Giải toán 8 tập 1 trang 37 Bài 1: Phân thức đại số

Giải toán 8 tập 1 trang 37 bài 1 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 8 tập 1 trang 29

Hoạt động 1 trang 29 sgk Toán 8 tập 1

Cho biểu thức $\frac{2x+1}{x-2}$

a. Biểu thức 2x+1 có phải là đa thức hay không?

b. Biểu thức x-2 có phải là đa thức khác đa thức 0 hay không?

Bài giải

a. Biểu thức 2x+1 là đa thức.

b. Biểu thức x-2 là đa thức khác đa thức 0.

Giải toán 8 tập 1 trang 30

Luyện tập 1 trang 30 sgk Toán 8 tập 1

Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

$a. \frac{x^{2}y+xy^{2}}{x-y}$

$b. \frac{x^{2}-2}{\frac{1}{x}}$

Bài giải

a. Vì $x^{2}y+xy^{2} và x-y$ là những đa thức và đa thức x-y  khác đa thức 0 nên biểu thức $\frac{x^{2}y+xy^{2}}{x-y}$ là phân thức.

b. Vì $\frac{1}{x}$ không phải là đa thức nên biểu thức $\frac{x^{2}-2}{\frac{1}{x}}$ không phải là phân thức.

Hoạt động 2 trang 30 sgk Toán 8 tập 1

Cho hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$. Nêu quy tắc để hai phân số đó bằng nhau.

Bài giải

Hai phân số đó bằng nhau nếu a.d = c.b.

Luyện tập 1 trang 30 sgk Toán 8 tập 1

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau hay không? Vì sao?

$a. \frac{x+y}{x^{2}-y^{2}};\frac{1}{x-y}$

b. $b. \frac{x}{x^{2}-1} và \frac{1}{x-1}$

Bài giải

a. Ta có: $(x+y)(x-y)= x^{2}-y^{2}$ và $1.(x^{2}-y^{2}) =x^{2}-y^{2}$

nên $(x+y)(x-y)=1.(x^{2}-y^{2})$. Vậy $\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{1}{x-y}$

b. Ta có: $x(x-1)=x^{2}-x$ và $1(x^{2}-1)=x^{2}-1$

Do $x^{2}-x \neq  x^{2}-1$ nên $\frac{x}{x^{2}-1}$và $\frac{1}{x-1}$ không bằng nhau.

Giải toán 8 tập 1 trang 31

Hoạt động 3 trang 31 sgk Toán 8 tập 1

a. Tìm số thích hợp cho ?: $\frac{2}{-7}=\frac{4}{?};\frac{-3}{-9}=\frac{?}{3}$

b. Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số

Bài giải

Áp dụng quy tắc hai phân thức hai phân số bằng nhau thì:

+,  $\frac{2}{-7}=\frac{4}{?}$nếu: 2.(?)=-7.4 =>?=-28:2=-14

+, $\frac{-3}{-9}=\frac{?}{3}$ nếu: -3.3=-9.(?) =>?=(-9):(-9)=1

b. Nhắc lại tính chất cơ bản của phân số:

– Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

– Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Giải toán 8 tập 1 trang 32

Luyện tập 3 trang 32 sgk Toán 8 tập 1

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết: $\frac{3x+y}{y}=\frac{3xy+y^{2}}{y^{2}}$

Bài giải

Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với đa thức y (khác đa thức 0), ta được:

$\frac{3x+y}{y} = \frac{(3x+y)y}{y.y}= \frac{3xy+y^{2}}{y^{2}}$

Hoạt động 4 trang 32 sgk Toán 8 tập 1

Cho phân thức: $\frac{4x^{2}y}{6xy^{2}}$

a. Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu.

b. Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Bài giải

a. Ta có: $\frac{4x^{2}y}{6xy^{2}} = \frac{xy.4x}{xy.6y}$. Vậy nhân tử chung của cả tử và mẫu là xy.

b. Sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó, phân thức nhân được sẽ là: $\frac{4x}{6y}$

Luyện tập 4 trang 32 sgk Toán 8 tập 1

Rút gọn mỗi phân thức sau:

$a. \frac{8x^{2}+4x}{1-4x^{2}}$

$b. \frac{x^{3}-xy^{2}}{2x^{2}+2xy}$

Bài giải

$a. \frac{8x^{2}+4x}{1-4x^{2}} = \frac{4x(2x+1)}{1^{2}-(2x)^{2}}$

$= \frac{4x(2x+1)}{(1-2x)(1+2x)}= \frac{4x}{1-2x}$

$b. \frac{x^{3}-xy^{2}}{2x^{2}+2xy} = \frac{x(x^{2}-y^{2})}{x(2x+2y)} = \frac{x^{2}-y^{2}}{2x+2y}$

Giải toán 8 tập 1 trang 33

Hoạt động 5 trang 33 sgk Toán 8 tập 1

Cho hai phân thức $\frac{1}{x^{2}y}$ và $\frac{1}{xy^{2}}$

a. Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x.

b. Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được?

Bài giải

a.

+, Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:

$\frac{1.y}{x^{2}y.y} = \frac{y}{x^{2}y^{2}}$

+, Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:

$\frac{1.x}{xy^{2}.x} = \frac{x}{x^{2}y^{2}}$

b. Mẫu của hai phân thức thu được là như nhau.

Hoạt động 6 trang 33 sgk Toán 8 tập 1

Tìm MTC của hai phân thức $\frac{5}{2x+6}$ và $\frac{3}{x^{2}-9}$

Bài giải

Ta có:$2x+6 = 2(x+3); x^{2}-9 =(x-3)(x+3)$

Vậy MTC của cả 2 phân số là: $2(x+3)(x-3)$

Hoạt động 7 trang 33 sgk Toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{x^{2}+x} và \frac{1}{x^{2}-x}$

Bài giải

Ta có:

$x^{2}+x = x(x+1) ; x^{2}-x = x(x-1).$

Vậy MTC của hai phân số là: $x(x-1)(x+1).$

Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với (x-1); nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với (x+1), ta được:

$\frac{1}{x^{2}+x} = \frac{1(x-1)}{(x^{2}+x)(x-1)}$

$= \frac{x-1}{x(x+1)(x-1)};$

$\frac{1}{x^{2}-x} = \frac{1.(x+1)}{(x^{2}-x)(x+1)}$

$= \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}$

Giải toán 8 tập 1 trang 34

Luyện tập 5 trang 34 sgk Toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

$a. \frac{5}{2x^{2}y^{3}} và \frac{3}{xy^{4}}$

$b. \frac{3}{2x^{2}-10x} và \frac{2}{x^{2}-25}$

Bài giải

a. Ta có:

$2x^{2}y^{3} = xy^{3}.2x; xy^{4}=xy^{3}.y$ => MTC là $xy^{3}.2x.y = 2x^{2}y^{4}$

Để quy đồng phân thức thứ nhất, ta nhân cả tử và mẫu với y; quy đồng phân thức thứ hai, ta nhân cả tử và mẫu với 2x.

Ta được:

$\frac{5}{2x^{2}y^{3}} = \frac{5.y}{2x^{2}y^{3}.y}$

$= \frac{5.y}{xy^{3}.2x.y} = \frac{5y}{2x^{2}y^{4}};$

$\frac{3}{xy^{4}} = \frac{3.2x}{xy^{4}.2x}$

$= \frac{6x}{xy^{4}.2x} = \frac{6x}{2x^{2}y^{4}}$

b. Ta có:

$2x^{2}-10x =2x(x-5); x^{2}-25=x^{2}-5^{2}=(x-5)(x+5)$=> MTC là 2x(x-5)(x+5).

Để quy đồng phân thức thứ nhất, ta nhân cả tử và mẫu với (x+5); quy đồng phân thức thứ hai, ta nhân cả tử và mẫu với 2x.

Ta được:

$\frac{3}{2x^{2}-10x} = \frac{3.(x+5)}{2x(x-5)(x+5)}$

$= \frac{3x+15}{2x(x-5)(x+5)};$

$\frac{2}{x^{2}-25} = \frac{2.2x}{(x^{2}-25).2x}$

$= \frac{4x}{2x(x-5)(x+5)}.$

Hoạt động 8 trang 34 sgk Toán 8 tập 1

Cho phân thức $\frac{2x^{2}-x+1}{x-2}$ . Tìm giá trị của x sao cho mẫu x-2 $\neq 0.$

Bài giải

Để mẫu $x-2 \neq 0$ thì $x \neq 2$

Giải toán 8 tập 1 trang 35

Hoạt động 9 trang 35 sgk Toán 8 tập 1

Tính giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{x-1}$ tại x=2

Bài giải

Tại x=2 thì x-1 ≠ 0 nên giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{x-1} = \frac{2+2}{2-1} = 4$

Giải toán 8 tập 1 trang 36

Luyện tập 6 trang 36 sgk Toán 8 tập 1

Cho phân thức $\frac{x+1}{x^{2}+x}$

a. Viết điều kiện xác định của phân thức.

b. Tính giá trị của phân thức tại x=10 và x=-1

Bài giải

a. Điều kiện xác định của phân thức: $x^{2}+x\neq 0 \Leftrightarrow x(x+1)\neq 0$

$\Leftrightarrow  x \neq  0  và x \neq  -1$

b. Khi x=10 thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức nên giá trị của phân thức tại x=10 là

$\frac{10+1}{10^{2}+10} = \frac{11}{110}=\frac{1}{10}.$

x=-1  không thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức nên tại x=-1, giá trị của phân thức không xác định.

Giải toán 8 tập 1 trang 37

Giải bài 1 trang 37 sgk Toán 8 tập 1

Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

$a. \frac{y}{3y+3}$

$b. \frac{4x}{x^{2}+16}$

$c. \frac{x+y}{x-y}$

Bài giải

a. Điều kiện xác định của phân thức $\frac{y}{3y+3} là 3y+3 \neq  0$

b. Điều kiện xác định của phân thức $\frac{4x}{x^{2}+16}$ là $x^{2}+16 \neq  0$

c. Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ là x-y ≠ 0

Giải bài 1 trang 37 sgk Toán 8 tập 1

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

$a. \frac{3x}{2}=\frac{15xy}{10y}$

$b. \frac{3x-3y}{2y-2x}=\frac{-3}{2}$

$c. \frac{x^{2}-x+1}{x}=\frac{x^{3}+1}{x(x+1)}$

Bài giải

a. Ta có: 3x.10y = 2.15xy = 30xy nên $\frac{3x}{2}=\frac{15xy}{10y} (đpcm)$

b. Ta có: (3x-3y).2=6x-6y; -3(2y-2x)=-6y+6x =>(3x-3y).2=-3(2y-2x)

nên $\frac{3x-3y}{2y-2x}=\frac{-3}{2}$ (đpcm)

c. Ta có:

$\frac{x^{3}+1}{x(x+1)} = \frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{x(x+1)} = \frac{x^{2}-x+1}{x} (đpcm)$

Giải bài 3 trang 37 sgk Toán 8 tập 1

Rút gọn mỗi phân thức sau:

$a. \frac{24x^{2}y^{2}}{16xy^{3}}$

$b. \frac{6x-2y}{9x^{2}-y^{2}}$

Bài giải

$a. \frac{24x^{2}y^{2}}{16xy^{3}} = \frac{8xy^{2}.3x}{8xy^{2}.2y} = \frac{3x}{2y}$

$b. \frac{6x-2y}{9x^{2}-y^{2}} = \frac{6x-2y}{9x^{2}-y^{2}}= \frac{2(3x-y)}{(3x-y)(3x+y)} = \frac{2}{3x+y}$

Giải bài 4 trang 37 sgk Toán 8 tập 1

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

$a. \frac{2}{x-3y} và \frac{3}{x+3y}$

$b. \frac{7}{4x+24} và \frac{13}{x^{2}-36}$

Bài giải

$a. \frac{2}{x-3y} = \frac{2(x+3y)}{(x-3y)(x+3y)} = \frac{2x+6y}{x^{2}-(3y)^{2}}$

$\frac{3}{x+3y} = \frac{3.(x-3y)}{(x+3y)(x-3y)} = \frac{3x-9y}{x^{2}-(3y)^{2}}$

b. Ta có:

$4x+24 = 4(x+6); x^{2}-36 = x^{2}-6^{2} = (x-6)(x+6)$

=> MTC là 4(x+6)(x-6)

$\frac{7}{4x+24} = \frac{7(x-6)}{(4x+24)(x-6)} = \frac{7x-42}{4(x+6)(x-6)}$

$\frac{13}{x^{2}-36} = \frac{13.4}{(x^{2}-36).4} = \frac{52}{4(x+6)(x-6)}$

Giải bài 5 trang 37 sgk Toán 8 tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD và MNPQ như Hình 1 (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x=5.

Bài giải

a. Diện tích của hình chữ nhật MNPQ là: x(x+1)

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x+1)(x+3)

=> Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là:

$\frac{x(x+1)}{(x+1)(x+3)}=\frac{x}{x+3}$

b. Tại x=2 thì x+3 khác 0 nên thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức. Lúc đó giá trị của phân thức là:

$\frac{x}{x+3} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}.$

Tại x=5 thì x+3 khác 0 nên thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức. Lúc đó giá trị của phân thức là:

$\frac{x}{x+3} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}.$

Bài 6 trang 37 sgk Toán 8 tập 1

Chị Hà mở một xưởng thủ công với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc, …) là 80 triệu. Biết chi phí để sản xuất (tiền mua vật liệu, lương công nhân) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng. Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được.

a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.

b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.

c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.

Bài giải

a) Ta có: 80 triệu đồng = 80 000 (nghìn đồng)

Tiền chi phí để sản xuất x sản phẩm là: 15.x (nghìn đồng)

Phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra làm được x sản phẩm là: 80 000 + 15.x (nghìn đồng)

Phân thức biểu thị số tiền thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: $\dfrac{{80000 + 15.x}}{x}$

b) Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu $x = 100 là: \dfrac{{80000 + 15.100}}{{100}} = 815$ (nghìn đồng)

Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1000 là: $\dfrac{{80000 + 15.1000}}{{1000}} = 95$(nghìn đồng)

Nếu x càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng thấp.