Toán 11 tập 2 trang 78 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Giải toán 11 tập 2 trang 78 Bài 30 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 2 trang 76

HĐ 1 trang 76 toán 11 tập 2

Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:

A: “Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng”;

B: “Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen”.

a) Tính P(A), P(B) và P(AB).

b) So sánh P(AB) và P(A).P(B).

Lời giải:

a) $P\left( A \right) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5};P\left( B \right) = \frac{7}{8}$

Không gian mẫu là tập hợp số cách Bạn Long lấy được một quả bóng từ hộp I và Bạn Hải lấy một quả bóng từ hộp II do đó $n\left( \Omega  \right) = 10.8 = 80$

C: “Bạn Long lấy được quả màu trắng và bạn Hải lấy được quả màu đen”

Công đoạn 1: Bạn Long lấy được quả màu trắng có 6 cách

Công đoạn 2. Bạn Hải lấy được quả màu đen có 7 cách

Theo quy tắc nhân, tập hợp C có 6.7 = 42 (phần tử)

$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{42}}{{80}} = \frac{{21}}{{40}}$

b) $P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{3}{5}.\frac{7}{8} = \frac{{21}}{{40}}$

Vậy P(AB) = P(A).P(B).

CH 1 trang 76 toán 11 tập 2

Hai biến cố A và B trong HĐ1 độc lập hay không độc lập? Tại sao?

Lời giải:

Nếu A xảy ra, tức là bạn Long lấy được quả bóng màu trắng từ hộp I. Vì bạn Hải lấy bóng từ hộp II vậy $P\left( B \right) = \frac{7}{8}$

Nếu A không xảy ra, tức là bạn Long lấy được quả bóng màu đen từ hộp I. Vì ban Hải lấy bóng từ hộp II vậy $P\left( B \right) = \frac{7}{8}$

Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A.

Vì hai bạn lấy từ 2 hộp khác nhau nên $P\left( A \right) = \frac{3}{5}$ dù biến cố B xảy ra hay không xảy ra

Vậy A và B độc lập.

Toán 11 tập 2 trang 77

LT 1 trang 77 toán 11 tập 2

Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là 0,92 và 0,88. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm;

b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;

c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.

Lời giải:

Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:

Theo sơ đồ hình cây, ta có:

a) $P\left( {A\overline B } \right) = 0,92.0,12 = 0,1104$

b) $P\left( {\overline A B} \right) = 0,08.0,88 = 0,0704$

c) $P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0,08.0,12 = 0,0096$

$P\left( {A \cup B} \right) = 1 – P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 – 0,0096 = 0,9904$

Toán 11 tập 2 trang 78

Luyện tập 2 trang 78 toán 11 tập 2

Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Lời giải

Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông

Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”, B là biến cố “Người đó mắc bệnh viêm phổi”

Khi đó, AB là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi”

Ta có $P\left( A \right) = \frac{{752 + 1236}}{{5000}} = \frac{{497}}{{1250}};P\left( B \right) = \frac{{752 + 575}}{{5000}} = \frac{{1327}}{{5000}}$

$ \Rightarrow P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{{497}}{{1250}}.\frac{{1327}}{{5000}} = 0,10552304$

Mặt khác $P\left( {AB} \right) = \frac{{752}}{{5000}} = 0,1504$

Vì $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)$ nên hai biến cố A và B không độc lập.

Vậy việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Bài 8.11 trang 78 toán 11 tập 2

Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Lời giải

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi $A \cap B = \emptyset  \Rightarrow P\left( {AB} \right) = 0$

Vì P(A) > 0, P(B) > 0 nên $P\left( A \right).P\left( B \right) > 0$

$ \Rightarrow P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)$

Vậy hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.12 trang 78 toán 11 tập 2

Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Lời giải

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

$ \Rightarrow $ AB = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ta có $P\left( A \right) = \frac{{12}}{{60}} = \frac{1}{5};P\left( B \right) = \frac{{10}}{{60}} = \frac{1}{6};P\left( {AB} \right) = \frac{6}{{60}} = \frac{1}{{10}}$

Mặt khác $P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{5}.\frac{1}{6} = \frac{1}{{30}}$

Vì $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)$ nên hai biến cố A và B không độc lập.

Bài 8.13 trang 78 toán 11 tập 2

Có hai túi đựng các viên bị có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bị màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bị. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Lời giải

Vì hai túi là khác nhau nên biến cố lấy một viên bi mỗi túi là độc lập.

Gọi biến cố A: “Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh”, biến cố B: “Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ”, biến cố C: “Hai viên bi được lấy có cùng màu”

a) Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là $\frac{3}{{10}}$

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là $\frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}$

Xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là $\frac{3}{{10}}.\frac{5}{8} = \frac{3}{{16}}$

b) Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi I là $\frac{7}{{10}}$

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi II là $\frac{6}{{16}} = \frac{3}{8}$

Xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là $\frac{7}{{10}}.\frac{3}{8} = \frac{{21}}{{80}}$

c) Ta có $C = A \cup B$ mà A và B xung khắc nên

$P\left( C \right) = P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{3}{{16}} + \frac{{21}}{{80}} = \frac{9}{{20}}$

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu là $\frac{9}{{20}}.$

d) Gọi biến cố D: “Hai viên bi được lấy không cùng màu”

Khi đó $\overline D  = C$

$ \Rightarrow P\left( D \right) = 1 – P\left( {\overline D } \right) = 1 – P\left( C \right) = 1 – \frac{9}{{20}} = \frac{{11}}{{20}}$

Vậy xác suất để hai viên bi được lấy không cùng màu là $\frac{{11}}{{20}}.$

Bài 8.14 trang 78 toán 11 tập 2

Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

Lời giải

Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1”,

A₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1”,

A₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1”.

Ta có A = A₁A₂. Hai biến cố A₁ và A₂ độc lập nên P(A) = P(A₁) . P(A₂).

Lại có P(A₁) = P(A₂) = $\frac{9}{{10}}$ = 0,9. Do đó P(A) = ${\left( {0,9} \right)^2}$.

Gọi B là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 5”,

B₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 5”,

B₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 5”.

Ta có B = B₁B₂. Hai biến cố B₁ và B₂ độc lập nên P(B) = P(B₁) . P(B₂).

Lại có P(B₁) = P(B₂) = $\frac{9}{{10}}$ = 0,9. Do đó P(B) = ${\left( {0,9} \right)^2}$.

Gọi E là biến cố: “Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5”.

Ta có $E = A \cup B$

Theo công thức cộng xác suất ta có P(E) = P(A) + P(B) – P(AB).

Ta có AB là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả nào ghi số 1 và ghi số 5”.

Gọi H₁ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1 và số 5”,

H₂ là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1 và số 5”.

Ta có AB = H₁H₂. Hai biến cố H₁ và H₂ độc lập nên P(AB) = P(H₁) . P(H₂).

Lại có P(H₁) = P(H₂) =$\frac{8}{{10}}$=0,8. Từ đó P(AB) = ${\left( {0,8} \right)^2}$.

Do đó, P(E) = P(A) + P(B) – P(AB) = ${\left( {0,9} \right)^2}$+ ${\left( {0,9} \right)^2}$– ${\left( {0,8} \right)^2}$= 0,98.

Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là 0,98.

Bài 8.15 trang 78 toán 11 tập 2

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Lời giải

a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là 93%. 87% = 0,8091

b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là

7%. 13% = 0,0091

c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là

93%.13% + 7%.87% = 0,1818

d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là

0,8091 + 0,1818 = 0,9909