Toán 6 tập 1 trang 43 Bài 13 Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Giải Toán 6 tập 1 trang 43 Bài 13 Bội chung. Bội chung nhỏ nhất có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán 6 tập 1 Chân trời sáng tạo . Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 6 tập 1 trang 40

Hoạt động khởi động trang 40 Toán 6 Tập 1

Có cách nào tìm được mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số không?

Hướng dẫn giải

Sau bài học này chúng ta sẽ biết được cách tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số chính là cách tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu số đó.

1. Bội chung

Hoạt động 1 trang 40 Toán 6 Tập 1

a) Bài toán “Đèn nhấp nháy”

Hai dây đèn nhấp nháy với ánh sáng màu xanh, đỏ phát sáng một cách đều đặn. Dây đèn xanh cứ sau 4 giây lại phát sáng một lần, dây đèn đỏ lại phát sáng một lần sau 6 giây. Cả hai dây đèn cùng phát sáng lần đầu tiên vào lúc 8 giờ tối. Giả thiết thời gian phát sáng không đáng kể.

Hình sau thể hiện số giây tính từ lúc 8 giờ tối đến lúc đèn sẽ phát sáng các lần tiếp theo:

Dựa vào hình trên, hãy cho biết sau bao nhiêu giây hai đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ giây đầu tiên.

b) Viết các tập B(2), B(3). Chỉ ra ba phần tử chung của hai tập hợp này.

Hướng dẫn giải

a) Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy được kể từ giây đầu tiên thì sau 12 giây hai đèn sẽ sáng cùng lúc.

b) Để tìm được bội của một số tự nhiên, ta lần lượt nhân số đó với các số 0, 1, 2, 3….

Khi đó ta có:

B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; …}

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; …}

Ba phần tử chung (khác 0) của hai tập hợp này là: 6; 12; 18.

Thực hành 1 trang 40 Toán 6 Tập 1

Các khẳng định sau đúng hay sai? Giải thích.

a) 20 ∈ BC(4, 10);

b) 36 ∈ BC(14, 18);

c) 72 ∈ BC(12, 18, 36).

Hướng dẫn giải

a) B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; …}

B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; …}

Hai tập hợp này có cùng một số phần tử chung như 0; 20; 40; …Ta nói chúng là bội chung của 4 và 10. Ta viết BC(4, 10) = {0; 20; 40; …}

Do đó 20 ∈ BC(4, 10).

Vậy 20 ∈ BC(4, 10) là đúng.

b) B(14) = {0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; 112; 126 …}

B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}

Hai tập hợp này có cùng một số phần tử chung như 0; 126; …Ta nói chúng là bội chung của 14 và 18. Ta viết BC(14, 18) = {0; 126;…}

Do đó 36 ∉ BC(14, 18).

Vậy 36 ∈ BC(14, 18) là sai.

c) B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; …}

B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; …}

⇒ B(36) = {0; 36; 72; 108; 144; 180 …}

⇒72 ∈ BC(12, 18, 36)

Vậy 72 ∈ BC(12, 18, 36) là đúng

Toán 6 tập 1 trang 41

Thực hành 2 trang 41 Toán 6 Tập 1

Hãy viết:

a) Các tập hợp: B(3); B(4); B(8).

b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4.

c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8.

Hướng dẫn giải

a) B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51…}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 38; 32; 36; 40; 44; 48; 52…}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80;…}

b) M = {0; 12; 24; 36; 48}

c) K = {0; 24; 48}

2. Bội chung nhỏ nhất

Hoạt động 2 trang 41 Toán 6 Tập 1

– Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8). Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 6 và 8.

– Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(3, 4, 8). Hãy nhận xét về mối quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 3, 4 và 8.

Hướng dẫn giải

– Ta có:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …}

Do đó: BC(6, 8) = {0; 24; 48; …}

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp trên là 24 và 24 là ước của các bội chung của 6 và 8. Nói cách khác các bội chung của 6 và 8 cũng là bội của BCNN này.

– Lại có:

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; …}

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; …}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 40; 48; 56; 64; 72; …}

Do đó: BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48; …}

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp trên là 24 và 24 là ước của tất cả các bội chung của 3, 4, 8. Nói cách khác thì các bội chung của 3, 4, 8 là bội của BCNN này.

Toán 6 tập 1 trang 42

Thực hành 3 trang 42 Toán 6 Tập 1

Viết tập hợp BC (4, 7), từ đó chỉ ra BCNN(4, 7). Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?

Hướng dẫn giải

Ta có:

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;…}

B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; …}

Do đó: BC(4, 7) = {0; 28; 56; …}

Trong các bội chung của 4 và 7 thì 28 là số nhỏ nhất khác 0

Nên BCNN(4, 7) = 28.

Ta có ƯCLN(4, 7) = 1 nên 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Thực hành 4 trang 42 Toán 6 Tập 1

Tìm BCNN(24, 30); BCNN(3, 7, 8); BCNN(12, 16, 48).

Hướng dẫn giải

– Ta có: 24 = 2³ .3

30 = 2 . 3 . 5

=> BCNN(24, 30) = 2³ . 3 . 5 = 120

– Ta có: các số 3, 7, 8 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(3, 7, 8) = 3 . 7 . 8 = 168

– Ta có: 48 là bội của 12 và 16

=> BCNN(12, 16, 48) = 48.

Thực hành 5 trang 42 Toán 6 Tập 1

Tìm BCNN(2, 5, 9); BCNN(10, 15, 30).

Hướng dẫn giải

+) Vì 2; 5; 9 đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó BCNN của chúng là tích của các số đó

Do đó BCNN(2, 5, 9) = 2.5.9 = 90.

+) Vì 30 chia hết cho 10 và 15 nên 30 là bội của 10 và 15

Do đó: BCNN(10, 15, 30) = 30

4. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Toán 6 tập 1 trang 43

Thực hành 6 trang 43 Toán 6 Tập 1

1) Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) \(\frac{5}{{12}}\) và \(\frac{7}{{30}}\)

b) \(\frac{1}{2};\frac{3}{5}\) và \(\frac{5}{8}\)

2) Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{1}{6} + \frac{5}{8}\) b) \(\frac{{11}}{{24}} – \frac{7}{{30}}\)

Lời giải:

1)

a) \(\frac{5}{{12}}\) và \(\frac{7}{{30}}\)

\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {12 = {2^2}.3} \\ {30 = 2.3.5} \end{array} \Rightarrow BCNN\left( {12;30} \right) = {2^2}.3.5 = 60} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{5}{{12}} = \dfrac{{5.5}}{{12.5}} = \dfrac{{25}}{{60}}} \\ {\dfrac{7}{{30}} = \dfrac{{7.2}}{{30.2}} = \dfrac{{14}}{{60}}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)

b) \(\frac{1}{2};\frac{3}{5}\) và \(\frac{5}{8}\)

\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = 2.1} \\ \begin{gathered} 5 = 5.1 \hfill \\ 8 = {2^3} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \Rightarrow BCNN\left( {2;5;8} \right) = {2^3}.5 = 40} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{2} = \dfrac{{1.20}}{{2.20}} = \dfrac{{20}}{{40}}} \\ \begin{gathered} \dfrac{3}{5} = \dfrac{{3.8}}{{5.8}} = \dfrac{{24}}{{40}} \hfill \\ \dfrac{5}{8} = \dfrac{{5.5}}{{8.5}} = \dfrac{{25}}{{40}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}\)

2) Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\frac{1}{6} + \frac{5}{8}\)

\(\begin{gathered} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6 = 2.3} \\ {8 = 2.4} \end{array} \Rightarrow BCNN\left( {6;8} \right) = 2.3.4 = 24} \right. \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{6} + \frac{5}{8} = \frac{{1.4}}{{6.4}} + \frac{{5.3}}{{8.3}} = \frac{4}{{24}} + \frac{{15}}{{24}} = \frac{{19}}{{24}} \hfill \\ \end{gathered}\)

b) \(\frac{{11}}{{24}} – \frac{7}{{30}}\)

\(\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {24 = {2^3}.3} \\ {30 = 2.3.5} \end{array} \Rightarrow BCNN\left( {24;30} \right) = {2^3}.3.5 = 120} \right. \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{11}}{{24}} – \dfrac{7}{{30}} = \dfrac{{11.5}}{{24.5}} – \dfrac{{7.4}}{{30.4}} = \dfrac{{55}}{{120}} – \dfrac{{28}}{{120}} = \dfrac{{27}}{{120}} = \dfrac{9}{{40}} \hfill \\ \end{matrix}\)

Bài 1 trang 43 Toán 6 tập 1

Tìm ra:

a) BC (6, 14);

b) BC(6, 20, 30);

c) BCNN(1, 6);

d) BCNN(10, 1, 12);

e) BCNN(5, 14).

Lời giải

a) Ta có: BCNN(6, 14) = 42

=> BC(6, 14) = {0; 42; 84; 126;…}.

b) Ta có: BCNN(6, 20, 30) = 60

=> BC(6, 20, 30) = {0; 60; 120; 180; 240;…}.

c) Vì hai số 1 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau => BCNN(1, 6) = 6.

d) Ta có: 10 = 2 . 5

12 = 2² . 3

=> BCNN(10, 1, 12) = 2² . 3 . 5 = 60.

e) Vì hai số 7 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau => BCNN(5, 14) = 5 . 14 = 70.

Bài 2 trang 43 Toán 6 tập 1

a) Ta có BCNN(12, 16) = 48. Hãy viết tập hợp A các bội của 48. Nhận xét về tập hợp BC(12, 16) và tập hợp A.

b) Để tìm tập hợp bội chung của hai số tự nhiên a và b, ta có thể tìm tập hợp các bội của BCNN(a, b). Hãy vận dụng để tìm tập hợp các bội chung của:

i.24 và 30;

ii. 42 và 60;

iii. 60 và 150;

iv. 28 và 35.

Lời giải 

a) A = {0; 48; 96; 144; 192;…}

* Nhận xét: Tập hợp BC(12, 16) chính là tập hợp A.

b)

i. 24 = 2³ . 3

36 = 2² . 3²

=> BCNN(24, 36) = 23 . 32 = 72

=> BC(24, 36) = B(72) = {0; 72; 144; 216;…}.

ii. 42 = 2 . 3 . 7

60 = 2² . 3 . 5

=> BCNN(42, 60) = 420

=> BC(42, 60) = B(420) = {0; 420; 840; 1260;…}.

iii. 60 = 2² . 3 . 5

150 = 2 . 3 . 5²

=> BCNN(60, 150) = 2² . 3 . 5² = 300

=> BC(60, 150) = B(300) = {0; 300; 600; 900; 1200;…}.

iv. 28 = 2² . 7

35 = 5 . 7

=> BCNN(28, 35) = 2² . 5 . 7 = 140

=> BC(28, 35) = B(140) = {0; 140; 280; 420; 560;…}.

Bài 3 trang 43 Toán 6 tập 1

Quy đồng mẫu số các phân số sau (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

a) \(\frac3{16}\) và \(\frac5{24}\);

b) \(\frac3{20}\), \(\frac{11}{30}\) và \(\frac7{15}\).

Lời giải 

a) Ta có: BCNN(16, 24) = 48

48 : 16 = 3; 48 : 24 = 2. Do đó:

\(\frac{3}{16}=\frac{3.3}{16.3}=\frac{9}{48} \text { và } \frac{5}{24}=\frac{5.2}{24.2}=\frac{10}{48}\)

b) Ta có: BCNN(20, 30, 15) = 60

60 : 20 = 3; 60 : 30 = 2; 60 : 15 = 4. Do đó:

\(\frac{3}{20}=\frac{3.3}{20.3}=\frac{9}{60}, \frac{11}{30}=\frac{11.2}{30.2}=\frac{22}{60}\)

và \(\frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60}\)

Toán 6 tập 1 trang 44

Bài 4 trang 44 Toán 6 tập 1

Thực hiện các phép tính (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

a) \(\frac{11}{15}+\frac{9}{10}\);

b) \(\frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{11}{12}\);

c) \(\frac{7}{24}-\frac{2}{21}\);

d) \(\frac{11}{36}-\frac{7}{24}\).

Lời giải

a) Ta có: BCNN(15, 10) = 30

30 : 10 = 3; 30 : 15 = 2

\(\begin{aligned} &\text { => } \frac{11}{15}+\frac{9}{10} \\ &=\frac{11.2}{15.2}+\frac{9.3}{10.3} \\ &=\frac{22}{30}+\frac{27}{30} \\ &=\frac{49}{30} . \end{aligned}\)

b) Ta có: BCNN(6, 9, 12) = 36

36 : 6 = 6; 36 : 9 = 4; 36 : 12 = 3

\(\begin{aligned} &\Rightarrow \frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{11}{12} \\ &=\frac{5.6}{6.6}+\frac{7.4}{9.4}+\frac{11.3}{12.3} \\ &=\frac{30}{36}+\frac{28}{36}+\frac{33}{36} \\ &=\frac{91}{36} \end{aligned}\)

c) Ta có: BCNN(21, 24) = 168

168 : 21 = 8; 168 : 24 = 7

\(\begin{aligned} &=>\frac{7}{24}-\frac{2}{21} \\ &=\frac{7.7}{24.7}-\frac{2.8}{21.8} \\ &=\frac{49}{168}-\frac{16}{168} \\ &=\frac{33}{168} \\ &=\frac{11}{56} . \end{aligned}\)

d) Ta có: BCNN (36, 24) = 72

72 : 36 = 2; 72 : 24 = 3

\(\begin{aligned} &\text { => } \frac{11}{36}-\frac{7}{24} \\ &=\frac{11.2}{36.2}-\frac{7.3}{24.3} \\ &=\frac{22}{72}-\frac{21}{72} \\ &=\frac{1}{72} . \end{aligned}\)

Bài 5 trang 44 Toán 6 tập 1

Chị Hòa có một số bông sen. Nếu chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì đều vừa hết. Hỏi chị Hoa có bao nhiêu bông sen? Biết rằng chị Hòa có khoảng từ 200 đến 300 bông.

Lời giải 

– Gọi x là số bông sen chị Hòa có.

– Nếu chị bó thành các bó bông gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì số bông sen chị Hòa có là bội chung của 3, 5 và 7.

– Theo đề bài ta có: x ∈ BC(3, 5, 7) và 200 ≤ x ≤ 300

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau

=> BCNN(3, 5, 7) = 105

=> BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105; 210; 315;…}

=> x ∈ BC(3, 5, 7) ={0; 105; 210; 315;…}

Mà 200 ≤ x ≤ 300 Nên x = 210.

Kết luận: Số bông sen chị Hòa có là 210 bông.