Toán 11 tập 2 trang 75 Bài 29: Công suất cộng xác suất

Giải toán 11 tập 2 trang 75 Bài 29 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 2 trang 72

HĐ1 trang 72 toán 11 tập 2

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3”;

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 4”.

Hai biến cố A và B có đồng thời xảy ra hay không? Vì sao?

Lời giải:

A = {3; 6}

B = {4}

Vậy hai biến cố A và B không  đồng thời xảy ra.

CH1 trang 72 toán 11 tập 2

Biến cố A và biến cố đối $\overline A $ có xung khắc hay không? Tại sao?

Lời giải:

Biến cố A và biến cố đối $\overline A $ có xung khắc vì $\Omega  = A \cup \overline A $

Toán 11 tập 2 trang 73

LT1 trang 73 toán 11 tập 2

Một tổ học sinh có 8 bạn, trong đó có 6 bạn thích môn Bóng đá, 4 bạn thích môn Cầu lông và 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

E: “Học sinh được chọn thích môn Bóng đá”;

F: “Học sinh được chọn thích môn Cầu lông”.

Hai biến cố E và F có xung khắc không?

Lời giải:

Cặp biến cố E và F không xung khắc vì nếu học sinh được chọn thích môn Bóng đá thì cả E và F có thể xảy ra vì có 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông.

HĐ2 trang 73 toán 11 tập 2

Trở lại tình huống trong HĐ1. Hãy tính P(A) , P(B) và $P\left( {A \cup B} \right).$

Lời giải:

Không gian mẫu $\Omega $ là tập hợp gồm các phần tử $\left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$

$\begin{array}{l}P\left( A \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\P\left( B \right) = \frac{1}{6}\end{array}$

Vì $A \cup B = \left\{ {3;4;6} \right\} \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Toán 11 tập 2 trang 74

LT2 trang 74 toán 11 tập 2

Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

Lời giải:

$n\left( \Omega  \right) = C_8^2$

TH1. Biến cố A: “Hai quả cầu được chọn cùng màu xanh”

$P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_8^2}} = \frac{5}{{14}}$

TH2. Biến cố B: “Hai quả cầu được chọn cùng màu đỏ”

$P\left( B \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_8^2}} = \frac{3}{{28}}$

Vì A và B xung khắc nên xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu là

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{5}{{14}} + \frac{3}{{28}} = \frac{{13}}{{28}}$

HĐ3 trang 74 toán 11 tập 2

Ở một trường trung học phổ thông X, có 19% học sinh học khá môn Ngữ văn, 32% học sinh học khá môn Toán, 7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X. Xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn”;

B: “Học sinh đó học khá môn Toán”.

a) Hoàn thành các mệnh đề sau bằng cách tìm cụm từ thích hợp thay cho dấu “?”.

$P\left( A \right)$ là tỉ lệ …(?)…

$P\left( {AB} \right)$ là…(?)…
$P\left( B \right)$ là …(?)…

$P\left( {A \cup B} \right)$ là …(?)…

b) Tại sao để tính $P\left( {A \cup B} \right)$ ta không áp dụng được công thức $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$?

Lời giải:

a) $P\left( A \right)$ là tỉ  lệ học sinh học khá môn Ngữ văn trong tổng số học sinh của trường X

$P\left( B \right)$ là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán trong tổng số học sinh của trường X

$P\left( {AB} \right)$ là tỉ lệ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X

$P\left( {A \cup B} \right)$  là tỉ lệ học sinh học khá ít nhất một trong hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X

b) Ta không áp dụng được công thức $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$ vì hai biến cố A và B không độc lập với nhau do học sinh học khá môn Ngữ Văn có thể cũng học khá môn Toán (7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán)

CH2 trang 74 toán 11 tập 2

Tại sao công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất?

Lời giải:

Vì hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi $A \cap B = \emptyset  \Rightarrow P\left( {AB} \right) = 0$

Từ công thức cộng xác suất ta có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$

Vậy công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất.

LT3 trang 74 toán 11 tập 2

Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 19 bạn thích môn Bóng đá, 17 bạn thích môn Bóng bàn và 15 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn.

Lời giải:

Gọi A: “Học sinh thích môn Bóng đá”

B: “Học sinh thích môn Bóng bàn”

Do đó ta có $P\left( A \right) = \frac{{19}}{{30}},P\left( B \right) = \frac{{17}}{{30}},P\left( {AB} \right) = \frac{{15}}{{30}}$

Theo công thức cộng xác suất

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = \frac{{19}}{{30}} + \frac{{17}}{{30}} – \frac{{15}}{{30}} = \frac{{21}}{{30}} = \frac{7}{{10}}$

Vậy xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn là $\frac{7}{{10}}$

Toán 11 tập 2 trang 75

VD trang 75 toán 11 tập 2

Giải quyết bài toán trong tình huống mở đầu.

Tại tỉnh X, thống kê cho thấy trong số những người trên 50 tuổi có 8,2% mắc bệnh tim; 12,5% mắc bệnh huyết áp và 5,7% mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Từ đó, ta có thể tính được tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp hay không?

Gợi ý. Chọn ngẫu nhiên một người dân trên 50 tuổi của tỉnh X. Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”; B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”; E là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”. Khi đó $\overline E $ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp”. Ta có $\overline E  = A \cup B.$ Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức xác suất của biến cố đối để tính $P\left( E \right).$

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”; B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”; E là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”.

Khi đó $\overline E $ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp”.

Ta có $\overline E  = A \cup B.$

$\begin{array}{l}P\left( {\overline E } \right) = P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = 8,2\%  + 12,5\%  – 5,7\%  = 15\% \\ \Rightarrow P\left( E \right) = 1 – P\left( {\overline E } \right) = 1 – 15\%  = 85\% \end{array}$

Vậy tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là 85%.

Bài 8.6 trang 75 toán 11 tập 2

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

Lời giải

Ta có tổng 14 viên bi, Sơn có 14 cách chọn 1 viên. Sau khi Sơn chọn, Tùng sẽ chọn 1 trong 13 viên bi còn lại.

Ta có số cách chọn một viên bi trong hộp là 14.13 = 182.

A: “Sơn lấy màu xanh, Tùng lấy màu xanh”.

Công đoạn 1: Sơn lấy màu xanh có 8 cách (vì có 8 viên xanh).

Công đoạn 2: Tùng lấy màu xanh có 7 cách vì Sơn lấy xong không trả lại vào hộp.

Theo quy tắc nhân, tập A có 8.7 = 56 (phần tử).

$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{56}}{{182}} = \frac{4}{{13}}$

B: “Sơn lấy màu đỏ, Tùng lấy màu xanh”.

Công đoạn 1: Sơn lấy màu đỏ có 6 cách (vì có 6 viên đỏ).

Công đoạn 2: Tùng lấy màu xanh có 8 cách (vì có 8 viên xanh).

Theo quy tắc nhân, tập B có 6.8 = 48 (phần tử).

$ \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{48}}{{182}} = \frac{{24}}{{91}}$.

C: “Bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh” nên $C = A \cup B$.

$ \Rightarrow P\left( C \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{4}{{13}} + \frac{{24}}{{91}} = \frac{4}{7}.$

Vậy xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh là $\frac{4}{7}.$

Bài 8.7 trang 75 toán 11 tập 2

Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ;

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

Lời giải

Gọi A là biến cố “Bạn đó thích nhạc cổ điển”, B là biến cố “Bạn đó thích nhạc trẻ”, C là biến cố “Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ”.

a) Xác suất bạn đó thích nhạc cổ điển là $P\left( A \right) = \frac{{14}}{{40}} = \frac{7}{{20}}$

Xác suất bạn đó thích nhạc trẻ là $P\left( B \right) = \frac{{13}}{{40}}$

Xác suất bạn đó thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ là $P\left( AB \right) = \frac{5}{{40}} = \frac{1}{8}$

Xác suất bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ là

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = \frac{7}{{20}} + \frac{{13}}{{40}} – \frac{1}{8} = \frac{{11}}{{20}}$

b) Xác suất để bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ là

$P\left( C \right) = 1 – P\left( {\overline C } \right) = 1 – P\left( {A \cup B} \right) = 1 – \frac{{11}}{{20}} = \frac{9}{{20}}$

Bài 8.8 trang 75 toán 11 tập 2

Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo;

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

Lời giải

Gọi A là biến cố “Hộ đó nuôi chó”, B là biến cố “Hộ đó nuôi mèo”, C là biến cố “Hộ đó không nuôi cả chó và mèo”.

a) Xác suất hộ đó nuôi chó là $P\left( A \right) = \frac{{18}}{{50}} = \frac{9}{{25}}$

Xác suất hộ đó nuôi mèo là $P\left( B \right) = \frac{{16}}{{50}} = \frac{8}{{25}}$

Xác suất hộ đó nuôi cả chó và mèo là $P\left( C \right) = \frac{7}{{50}}$

Xác suất để hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo là

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = \frac{9}{{25}} + \frac{8}{{25}} – \frac{7}{{50}} = \frac{{27}}{{50}}$

b) Gọi $D$ là biến cố “Hộ không nuôi cả chó lẫn mèo”.

$ \Rightarrow P(D) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \frac{{27}}{{50}} = \frac{{23}}{{50}}.$

Bài 8.9 trang 75 toán 11 tập 2

Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách A và B. Thống kê cho thấy có 50% người mua sách A; 70% người mua sách B; 30% người mua cả sách A và sách B. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B,

b) Người mua đó không mua cả sách A và sách B.

Lời giải

a) Gọi A là biến cố “Người mua sách A”; B là biến cố “Người mua sách B”; E là biến cố “Người đó không mua cả sách A và sách B”.

Khi đó $\overline E $ là biến cố “Người đó mua sách A hoặc sách B”.

Ta có $\overline E  = A \cup B.$

$P\left( {\overline E } \right) = P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = 50\%  + 70\%  – 30\%  = 90\% $

Vậy xác suất để người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B là $90\% $

b) Ta có $P\left( E \right) = 1 – P\left( {\overline E } \right) = 1 – 90\%  = 10\% $

Vậy xác suất để người mua đó không mua cả sách A và sách B là 10%.

Bài 8.10 trang 75 toán 11 tập 2

Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B.

Lời giải

Gọi A là biến cố “Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A”; B là biến cố “Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B”; E là biến cố “Giáo viên môn Toán không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B”.

Khi đó $\overline E $ là biến cố “Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A hoặc B”.

Ta có $\overline E  = A \cup B.$

$\begin{array}{l}P\left( {\overline E } \right) = P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right) = 63\%  + 56\%  – 28,5\%  = 90,5\% \\ \Rightarrow P\left( E \right) = 1 – P\left( {\overline E } \right) = 1 – 90,5\%  = 9,5\% \end{array}$

Vậy tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B là 9,5%.