Toán 11 tập 2 trang 63 Bài 27: Thể tích

Giải toán 11 tập 2 trang 63 Bài 27 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 2 trang 61

HĐ 1 trang 61 toán 11 tập 2

Khi mua máy điều hoà, bác An được hướng dẫn rằng mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hoà khoảng 200 BTU. Căn phòng bác An cần lắp máy có dạng hình hộp chữ nhật, rộng 4 m, dài 5 m và cao 3 m. Hỏi bác An cần mua loại điều hoà có công suất bao nhiêu BTU?

Lời giải:

Thể tích của căn phòng là:

$V = 4.5.3 = 60\left( {{m^3}} \right)$

Vì mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hoà khoảng 200 BTU nên công suất cần thiết cho máy điều hoà của căn phòng bác An là:

60.200 = 12000 BTU

Do đó, bác An cần mua một máy điều hoà có công suất khoảng 12 000 BTU để làm mát cho căn phòng của mình.

Toán 11 tập 2 trang 62

LT 1 trang 62 toán 11 tập 2

Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp.

Lời giải:

Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$ mà S.ABCD đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 $

$ \Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác SAO vuông tại O có

$SO = \sqrt {S{A^2} – A{O^2}}  = \sqrt {{b^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} – \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{\sqrt {4{b^2} – 2{a^2}} }}{2}$

${S_{ABCD}} = {a^2}$

Vậy khối chóp có thể tích $V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {4{b^2} – 2{a^2}} }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^2}\sqrt {4{b^2} – 2{a^2}} }}{6}$

LT 2 trang 62 toán 11 tập 2

Cho khối chóp cụt đều ABC.A’B’C’ có đường cao HH’ = h, hai mặt đáy ABC, A’B’C’ có cạnh tương ứng bằng 2a, a.

a) Tính thể tích của khối chóp cụt.

b) Gọi B₁,C₁ tương ứng là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng AB₁C₁.A’B’C’ là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ AB₁C₁.A’B’C’.

Lời giải:

a) Tam giác đều ABC có diện tích $S = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $

Tam giác đều A’B’C’ có diện tích $S’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Thể tích khối chóp cụt

$V = \frac{1}{3}.HH’.\left( {S + S’ + \sqrt {S.S’} } \right) = \frac{1}{3}.h.\left( {{a^2}\sqrt 3  + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \sqrt {{a^2}\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} } \right) = \frac{{7{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}$

b) Vì ABC.A’B’C’ là khối chóp cụt đều nên (ABC) // (A’B’C’)

Mà $\left( {A{B_1}{C_1}} \right) \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A{B_1}{C_1}} \right)//\left( {A’B’C’} \right)$

Xét tam giác ABC có

B₁,C₁ tương ứng là trung điểm của AB, AC

$ \Rightarrow $ B₁C₁ là đường trung bình của tam giác ABC

$ \Rightarrow $ ${B_1}{C_1} = \frac{{BC}}{2}$ và B₁C₁ // BC mà $B’C’ = \frac{{BC}}{2}$ và BC // B’C’

$ \Rightarrow $ B₁C₁ = B’C’ và B₁C₁ // B’C’ $ \Rightarrow $ C₁C’B’B₁ là hình bình hành

Ta có $A{B_1} = A’B’ = \frac{{AB}}{2},A{B_1}//A’B’$ $ \Rightarrow $ AA’B’B₁ là hình bình hành.

$A{C_1} = A’C’ = \frac{{AC}}{2},A{C_1}//A’C’$ $ \Rightarrow $ AA’C’C₁ là hình bình hành.

Do đó AB₁C₁.A’B’C’ là một hình lăng trụ

Thể tích hình lăng trụ $V = HH’.S’ = h.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Toán 11 tập 2 trang 63

VD trang 63 toán 11 tập 2

Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều (H.7.98). Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng 30 cm, 60 cm, cạnh bên của sọt dài 50 cm. Tính thể tích của sọt.

Lời giải:

Diện tích mặt đáy lớn là ${S_1} = {60^2}\left( {c{m^2}} \right)$

Diện tích mặt đáy nhỏ là ${S_2} = {30^2}\left( {c{m^2}} \right)$

Chiều cao là $h = \sqrt {{{50}^2} – \frac{{{{30}^2}}}{2}}  = 5\sqrt {82} \left( {cm} \right)$

$V = \frac{1}{3}h\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right) \approx 95082\left( {c{m^3}} \right)$

Bài 7.28 trang 63 Toán 11 tập 2

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.

Bài làm

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên:

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2} và AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a{\sqrt{3}}}{3}$

Tam giác SAH vuông tại H

$\Rightarrow SH=\sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SH=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Do đó, thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a là:

$V=\frac{1}{3}.S_{0}.h=\frac{1}{3}a^{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Bài 7.29 trang 63 Toán 11 tập 2

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’= 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, $\widehat{ABC} = 150 \circ$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài làm

Gọi O là trung điểm của SA ta có $OB=(\frac{b}{2})^{2} và SB=\sqrt{a^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}$.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông SBO, ta có:

$h=SO=\sqrt{SB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{a^{2}+(\frac{b}{2})^{2}} -\frac{a}{2}$

Công thức tính thể tích khối chóp đều, ta có:

$V=\frac{1}{3}S_{đáy} h \frac{1}{3}a^{2}(\sqrt{a^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}-\frac{a}{2})$

$V_{Tứ diện}=\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}$

Bài 7.30 trang 63 Toán 11 tập 2

Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau.

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng 60^∘

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng 45^∘.

Bài làm

Lời giải

a)

Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$ mà S.ABCD đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

$ \Rightarrow $ O là hình chiếu của S trên (ABCD)

C là hình chiếu của C trên (ABCD)

$ \Rightarrow $ OC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

$ \Rightarrow $ (SC, (ABCD)) = (SC, OC) $ = \widehat {SCO}$

Mà cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${60^0}.$

$ \Rightarrow \widehat {SCO} = {60^0}$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {6^2}}  = 6\sqrt 2 \left( {cm} \right)$

$ \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)$

Xét tam giác SOC vuông tại O có

$\tan \widehat {SCO} = \frac{{SO}}{{OC}} \Rightarrow SO = 3\sqrt 2 .\tan {60^0} = 3\sqrt 6 \left( {cm} \right)$

${S_{ABCD}} = {6^2} = 36\left( {c{m^2}} \right)$

Vậy khối chóp có thể tích $V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3\sqrt 6 .36 = 36\sqrt 6 \left( {c{m^3}} \right)$

b)

Trong (ABCD) kẻ $OE \bot CD$

$\begin{array}{l}SO \bot CD\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\ \Rightarrow CD \bot \left( {SOE} \right),SE \subset \left( {SOE} \right) \Rightarrow CD \bot SE,OE \bot CD,\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SE,OE} \right) = \widehat {SEO}\end{array}$

Mà mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng ${45^0}.$

$ \Rightarrow \widehat {SEO} = {45^0}$

Ta có $\left. \begin{array}{l}OE \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow OE//AD$ mà O là trung điểm AC nên OE là đường trung bình tam giác ACD.

$ \Rightarrow OE = \frac{{AD}}{2} = \frac{6}{2} = 3\left( {cm} \right)$

Xét tam giác SOE vuông tại O có

$\tan \widehat {SEO} = \frac{{SO}}{{OE}} \Rightarrow SO = 3.\tan {45^0} = 3\left( {cm} \right)$

Vậy khối chóp có thể tích $V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3.36 = 36\left( {c{m^3}} \right)$

Bài 7.31 trang 63 Toán 11 tập 2

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là các tam giác đều cạnh a, A’A = A’B = A’C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải

Vì hình chóp A’.ABC có A’A = A’B = A’C và đáy ABC là tam giác đều nên hình chóp A’.ABC đều.

Gọi F là hình chiếu của A’ trên (ABC) nên F là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó F cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AF cắt BC tại D

Tam giác ABC đều cạnh a nên $AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Mà F là trọng tâm nên $AF = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác A’AF vuông tại F có

$A’F = \sqrt {A'{A^2} – A{F^2}}  = \sqrt {{b^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} – \frac{{{a^2}}}{3}} $

Diện tích tam giác đều ABC là $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Thể tích khối lăng trụ là $V = A’F.S = \sqrt {{b^2} – \frac{{{a^2}}}{3}} .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Bài 7.32 trang 63 Toán 11 tập 2

Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp ) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Lời giải

a) AB // A’B’ $ \Rightarrow $ AB // (A’B’C’D’), AD // A’D’ $ \Rightarrow $ AD // (A’B’C’D’)

Do đó (ABCD) // (A’B’C’D’).

Chiếc thùng có dạng hình chóp cụt vì khi bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc của tấm tôn vuông, sẽ tạo thành bốn tam giác vuông cân.

Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Cạnh bên của hình chóp cụt bằng $\sqrt {\frac{9}{4} + \frac{{25}}{4}}  = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\left( {dm} \right)$

c) Xét mặt chứa đường chéo của hình vuông, nó là hình thang cân có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp cụt và được $h = \sqrt {\frac{{34}}{4} – \frac{{18}}{4}}  = 2\left( {dm} \right)$

Thể tích cần tìm là V = 42 lít.