Giải toán 8 tập 1 trang 115 Bài 6: Hình thoi
Giải toán 8 tập 1 trang 115 Bài 6: Hình thoi
Giải toán 8 tập 1 trang 115 bài 6 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải toán 8 tập 1 trang 113
Mở đầu trang 113 toán 8 tập 1
Họa tiết trên vải ở Hình 55 gợi lên hình ảnh của hình thoi.
Hình thoi có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thoi?
Lời giải chi tiết
* Hình thoi có những tính chất:
– Các cạnh đối song song.
– Các góc đối bằng nhau.
– Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.
* Dấu hiệu nhận biết hình thoi:
– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
CH trang 113 toán 8 tập 1
So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở hình 56
Lời giải chi tiết
Tứ giác ABCD có: AB = BC = CD = DA.
HĐ2 trang 113 toán 8 tập 1
Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo là AC và BD cắt nhau tại O (hình 58)
a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành hay không?
b) Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau hay không?
c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng nhau hay không? Tia AC có phải là tia phân giác của $\widehat {BA{\rm{D}}}$ hay không?
Lời giải chi tiết:
a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành (vì AB = BC = CD = DA)
b) Xét tam giác ABD có AB = AD nên tam giác ABD là tam giác cân tại A.
Suy ra đường trung tuyến AO đồng thời là đường cao.
Suy ra AO vuông góc với BD
Hay AC vuông góc với BD
c) Xét tam giác ABC và tam giác ADC có:
AD = AB
CD = CB
AC chung
$\begin{array}{l}\Delta ABC = \Delta A{\rm{D}}C\\ \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {BAC}\end{array}$
Mà AC nằm giữa 2 tia AB và AD
Suy ra: AC là tia phân giác của góc BAD
LT1 trang 113 toán 8 tập 1
Cho hình thoi ABCD có $\widehat {ABC} = {120^o}$. Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình thoi
Suy ra: $\widehat B = \widehat D = {120^o}$
Mà: $\widehat A = \widehat C$
Mặt khác: $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^o}$
Suy ra: $\widehat A = \widehat C = \dfrac{{{{360}^o} – \widehat B – \widehat D}}{2} = \dfrac{{{{360}^o} – {{120}^o} – {{120}^o}}}{2} = {60^o}$
Xét tam giác ABD có AB = AD nên tam giác ABD là tam giác cân tại A mà $\widehat A = {60^o}$
Suy ra tam giác ABD là tam giác đều
Giải toán 8 tập 1 trang 115
HĐ3 trang 115 toán 8 tập 1
a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình thoi hay không?
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (hình 60)
– Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?
ABCD có phải là hình thoi hay không?
Lời giải chi tiết:
a) Hình bình hành ABCD có AB = BC
Suy ra: AB = BC = CD = DA
Nên hình bình hành ABCD là hình thoi
b) AC giao điểm với BD tại O
Ta có: O là trung điểm của BD (do ABCD là hình bình hành)
AO vuông góc với BD
Suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BD
Suy ra tam giác ABD cân tại A
Suy ra: AB = AD
Suy ra AB = DC = AD = BC
Hình bình hành ABCD là hình thoi
LT2 trang 115 toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi.
Lời giải chi tiết:
Tứ giác ABNC có: M là giao điểm của AN và BC
MN = MA
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
Suy ra: tứ giác ABNC là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mà: AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
Suy ra: hình bình hành ABNC là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)
Bài 1 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1
Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của góc DAB. Chứng minh ABCD là hình thoi.
Hướng dẫn giải
ABCD là hình bình hành nên:
AD = BC; AB = DC (1)
Xét 2 tam giác ADC và CBA có:
- AC chung
- Kết hợp với (1)
=> 2 tam giác ADC và CBA bằng nhau (c-c-c)=> 2 góc tương ứng $\widehat{DCA}=\widehat{BAC}$ (2)
Mà AC là tia phân giác của góc DAB => $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$. Kết hợp với (2) => $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}$
=> Tam giác DAC cân tại D => DA = DC. Kết hợp với (1) => AD = BC = AB = DC => ABCD có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 2 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1
Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh: $AC^{2}+BD^{2}=4(OA^{2}+OB^{2})=4AB^{2}$
Hướng dẫn giải
ABCD là hình thoi nên 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường => OA = OC, OB = OD.
$=> AC^{2}+BD^{2}=(OA+OC)^{2}+(OB+OD)^{2} = (2OA)^{2}+(2OB)^{2}$
= $4OA^{2}+4OB^{2} = 4(OA^{2}+OB^{2})$ (1)
Xét tam giác vuông OAB vuông tại O có: $AB^{2} = OA^{2}+OB^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) => $AC^{2}+BD^{2}=4(OA^{2}+OB^{2})=4AB^{2}$ (đpcm)
Bài 3 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1
Cho hình thoi ABCD có $\widehat{CDB}=40^{\circ}$. Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.
Hướng dẫn giải
ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc D => $\widehat{D} = 2. \widehat{CDB}$= $2. 40^{\circ} = 80^{\circ}$
ABCD là hình thoi nên nó cũng là một hình bình hành. Suy ra:
$\widehat{D} = \widehat{B} = 80^{\circ}$ (2 góc đối nhau)
$\widehat{A} = \widehat{C} = \frac{1}{2}(360^{\circ}-\widehat{D}-\widehat{B}) = \frac{1}{2}(360^{\circ}-80^{\circ}-80^{\circ})=100^{\circ}$ (2 góc đối nhau)
Bài 4 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1
Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải
Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là:
$\sqrt{\left ( \frac{1}{2}.45 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2}.90 \right )^{2}}= 50,3$ (mm)
Bài 6 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1
Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC có AB = BC (2 cạnh của hình thoi) nên là tam giác cân tại B. Lại có góc B = $60^{\circ}$ nên ABC là tam giác đều => AC = 40cm.
Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Khi đó: OA = $\frac{1}{2}$AC = 20cm.
Trong tam giác AOB có OB = $\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{40^{2}-20^{2}} = 34,6$ cm
Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2}.OB.AC = \frac{1}{2}.34,6.40 = 692$ $cm^{2}$
=> Diện tích viên gạch có dạng hình thoi như trên sẽ là: 2. 692 = 1 384$cm^{2}$