Toán 11 tập 2 trang 9 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Giải toán 11 tập 2 trang 9 Bài 18 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 2 trang 5

HĐ 1 trang 5 toán 11 tập 2

Nhận biết lũy thừa với số mũ nguyên

Tính: ${\left( {1,5} \right)^2};{\left( { – \frac{2}{3}} \right)^3};{\left( {\sqrt 2 } \right)^4}.$

Lời giải:

$\begin{array}{l}{\left( {1,5} \right)^2} = 2,25\\{\left( { – \frac{2}{3}} \right)^3} =  – \frac{8}{{27}}\\{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} = 4\end{array}$

LT 1 trang 5 toán 11 tập 2

Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu $x = a{.10^m},$ ở đó $1 \le a \le 10$ và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 kg.

(Theo SGK Vật lí 12, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020)

Lời giải:

a) Khối lượng của Trái Đất được viết dưới dạng kí hiệu khoa học là: ${5,98.10^{24}}$.

b) Khối lượng của hạt proton được viết dưới dạng kí hiệu khoa học là: ${1,67262.10^{ – 27}}$.

Toán 11 tập 2 trang 6

HĐ 2 trang 6 toán 11 tập 2

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = – 8.

Câu hỏi: Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Lời giải:

a) ${x^2} = 4 = {2^2} = {\left( { – 2} \right)^2} \Leftrightarrow x =  \pm 2$

b) ${x^3} =  – 8 = {\left( { – 2} \right)^3} \Leftrightarrow x =  – 2.$

Câu hỏi:

Trong toán học, căn bậc chẵn của một số là một số lớn hơn 0. Do đó số âm không có căn bậc chẵn.

LT 2 trang 6 toán 11 tập 2

Tính:

a) $\sqrt[3]{{ – 125}}$;

b) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}}.$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{{ – 125}} = \sqrt[3]{{{{\left( { – 5} \right)}^3}}} =  – 5.$

b) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^4}}} = \frac{1}{3}.$

HĐ 3 trang 6 toán 11 tập 2

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{{ – 8}}.\sqrt[3]{{27}}$ và $\sqrt[3]{{\left( { – 8} \right).27}}.$

b) Tính và so sánh: $\frac{{\sqrt[3]{{ – 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}}$ và $\sqrt[3]{{\frac{{ – 8}}{{27}}}}.$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{{ – 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{{{\left( { – 2} \right)}^3}}}.\sqrt[3]{{{3^3}}} =  – 2.3 =  – 6$

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\left( { – 8} \right).27}} = \sqrt[3]{{ – 216}} = \sqrt[3]{{{{\left( { – 6} \right)}^3}}} =  – 6\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{ – 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{\left( { – 8} \right).27}}\end{array}$

b) $\frac{{\sqrt[3]{{ – 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( { – 2} \right)}^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{3^3}}}}} = \frac{{ – 2}}{3}$

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\frac{{ – 8}}{{27}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)}^3}}} = \frac{{ – 2}}{3}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt[3]{{ – 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{ – 8}}{{27}}}}.\end{array}$

Toán 11 tập 2 trang 7

LT 3 trang 7 toán 11 tập 2

Tính:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}};$

b) $\sqrt[5]{{ – 25\sqrt 5 }}.$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}} = \sqrt[3]{{\frac{5}{{625}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{125}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3}}} = \frac{1}{5}.$

b) $\sqrt[5]{{ – 25\sqrt 5 }} = \sqrt[5]{{{{\left( { – \sqrt 5 } \right)}^5}}} =  – \sqrt 5 $

HĐ 4 trang 7 toán 11 tập 2

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa ${a^{\frac{1}{n}}}$ sao cho ${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a.$

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa ${a^{\frac{m}{n}}},$ với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}.$

Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Lời giải:

a) Ta có: ${\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a$ mà ${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a$ nên ${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = \sqrt[n]{a} \Rightarrow {a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$

b) Theo câu a ta có ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$ mà ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}$ nên ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Câu hỏi:

+ Giả sử định nghĩa lũy thừa với số mũ r là đúng với a < 0.

Xét lũy thừa $(-1)^{\frac{1}{3}}$. Theo định nghĩa ta có $(-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-1)^1}=-1$

Mặt khác, do $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ nên $(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}$. Áp dụng định nghĩa ta lại có $(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1$.

Như vậy, từ định nghĩa ta chứng minh được $-1=1$
$ -1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1 $

Có thể nói, trong tình huống này định nghĩa với cơ số âm đã tự mâu thuẫn.

+ Lũy thừa có số mũ hữu tỉ với cơ số a = 0 thì dẫn đến vô nghĩa nếu mũ âm. Ví dụ $0^{\frac{-1}{2}}= \sqrt{0^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{0}}$

Như vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ cần điều kiện cơ số a > 0

LT 4 trang 7 toán 11 tập 2

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\,\,\,\left( {x,y > 0} \right).$

Lời giải:

$A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x  + \sqrt y }} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}} = xy.$

HĐ 5 trang 7 toán 11 tập 2

Ta biết rằng $\sqrt 2 $ là một số vô tỉ và $\sqrt 2  = 1,4142135624…$

Gọi $\left( {{r_n}} \right)$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt 2 ,$ với ${r_1} = 1;{r_2} = 1,4;{r_3} = 1,41;{r_4} = 1,4142;…$

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: ${3^{{r_1}}};{3^{{r_2}}};{3^{{r_3}}};{3^{{r_4}}}$ và ${3^{\sqrt 2 }}.$

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa ${3^{\sqrt 2 }}$ và ${3^{{r_n}}},$ tức là $\left| {{3^{\sqrt 2 }} – {3^{{r_n}}}} \right|,$ khi n càng lớn?

Lời giải:

a) $\begin{array}{l}{3^{{r_1}}} = {3^1} = 3;\\{3^{{r_2}}} = {3^{1,4}} = 4,655536722;\\{3^{{r_3}}} = {3^{1,41}} = 4,706965002;\\{3^{{r_4}}} = {3^{1,4142}} = 4,72873393;\\{3^{\sqrt 2 }} = 4,728804388.\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l}\left| {{3^{\sqrt 2 }} – {3^{{r_1}}}} \right| = 4,728804388 – 3 = 1,728804388;\\\left| {{3^{\sqrt 2 }} – {3^{{r_2}}}} \right| = 4,728804388 – 4,655536722 = 0,07326766609;\\\left| {{3^{\sqrt 2 }} – {3^{{r_3}}}} \right| = 4,728804388 – 4,706965002 = 0,02183938612;\\\left| {{3^{\sqrt 2 }} – {3^{{r_4}}}} \right| = 4,728804388 – 4,72873393 = 0,0000704576662.\end{array}$

Vậy sai số tuyệt đối giữa ${3^{\sqrt 2 }}$ và ${3^{{r_n}}}$ là giảm dần khi n càng lớn.

Toán 11 tập 2 trang 8

LT 5 trang 8 toán 11 tập 2

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2  – 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5  – 1}}.{a^{3 – \sqrt 5 }}}}\,\,\,\left( {a > 0} \right).$

Lời giải:

$A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2  – 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5  – 1}}.{a^{3 – \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^{\left( {\sqrt 2  – 1} \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}}}{{{a^{\sqrt 5  – 1 + 3 – \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^1}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{a}.$

VD trang 8 toán 11 tập 2

Giải bài toán tình huống mở đầu.

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

Lời giải:

Số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm là: 100.(1 + 6%)³ = 119,1016 (triệu đồng)

Toán 11 tập 2 trang 9

Bài 6.1 trang 9 Toán 11 tập 2

Tính

a) $(\frac{1}{5})^{-2}$

b) $4^{\frac{3}{2}}$

c) $(\frac{1}{8}^{-\frac{2}{3}})$

d) $(\frac{1}{16})^{-0,75}$

Bài làm

a) $(\frac{1}{5})^{-2}=(\frac{1}{5})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{5})^2} = \frac{1}{\frac{1}{25}} = 25$

b) $4^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$

c) $(\frac{1}{8}^{-\frac{2}{3}})=(\frac{1}{8}^{-\frac{2}{3}}) = (\frac{8}{1})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

d) $(\frac{1}{16})^{-0,75}=(\frac{1}{16})^{-0.75} = (\frac{16}{1})^{0.75} = (\sqrt[4]{16})^{3} = 2^3 = 8$

Bài 6.2 trang 9 Toán 11 tập 2

Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}}+81^{-0,75}-25^{0,5}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}}.8^{2\sqrt{7}}$

Bài làm

a) $27^{\frac{2}{3}}+81^{-0.75}-25^{0.5} = (\sqrt[3]{27})^2+\frac{1}{(81^{0.75})}-\sqrt{25} = 9+\frac{1}{\sqrt[4]{81}}-5 = 9+\frac{1}{3}-5 =\frac{19}{3}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot8^{2\sqrt{7}}=4^{2-3\sqrt{7}}\cdot(2^3)^{2\sqrt{7}}=4^{2-3\sqrt{7}}\cdot2^{6\sqrt{7}}=(2^2)^{2-3\sqrt{7}}\cdot2^{6\sqrt{7}}=2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}=16$

Bài 6.3 trang 9 Toán 11 tập 2

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{X^{5}Y^{-2}}{X^{3}Y} (X,Y\neq 0)$

b) $B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{(X^{-1}Y^{4})^{-3}} (X,Y\neq 0)$

Bài làm

a) $A=\frac{X^{5}Y^{-2}}{X^{3}Y} = \frac{X^5}{X^3}\cdot\frac{1}{Y^{2-1}} = X^{5-3}Y^{-1}=X^2Y^{-1}$

b) $B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{(X^{-1}Y^{4})^{-3}}=\frac{X^{2}Y^{-3}}{X^{3}Y^{-12}} = X^{2-3}Y^{-3-(-12)} = {\frac{1}{XY^9}}$

Bài 6.4 trang 9 Toán 11 tập 2

Cho x,y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thưc sau:

a) $A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\mathrm{y}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}}{\sqrt[6]{\mathrm{x}}+\sqrt[6]{\mathrm{y}}}$

b) $B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}. \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

Bài làm

a) $A=\frac{(\mathrm{x}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\mathrm{y}}+\mathrm{y}\frac{1}{3})(\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\sqrt[6]{\mathrm{y}})}{(\sqrt[6]{\mathrm{x}}+\sqrt[6]{\mathrm{y}})(\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\sqrt[6]{\mathrm{y}})}$

$A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{2}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{2}}-\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{3}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{y}}}{\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}+\mathrm{y}^{\frac{1}{6}}}$

$A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{2}}-\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{3}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{y}}}{1}$

$A={\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}(\sqrt[6]{\mathrm{y}}-\sqrt[6]{\mathrm{x}})}$

b) $B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}}{y^{\sqrt{3}-1}(\sqrt{3}+1)})\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=\frac{\mathrm{x}^{3}}{y^{\sqrt{3}+1}}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=\frac{\mathrm{x}^{3-\sqrt{3}-1}}{y^{\sqrt{3}+1-(-2)}}$

$B={\frac{\mathrm{x}^{2-\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}+3}}}$

Bài 6.5 trang 9 Toán 11 tập 2

Chứng minh rằng: $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$

Bài làm

Ta có sử dụng công thức: $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

Với a = 4, b = 3, ta có:

$(\sqrt{\frac{4+\sqrt{4^2-3}}{2}} + \sqrt{\frac{4-\sqrt{4^2-3}}{2}}) -(\sqrt{\frac{4-\sqrt{4^2-3}}{2}} – \sqrt{\frac{4+\sqrt{4^2-3}}{2}})$

=$\sqrt{3} + 1 – 1 + \sqrt{3}$

= $2\sqrt{3}$

$2.\sqrt{\frac{4}{3} } = 2$

Bài 6.6 trang 9 Toán 11 tập 2

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}} và 5^{3\sqrt{6}}$

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}} và \sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$

Bài làm

a)Nếu x > y > 0 và a > 1 , thì $a^x>a^y$

Áp dụng bất đẳng thức này với $x=3\sqrt{2}$, y = 1 , và a = 5 , ta được: $5^{3\sqrt{2}}> 5^{1}=5$

Vậy $5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}}$ .

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}} = \left ( 2^{-1} \right )^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

Với $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$, ta có thể viết lại thành $2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}

2^{\frac{4}{3}} < 2^{\frac{7}{6}}$ .

Vậy, $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}} < \sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$ .

Bài 6.7 trang 9 Toán 11 Tập 2:

Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có P = 120, r = 5% = 0,05.

Do bác An gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong một năm, tức là n = 2. Sau 2 năm thì ta được 4 lần tính lãi nên N = 4.

Vậy số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm là

$\displaystyle 120\cdot {{\left( {1+\frac{{0,05}}{2}} \right)}^{4}}\approx 132,46$  (triệu đồng).

Bài 6.8 trang 9 Toán 11 Tập 2:

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $\displaystyle A=19\cdot {{2}^{{\frac{t}{{30}}}}}$. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Lời giải:

Thay t = 20 vào công thức $\displaystyle A=19\cdot {{2}^{{\frac{t}{{30}}}}}$ ta được

$\displaystyle A=19\cdot {{2}^{{\frac{20}{{30}}}}}$ =30 triệu đồng

Vậy sau 20 năm nữa kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là khoảng 30 triệu người.