Giải toán 8 tập 1 trang 43 Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Giải toán 8 tập 1 trang 43 bài 2 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 8 tập 1 trang 38

Hoạt động 1 trang 38 sgk Toán 8 tập 1

Thực hiện phép tính: $\frac{-3}{5}+\frac{23}{5}$

Bài giải

$\frac{-3}{5}+\frac{23}{5} = \frac{-3+23}{5} =\frac{20}{5}$

Luyện tập 1 trang 38 sgk Toán 8 tập 1

Thực hiện phép tính:

$\frac{x-2y}{x^{2}+xy}+\frac{x+2y}{x^{2}+xy}$

Bài giải

$\frac{x-2y}{x^{2}+xy}+\frac{x+2y}{x^{2}+xy}$

$= \frac{(x-2y)+(x+2y)}{x^{2}+xy} = \frac{x-2y+x+2y}{x^{2}+xy}$

$= \frac{2x}{x^{2}+xy}$

Hoạt động 2 trang 38 sgk Toán 8 tập 1

Cho 2 phân thức: $\frac{1}{x+1}; \frac{1}{x-1}$

a. Quy đồng mẫu thức hai phân thức trên.

b. Từ câu a hãy thực hiện phép tính $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$

Bài giải

a. Quy đồng mẫu thức hai phân thức trên:

$\frac{1}{x+1} = \frac{1.(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$

$\frac{1}{x-1} = \frac{1.(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$

b. Thực hiện phép tính:

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$

$= \frac{x-1+x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-1)}$

Giải toán 8 tập 1 trang 39

Luyện tập 1 trang 39 sgk Toán 8 tập 1

Thực hiện phép tính: $\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{xy+y^{2}}$

Bài giải

$\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{xy+y^{2}}$

$= \frac{1.(xy+y^{2})}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}+\frac{1.(x^{2}+xy)}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}$

$= \frac{xy+y^{2}+x^{2}+xy}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}$

$= \frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}$

$= \frac{(x+y)^{2}}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}$

Hoạt động 1 trang 39 sgk Toán 8 tập 1

Hãy nêu các tính chất của phép cộng phân số.

Bài giải

Các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0

Luyện tập 3 trang 39 sgk Toán 8 tập 1

Tính một cách hợp lí:

$\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}$

Bài giải

$\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}$

$= (\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}})+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{x^{2}+y^{2}-1+1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}$

$= \frac{x+y}{x+y}=1$

Giải toán 8 tập 1 trang 41

Luyện tập 4 trang 41 sgk Toán 8 tập 1

Thực hiện phép tính:

$a. \frac{4x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\frac{3x+4y}{x^{2}-y^{2}}$

$b. \frac{2xy+3y^{2}}{x^{2}-3xy}-\frac{x}{3x-9y}$

Bài giải

$a. \frac{4x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\frac{3x+4y}{x^{2}-y^{2}}$

$= \frac{4x+3y-3x-4y}{(x-y)(x+y)}$

$= \frac{x-y}{(x-y)(x+y)}$

$= \frac{1}{x+y}$

$b. \frac{2xy+3y^{2}}{x^{2}-3xy}-\frac{x}{3x-9y}$

$= \frac{(2xy+3y^{2}).3}{x(x-3y).3}-\frac{x.x}{3(x-3y).x}$

$= \frac{6xy+9y^{2}-x^{2}}{3x^{2}-9xy}$

Giải toán 8 tập 1 trang 42

2. Phân thức đối

Luyện tập 5 trang 42 sgk Toán 8 tập 1

Tính một cách hợp lí:

$\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^{2}-9y^{2}}-\frac{x+8y}{3y-2x}$

Bài giải

$\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^{2}-9y^{2}}-\frac{x+8y}{3y-2x}$

$= \frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}+\frac{x+8y}{2x-3y}$

$= (\frac{x-5y}{2x-3y}+\frac{x+8y}{2x-3y})-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{2x+3y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{(2x+3y)(2x+3y)}{(2x-3y)(2x+3y)}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{4x^{2}+12xy+9y^{2}-24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{4x^{2}-12xy+9y^{2}}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$= \frac{(2x-3y)^{2}}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{2x-3y}{2x+3y}$

Giải bài 1 trang 42 sgk Toán 8 tập 1

$a. \frac{5x-4}{9}+\frac{4x+4}{9}$

$b. \frac{x^{2}y-6}{2x^{2}y}+\frac{6-xy^{2}}{2x^{2}y}$

$c. \frac{x+1}{x^{2}-5x}+\frac{x-18}{x^{2}-5x}+\frac{x+2}{x^{2}-5x}$

$d. \frac{7y}{3}-\frac{7y-5}{3}$

$e. \frac{4x-1}{3xy^{2}}-\frac{7x-1}{3xy^{2}}$

$g. \frac{3y-2x}{x-2y}-\frac{x-y}{2y-x}$

Bài giải

$a. \frac{5x-4}{9}+\frac{4x+4}{9} = \frac{5x-4+4x+4}{9}=\frac{9x}{9}=x$

$b. \frac{x^{2}y-6}{2x^{2}y}+\frac{6-xy^{2}}{2x^{2}y}$

$= \frac{x^{2}y-6+6-xy^{2}}{2x^{2}y}$

$= \frac{x^{2}y-xy^{2}}{2x^{2}y} = \frac{xy(x-y)}{xy.2x}$

$=\frac{x-y}{2x}$

$c. \frac{x+1}{x^{2}-5x}+\frac{x-18}{x^{2}-5x}+\frac{x+2}{x^{2}-5x}$

$= \frac{x+1+x-18+x+2}{x^{2}-5x}=\frac{3x-15}{x^{2}-5x}$

$=\frac{3(x-5)}{x(x-5)}=\frac{3}{x}$

$d. \frac{7y}{3}-\frac{7y-5}{3} = \frac{7y-7y+5}{3}=\frac{5}{3}$

$e. \frac{4x-1}{3xy^{2}}-\frac{7x-1}{3xy^{2}} = \frac{4x-1-7x+1}{3xy^{2}}$

$=\frac{-3x}{3xy^{2}}=\frac{-1}{y^{2}}$

$g. \frac{3y-2x}{x-2y}-\frac{x-y}{2y-x}$

$= \frac{(3y-2x)(2y-x)}{(x-2y)(2y-x)}-\frac{(x-y)(x-2y)}{(2y-x)(x-2y)}$

$=\frac{6y^{2}-3xy-4xy+2x^{2}}{(x-2y)(2y-x)}-\frac{x^{2}-2xy-xy+2y^{2}}{(2y-x)(x-2y)}$

$= \frac{6y^{2}-7xy+2x^{2}-x^{2}+3xy-2y^{2}}{(2y-x)(x-2y)}$

$= \frac{4y^{2}-4xy+x^{2}}{(2y-x)(x-2y)}$

$= \frac{(2y-x)^{2}}{(2y-x)(x-2y)}=\frac{2y-x}{x-2y}$

Giải bài 1 trang 42 sgk Toán 8 tập 1

$a. \frac{4x+2}{4x-4}+\frac{3-6x}{6x-6}$

$b. \frac{y}{2x^{2}-xy}+\frac{4x}{y^{2}-2xy}$

$c. \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}+\frac{2y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$

$d. \frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{x}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}$

Bài giải

$a. \frac{4x+2}{4x-4}+\frac{3-6x}{6x-6} = \frac{(4x+2).6}{4(x-1).6}+\frac{(3-6x).4}{6(x-1).4}$

$= \frac{24x+12}{24x-24}+\frac{12-24x}{24x-24}$

$= \frac{24x+12+12-24x}{24x-24}=\frac{24}{24(x-1)}=\frac{1}{x-1}$

$b. \frac{y}{2x^{2}-xy}+\frac{4x}{y^{2}-2xy}$

$= \frac{y(y^{2}-2xy)}{(2x^{2}-xy)(y^{2}-2xy)}+\frac{4x(2x^{2}-xy)}{(y^{2}-2xy)(2x^{2}-xy)}$

$= \frac{y^{3}-2x^{2}y+8x^{3}-4x^{2}y}{(y^{2}-2xy)(2x^{2}-xy)}$

$= \frac{y^{3}-6x^{2}y+8x^{3}}{(y^{2}-2xy)(2x^{2}-xy)}$

$c. \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}+\frac{2y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$

$= \frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}+\frac{y(x-y)}{(x+y)(x-y)}+\frac{2y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

$= \frac{x^{2}+xy+xy-y^{2}+2y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

$= \frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

$= \frac{(x+y)^{2}}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+y}{x-y}$

$d. \frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{x}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}$

$= \frac{x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)}+\frac{x(x-1)}{(x^{2}+x+1)(x-1)}-\frac{1.(x^{2}+x+1)}{(x^{2}+x+1)(x-1)}$

$= \frac{x^{2}+2+x^{2}-x-x^{2}-x-1}{(x^{2}+x+1)(x-1)}$

$= \frac{x^{2}-2x+1}{(x^{2}+x+1)(x-1)}$

$= \frac{(x-1)^{2}}{(x^{2}+x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^{2}+x+1}$

Giải bài 3 trang 42 sgk Toán 8 tập 1

$a. \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}$

$b. \frac{12}{x^{2}-9}-\frac{2}{x-3}$

$c. \frac{1}{xy-x^{2}}-\frac{1}{y^{2}-xy}$

$d. \frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{3}{2+2x}+\frac{1}{2+2x}$

Bài giải

$a. \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1} = \frac{x+1-x+2}{(x-2)(x+1)}=\frac{3}{(x-2)(x+1)}$

$b. \frac{12}{x^{2}-9}-\frac{2}{x-3} = \frac{12}{(x-3)(x+3)}-\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}$

$=\frac{12-2x-6}{(x-3)(x+3)}$

$= \frac{6-2x}{(x-3)(x+3)}=\frac{-2(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

$=\frac{-2}{x+3}$

$c. \frac{1}{xy-x^{2}}-\frac{1}{y^{2}-xy} = \frac{1}{x(y-x)}-\frac{1}{y(y-x)}$

$=\frac{y}{x(y-x)y}-\frac{x}{y(y-x)x}=\frac{y-x}{(y-x)xy}=\frac{1}{xy}$

$d. \frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{3}{2+2x}+\frac{1}{2+2x}$

$= \frac{2x}{x^{2}-1}-(\frac{3}{2+2x}-\frac{1}{2+2x})$

$= \frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{2}{2+2x}$

$= \frac{2x}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{2(1+x)}$

$= \frac{2x.2}{(x-1)(x+1).2}-\frac{2(x-1)}{2(1+x)(x-1)}$

$= \frac{4x-2x+2}{(x-1)(x+1).2}$

$= \frac{2x+2}{(x-1)(x+1).2}$

$= \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1).2}=\frac{1}{x-1}$

Giải toán 8 tập 1 trang 43

Giải bài 4 trang 43 sgk Toán 8 tập 1

a. Rút gọn biểu thức: $A = \frac{2x^{2}+1}{x^{3}+1}+\frac{1-x}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x+1}$

b. Tính giá trị của biểu thức A tại x=-3

Bài giải

$a. A = \frac{2x^{2}+1}{x^{3}+1}+\frac{1-x}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x+1}$

$= \frac{2x^{2}+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}+\frac{(1-x)(x+1)}{(x^{2}-x+1)(x+1)}-\frac{1.(x^{2}-x+1)}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$= \frac{2x^{2}+1+x+1-x^{2}-x-x^{2}+x-1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{1+x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{1}{x^{2}-x+1}$

b. Tại x=-3, ta có $x^{2}-x+1 = (-3)^{2}-(-3)+1=13 \neq 0$ nên thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức. Vậy tại x = -3, giá trị của $A = \frac{1}{13}$

Giải bài 5 trang 43 sgk Toán 8 tập 1

Một xí nghiệp dự định sản xuất 10 000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện, xí nghiệp đã làm xong sớm hơn 1 ngày so với dự định và còn làm thêm được 80 sản phẩm. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Bài giải

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định: $\frac{10000}{x}$

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế: $\frac{10000+80}{x-1}$

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định:

$\frac{10000+80}{x-1}-\frac{10000}{x}=\frac{10000x+80x-10000x+10000}{x(x-1)}$

$=\frac{80x+10000}{x(x-1)}$

Giải bài 6 trang 43 sgk Toán 8 tập 1

Người ta mở hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước. Thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đây bể ít hơn thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 2 giờ. Gọi x (giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình để đây bể. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình để đây bể,

b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ;

c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ.

Bài giải

a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình để đây bể: x+2

b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ:

– Vòi 1: $\frac{1}{x}$

– Vòi 2: $\frac{1}{x+2}$

c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2+x}{x(x+2)}=\frac{2x+2}{x(x+2)}$

Giải bài 7 trang 43 sgk Toán 8 tập 1

Để hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 120 cây xanh. Khi bắt đầu thực hiện, chi đoàn được tăng cường thêm 3 đoàn viên. Gọi x là số đoàn viên ban đầu của chi đoàn và giả sử số cây mỗi đoàn viên trồng là như nhau. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định;

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế;

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế

Bài giải

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định: $\frac{120}{x}$

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế: $\frac{120}{x+3}$

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế:

$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+3} = \frac{120x+360-120x}{x(x+3)}=\frac{360}{x(x+3)}$