Giải toán 8 tập 1 trang 23 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải toán 8 tập 1 trang 23 bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 8 tập 1 trang 18

Khởi động trang 18 Toán 8 Tập 1:

Diện tích của hình vuông MNPQ (Hình 4) có thể được tính theo những cách nào?

Hướng dẫn giải:

Ta đặt tên các điểm A, B, C, D như hình vẽ:

Diện tích của hình vuông MNPQ có thể được tính theo những cách sau:

Cách 1. Tính theo tổng diện tích của 4 hình AMCE, ANDE, BEDP, BECQ.

Cách 2. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: MNDC, CDPQ.

Cách 3. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: ABQM, ABPN.

Cách 4. Tìm độ dài một cạnh của hình vuông MNPQ rồi tính diện tích.

Hoạt động 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1

Xét hai biểu thức: P = 2(x+y) và Q = 2x+2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:

a. Tại x = 1; y = – 1.

b. Tại x = 2; y = – 3

Bài giải

a. Tại x = 1; y = – 1

P = 2(1-1) = 0

Q = 2.1-2.1 = 0

=> P = Q

b. Tại x = 2; y = – 3

P = 2(2-3) = -2

Q = 2.2+2.(-3) = -2

=> P = Q

Luyện tập 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng: $x(xy^{2}+y)-y(x^{2}y+x)=0$

Bài giải

Ta có: $x(xy^{2}+y)-y(x^{2}y+x)$

$= x.xy^{2}+xy-x^{2}y.y-xy$

$= x^{2}y^{2}+xy-x^{2}y^{2}-xy = 0 (đpcm)$

Hoạt động 2 trang 18 sgk Toán 8 tập 1

Với a,b là 2 số thức bất kì, thực hiện phép tính:

a. (a+b)(a+b)

b. (a-b)(a-b)

Bài giải

$a. (a+b)(a+b) = a.a+a.b+b.a+b.b = a^{2}+2ab+b^{2}$

$b. (a-b)(a-b) = a.a-a.b-b.a+b.b = a^{2}-2ab+b^{2}$

Luyện tập 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1

Tính:

$a. (x+\frac{1}{2})^{2}$

$b. (2x+y)^{2}$

$c. (3-x)^{2}$

$d. (x-4y)^{2}$

Bài giải

$a. (x+\frac{1}{2})^{2} = x^{2}+2.\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^{2}$

$= x^{2}+x+\frac{1}{4}$

$b. (2x+y)^{2} = (2x)^{2}+2.2x.y+y^{2}$

$= 4x^{2}+4xy+y^{2}$

$c. (3-x)^{2} = 3^{2}-2.3.x+x^{2}$

$= 3^{2}-6x+x^{2}$

$d. (x-4y)^{2} = x^{2}-2.x.4y+(4y)^{2}$

$= x^{2}-8xy+16y^{2}$

Luyện tập 3 trang 18 sgk Toán 8 tập 1

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

$a. y^{2}+y+\frac{1}{4}$

$b. y^{2}+49-14y$

Bài giải

$a. y^{2}+y+\frac{1}{4} = y^{2}+2.y.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}$

$= (y+\frac{1}{2})^{2}$

$b. y^{2}+49-14y = y^{2}-14y+49$

$= y^{2}-2.y.7+7^{2} = (y-7)^{2}$

Luyện tập 4 trang 18 sgk Toán 8 tập 1

Tính nhanh $49^{2}$

Bài giải

$49^{2}= (50-1)^{2}$

$= 50^{2}-2.50.1+1^{2}$

$= 2 500 – 100+ 1 = 2401$

Giải toán 8 tập 1 trang 20

Luyện tập 5 trang 20 sgk Toán 8 tập 1

Viết biểu thức sau dưới dạng tích:

$a. 9x^{2}-16$

$b. 25-16y^{2}$

Bài giải

$a. 9x^{2}-16 = (3x)^{2}-4^{2}$

$= (3x-4)(3x+4)$

$b. 25-16y^{2} = 5^{2}-(4y)^{2}$

$= (5-4y)(5+4y)$

Luyện tập 6 trang 20 sgk Toán 8 tập 1

 Tính:

$a. (a-3b) (a+3b)$

$b. (2x-5) (2x+5)$

$c. (4y-1) (4y+1)$

Bài giải

$a. (a-3b) (a+3b) = a^{2}-(3b)^{2} = a^{2}-9b^{2}$

$b. (2x-5) (2x+5) = (2x)^{2}-5^{2} = 4x^{2}-25$

$c. (4y-1) (4y+1) = (4y)^{2}-1^{2} = 16y^{2}-1$

Luyện tập 7 trang 20 sgk Toán 8 tập 1

Tính nhanh 48.52

Bài giải

$48 . 52 = (50-2)(50+2) = 50^{2}-2^{2} = 2 500 – 4 = 2496$

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Hoạt động 4 trang 20 sgk Toán 8 tập 1

Với a,b là 2 số thực bát kì, thực  hiện phép tính:

$a. (a+b)(a+b)^{2}.$

$b. (a-b)(a-b)^{2}.$

Bài giải

$a. (a+b)(a+b)^{2}$

$= (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})$

$= a.a^{2}+2.a.ab+a.b^{2}+b.a^{2}+b.2ab+b.b^{2}$

$= a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}$

$= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$b. (a-b)(a-b)^{2}$

$= (a-b)(a^{2}-2ab+b^{2})$

$= a.a^{2}-2.a.ab+a.b^{2}-b.a^{2}+b.2ab-b.b^{2}$

$= a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3}$

$= a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Giải toán 8 tập 1 trang 21

Luyện tập 8 trang 21 sgk Toán 8 tập 1

Tính:

$a. (3+x)^{3}$

$b. (a+2b)^{3}$

$c. (2x-y)^{3}$

Bài giải

$a. (3+x)^{3}$

$= 3^{3}+3.3^{2}x+3.3.x^{2}+x^{3}$

$= x^{3}+9x^{2}+27x+27$

$b. (a+2b)^{3}$

$= a^{3}+3.a^{2}.2b+3.a.(2b)^{2}+(2b)^{3}$

$= a^{3}+6a^{2}b+12ab^{2}+8b^{3}$

$c. (2x-y)^{3}$

$=(2x)^{3}-3.(2x)^{2}.y+3.2x.y^{2}-b^{3}$

$= 8x^{3}-3.4x^{2}.y+6x.y^{2}-b^{3}$

$= 8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-b^{3}$

Luyện tập 9 trang 21 sgk Toán 8 tập 1

Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu: $8x^{3}-36x^{2}y+54xy^{2}-27y^{3}$

Bài giải

$8x^{3}-36x^{2}y+54xy^{2}-27y^{3}$

$= (2x)^{3}-3.(2x)^{2}.3y+3.2x.(3y)^{2}-(3y)^{3}$

$= (2x-3y)^{3}$

Luyện tập 10 trang 21 sgk Toán 8 tập 1

Tính nhanh: $101^{3}-3.101^{2}+3.101-1$

Bài giải

$101^{3}-3.101^{2}+3.101-1$

$= 101^{3}-3.101^{2}.1+3.101.1^{2}-1^{3}$

$= (101-1)^{3} = 100^{3}$

= 1 000 000

Hoạt động 5 trang 21 sgk Toán 8 tập 1

Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

$a. (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).$

$b. (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).$

Bài giải

$a. (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$= a.a^{2}-a.ab+a.b^{2}+b.a^{2}-b.ab+b^{3}$

$= a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}$

$= a^{3}+b^{3}$

$b. (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$= a.a^{2}+a.ab+a.b^{2}-b.a^{2}-b.ab-b^{3}$

$= a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}$

$= a^{3}-b^{3}$

Giải toán 8 tập 1 trang 22

Luyện tập 11 trang 22 sgk Toán 8 tập 1

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

$a. 27x^{3}+1$

$b. 64-8y^{3}$

Bài giải

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

$a. 27x^{3}+1 = (3x)^{3}+1^{3}=(3x+1)((3x)^{2}-3x.1+1^{2})$

$=(3x+1)(9x^{2}-3x+1)$

$b. 64-8y^{3} = 4^{3}-8y^{3}$

$= (4-8y)(4^{2}+4.8y+(8y)^{2}) = (4-8y)(16+32y+64y^{2})$

Giải toán 8 tập 1 trang 23

Giải bài 1 trang 23 sgk Toán 8 tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

$a. 4x^{2}+28x+49$

$b. 4a^{2}+20ab+25b^{2}$

$c. 16^{2}-8y+1$

$d. 9x^{2}-6xy+y^{2}$

Bài giải

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

$a. 4x^{2}+28x+49 = (2x)^{2}+2.2x.7+7^{2} = (2x+7)^{2}$

$b. 4a^{2}+20ab+25b^{2} = (2a)^{2}+2.2a.5b+(5b)^{2}=(2a+5b)^{2}$

$c. 16^{2}-8y+1 = (4y)^{2}-2.4y.1+1^{2}=(4y-1)^{2}$

$d. 9x^{2}-6xy+y^{2} = (3x)^{2}-2.3x.y+y^{2}=(3x-y)^{2}$

Giải bài 1 trang 23 sgk Toán 8 tập 1

Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu

$a. a^{3}+12a^{2}+48a+64$

$b. 27x^{3}+54x^{2}y+36xy^{2}+8y^{3}$

$c. x^{3}-9x^{2}y+27x-27$

$d. 8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}$

Bài giải

$a. a^{3}+12a^{2}+48a+64$

$= a^{3}+3.a^{2}.4+3.a.4^{2}+4^{3}$

$= (a+4)^{3}$

$b. 27x^{3}+54x^{2}y+36xy^{2}+8y^{3}$

$= (3x)^{3}+3.(3x)^{2}.2y+3.3x.(2y)^{2}+(2y)^{3}$

$= (3x+2y)^{3}$

$c. x^{3}-9x^{2}y+27x-27$

$= x^{3}-3.x^{2}.3+3.x.3^{2}+3^{3}$

$= (x-3)^{3}$

$d. 8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}$

$= (2a)^{3}-3.(2a)^{2}b+3.2a.b^{2}-b^{3}$

$= (2a-b)^{3}$

 Giải bài 3 trang 23 sgk Toán 8 tập 1

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

$a. 25x^{2}-16$

$b. 16a^{2}-9b^{2}$

$c. 8x^{3}+1$

$d. 125x^{3}+27y^{3}$

$e. 8x^{3}-125$

$g. 27x^{3}-y^{3}$

Bài giải

$a. 25x^{2}-16$

$=(5x)^{2}-4^{2}$

$=(5x-4)(5x+4)$

$b. 16a^{2}-9b^{2}$

$= (4a)^{2}-(3b)^{2}$

$= (4a-3b)(4a+3b)$

$c. 8x^{3}+1$

$= (2x)^{3}+1^{3}$

$= (2x+1)((2x)^{2}-2x.1+1^{2})$

$= (2x+1)(4x^{2}-2x+1)$

$d. 125x^{3}+27y^{3}$

$= (5x)^{3}+(3y)^{3}$

$= (5x+3y)((5x)^{2}-5x.3y+(3y)^{2})$

$= (5x+3y)(25x^{2}-15xy+9y^{2})$

$e. 8x^{3}-125$

$= (2x)^{3}-5^{3}$

$=(2x-5)((2x)^{2}+2x.5+5^{2})$

$=(2x-5)(4x^{2}+10x+25)$

$g. 27x^{3}-y^{3}$

$= (3x)^{3}-y^{3}$

$= (3x-y)((3x)^{2}+3x.y+y^{2})$

$= (3x-y)(9x^{2}+3xy+y^{2})$

Giải bài 4 trang 23 sgk Toán 8 tập 1

Tính giá trị của mỗi biểu thức:

$a. A = x^{2}+6x+10$. tại x = -103

$b. B = x^{3}+6x^{2}+12x+12$ tại x = 8

Bài giải

$a. A = x^{2}+6x+10 = x^{2}+2.x.3+3^{2}+1=(x+3)^{2}+1$

Tại x = -103 thì $A = (x+3)^{2}+1 = (-103+3)^{2}+1 = (-100)^{2}+1 = 10 001$

$b. B = x^{3}+6x^{2}+12x+12 = x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.2^{2}+2^{3}+4=(x+2)^{3}+4$

Tại x = 8 thì $B = (x+2)^{3}+4 = (8+2)^{3}+4 = 1 004$

Giải bài 5 trang 23 sgk Toán 8 tập 1

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

$a. C= (3x-1)^{2}+(3x+1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)$

$b. D = (x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)$

$c. E = (x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)$

$d. G = (2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)$

Bài giải

a.

$C= (3x-1)^{2}+(3x+1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)$

$= (3x-1)^{2}+(3x+1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)$

$=(3x-1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)+(3x+1)^{2}$

$= (3x-1-3x-1)^{2}$

$= (-2)^{2}$

=4.

Giá trị của biểu thức C luôn luôn bằng 4 với mọi x

b.

$D = (x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)$

$= (x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)$

$= (x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.2^{2}+2^{3})-(x^{3}-3.x^{2}.2+3.x.2^{2}-2^{3})-12x^{2}-12$

$= x^{3}+6x^{2}+12.x+2^{3}-x^{3}+6x^{2}-12x+8-12x^{2}-12=-4$

Giá trị của biểu thức D luôn luôn bằng -4 với mọi x

c.

$E = (x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)$

$= (x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)$

$= (x.x^{2}-x.3x+9x+3x^{2}-9x+27)-(x.x^{2}+x.2x+4x-2x^{2}-2.2x-2.4)$

$= (x^{3}-3x^{2}+9x+3x^{2}-9x+27)-(x^{3}+2x^{2}+4x-2x^{2}-4x-8)$

$=(x^{3}+27)-(x^{3}-8)$

$= x^{3}+27-x^{3}+8$

= 35

Giá trị của biểu thức E luôn luôn bằng 35 với mọi x

d.

$G = (2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)$

$= (2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)$

$=(8x^{3}+4x^{2}+2x-4.x^{2}-2x-1)-(8x^{3}-16x^{2}+32x+16x^{2}-32x+64)$

$=(8x^{3}-1)-(8x^{3}+64)$

$=8x^{3}-1-8x^{3}-64$

= 65.

Giá trị của biểu thức G luôn luôn bằng -65 với mọi x

Giải bài 6 trang 23 sgk Toán 8 tập 1

Tính nhanh: $(0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24$

Bài giải

$(0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24$

$= (0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24$

$= (1-0,24)^{3}+(0,24)^{3}+3.(1-0,24).0,24$

$= 1-3.1.0,24+3.1.0,24^{2}-(0,24)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,24-3.(0,24)^{2}$

= 1