A’D’, suy ra BDD’B’ $\perp$ (ABCD).
b) Vẽ điểm P trên (ABCD) sao cho AP $\perp$ AC’. Khi đó hình chiều AC’ trên (ABCD) sẽ chính là đoạn thẳng PC’
Gọi M là trung điểm cả CC’ ta có
$\vec{MC’}=\frac{1}{2}\vec{CC’}$
$\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CA}$
Do đó:
$\vec{MC’}+\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CC’}+\frac{1}{2}\vec{CA}=\frac{1}{2}(\vec{CC’}+\vec{CA})=\frac{1}{2}\vec{C’A}$
Kết hợp với \vec{MA} vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , suy ra AP $\perp$ (ABCD) từ đó ta tìm được điểm P là giao điểm của đường thẳng AA’ với (ABCD)
c)Ta có ABCD là hình chữ nhật, suy ra AD = BC = b . Hơn nữa, $AC’^2=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= \dfrac{a^2+b^2}{2}+c^2$. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC, ta có $AB=\sqrt{a^2+b^2}$, suy ra:
$AC’=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+c^{2}}=\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})+c^{2}}$
Bài 7.19 trang 53 Toán 11 tập 2
Cho hình chóp đều S.ABC, đây có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Bài làm
a) Vì đây là hình chóp đều nên cạnh đáy AB có độ dài bằng a. Đường cao HS được kéo từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ABC. Theo định lý Pythagoras, ta có: $HS^{2}=SA^{2} -AS^{2}$
$SA=SB=SC=\sqrt{a^{2}+(\frac{b}{2})^{2}} và AS=\frac{b}{2}$
Thay vào công thức ta có:
$HS^{2}=(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})-\frac{b^{2}}{4}=a^{2}$
Do HS = a và góc gữa đường cao HS và cạnh đáy AB là góc $\theta$
$sin \theta =\frac{HS}{AB}=\frac{a}{a}=1$
b) Mặt phẳng SBC là một tam giác đều, do đó các cạnh SB và SC là phân giác của góc $\widehat{BSC}=120^\circ$.Vì vậy, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng SBC là một nửa của góc $\widehat{BSC}$
Do đó, tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên là:
$tan \theta=tan60^\circ = \sqrt{3}$
Bài 7.20 trang 53 Toán 11 tập 2
Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8m; OA = 2,8 m; OB = 4m.
a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chưa hai mái nhà.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.
c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.
Lời giải
a) Vì hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là góc giữa hai đường thẳng OA và OB.
Xét tam giác OAB có
$\cos \widehat {AOB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} – A{B^2}}}{{2OA.OB}} = \frac{{2,{8^2} + {4^2} – 4,{8^2}}}{{2.2,8.4}} = \frac{1}{{28}} \Rightarrow \widehat {AOB} \approx {88^0}$
b) (OAB) vuông góc với đường nóc nhà, đường nóc nhà song song với mặt phẳng đất nên (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng đất.
c) Đường thẳng qua B song song với mặt đất cắt đường thẳng qua A vuông góc với mặt đất tại H
Ta có $\sin \widehat {ABH} = \frac{{0,5}}{{4,8}} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx {6^0};\cos \widehat {OBA} = \frac{{13}}{{16}} \Rightarrow \widehat {OBA} \approx {36^0}$
Do đó $\widehat {OBH} = \widehat {ABH} + \widehat {OBA} \approx {42^0}.$
Vậy góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất khoảng 420
Bài 7.21 trang 53 Toán 11 tập 2
Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12}$ Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải
Giả sử góc tạo bởi đường thẳng dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang là α
Vì độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{{12}}$nên ta có
$\tan \alpha \le \frac{1}{{12}} \Rightarrow \alpha \le 4,{76^0}$
Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá 4,760