Giải toán 8 tập 2 trang 85 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Giải toán 8 tập 2 trang 85 bài 8 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 8 tập 2 trang 83

HĐ 1 trang 83 toán 8 tập 2

Cho hai tam giác ABC, A’B’C’ sao cho $\widehat {A’} = \widehat A,\,\,\widehat {B’} = \widehat B$ và $A’B’ \ne AB$ (Hình 80). Trên tia A’B’ lấy điểm M khác B thỏa mãn $A’M = AB$. Qua M kẻ đường thẳng song song với B’C’ cắt tia A’C’ tại N. Chứng minh $\Delta A’MN = \Delta ABC$. Từ đó suy ra $\Delta A’B’C’ \backsim \Delta ABC$.

Lời giải chi tiết:

Vì $MN\parallel B’C’$ nên $\widehat {A’MN} = \widehat {A’B’C’}$ (hai góc đồng vị)

$ \Rightarrow \widehat M = \widehat B$

Xét tam giác A’MN và tam giác ABC có:

$\widehat {A’} = \widehat A;\,\,A’M = AB;\,\,\widehat M = \widehat B$

$ \Rightarrow \Delta A’MN = \Delta ABC$ (g-c-g)

Vì $MN\parallel B’C’$ nên $\Delta A’MN \backsim \Delta A’B’C’$

$ \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta A’B’C’$

LT1 trang 83 toán 8 tập 2

Cho hai tam giác ABC và MNP thỏa mãn $\widehat A = 50^\circ ,\,\,\widehat B = 60^\circ ,\,\,\widehat N = 60^\circ ,\,\,\widehat P = 70^\circ $. Chứng minh $\Delta ABC \backsim \Delta MNP$.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có:

$\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow 50^\circ  + 60^\circ  + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat C = 70^\circ \end{array}$

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

$\begin{array}{l}\widehat B = \widehat N = 60^\circ \\\widehat C = \widehat P = 70^\circ \end{array}$

$ \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta MNP$ (g-g).

Giải toán 8 tập 2 trang 84

HĐ2 trang 84 toán 8 tập 2

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có $\widehat {A’} = \widehat A = 90^\circ ,\,\,\widehat {B’} = \widehat B$ (Hình 84). Chứng minh $\Delta A’B’C’ \backsim \Delta ABC$.

Phương pháp giải:

Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp đồng dạng thứ ba.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:

$\widehat {A’} = \widehat A,\,\,\widehat {B’} = \widehat B$

$ \Rightarrow \Delta A’B’C’ \backsim \Delta ABC$ (g-g)

LT2 trang 84 toán 8 tập 2

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh $HA.HD = HB.HE$.

Lời giải:

Xét tam giác EHA và tam giác DHB có:

$\widehat {EHA} = \widehat {DHB}$ (đối đỉnh)

$\widehat {AEH} = \widehat {BDH} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta EHA \backsim \Delta DHB$ (g-g)

$ \Rightarrow \frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{HE}}{{HD}}$ (Tỉ số đồng dạng)

$ \Rightarrow HA.HD = HB.HE$

Giải toán 8 tập 2 trang 85

Giải Bài 1 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho Hình 86.

a) Chứng minh $\triangle$MNP $\sim$ $\triangle$ABC.

b) Tìm x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\widehat{M}=\widehat{A}=60^{\circ}$; $\widehat{N}=\widehat{B}=45^{\circ}$

Suy ra: $\triangle$MNP $\sim$ $\triangle$ABC (g.g)

b) $\triangle$MNP $\sim$ $\triangle$ABC nên $\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}$ hay $\frac{x}{4\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$

Do đó: x = $3\sqrt{2}$.

Giải Bài 2 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho hai tam giác ABC và PMN thỏa mãn $\widehat{A}=70^{\circ}$, $\widehat{B}=80^{\circ}$, $\widehat{M}=80^{\circ}$, $\widehat{N}=30^{\circ}$. Chứng minh $\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NP}$.

Hướng dẫn giải:

Tam giác MNP có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^{\circ}$

Mà $\widehat{M}=80^{\circ}$, $\widehat{N}=30^{\circ}$

Suy ra: $\widehat{P}=70^{\circ}$.

Ta có: $\widehat{A}=\widehat{P}=70^{\circ}$; $\widehat{B}=\widehat{M}=80^{\circ}$

Suy ra: $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$PMN (g.g)

Do đó: $\frac{AB}{PM}=\frac{BC}{MN}=\frac{CA}{NP}$.

Giải Bài 3 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) $\triangle$ACD $\sim$ $\triangle$BCE và CA . CE = CB . CD;

b) $\triangle$ACD $\sim$ $\triangle$AHE và AC . AE = AD . AH.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{BEC}=90^{\circ}$; chung góc C

Suy ra: $\triangle$ACD $\sim$ $\triangle$BCE (g.g)

Do đó: $\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CE}$ hay CA . CE = CB . CD.

b) Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{AEH}=90^{\circ}$; chung góc A

Suy ra: $\triangle$ACD $\sim$ $\triangle$AHE (g.g)

Do đó: $\frac{AC}{AH}=\frac{AD}{AE}$ hay AC . AE = AD . AH.

Giải Bài 4 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho Hình 87 với $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$. Chứng minh:

a) $\triangle$OAD $\sim$ $\triangle$OCB;

b) $\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$;

c) $\triangle$OAC $\sim$ $\triangle$ODB.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$; chung góc O

Suy ra: $\triangle$OAD $\sim$ $\triangle$OCB (g.g)

b) Do $\triangle$OAD $\sim$ $\triangle$OCB nên $\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$

Hay $\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$.

c) Ta có: $\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OB}$ (cmt) và chung góc O

Suy ra: $\triangle$OAC $\sim$ $\triangle$ODB (c.g.c)

Giải Bài 5 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

a) $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$HBA và $AB^{2}$ = BC . BH;

b) $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$HAC và $AC^{2}$ = BC . CH;

c) $\triangle$ABH $\sim$ $\triangle$CAH và $AH^{2}$ = BH . CH;

d) $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^{\circ}$; chung góc B

Suy ra: $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$HBA (g.g)

Do đó: $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$

Hay $AB^{2}$ = BC . BH.

b) Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$; chung góc C

Suy ra: $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$HAC (g.g)

Do đó: $\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}$

Hay $AC^{2}$ = BC . CH.

c) Ta có: $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$HBA

Mà $\triangle$ABC $\sim$ $\triangle$HAC

Suy ra: $\triangle$ABH $\sim$ $\triangle$CAH

Do đó: $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$

Hay $AH^{2}$ = BH . CH.

d) Ta có: $AB^{2}$ = BC . BH. Suy ra: $\frac{1}{AB^{2}}=\frac{1}{BC.BH}$

$AC^{2}$ = BC . CH. Suy ra: $\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{BC.CH}$

$AH^{2}$ = BH . CH. Suy ra: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{BH.CH}$ (1)

Ta có: $\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{BC.BH}+\frac{1}{BC.CH}=\frac{CH+BH}{BC.BH.CH}=\frac{BC}{BC.BH.CH}=\frac{1}{BH.CH}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$.

Giải Bài 6 trang 85 Toán 8 Cánh diều tập 2

Trong Hình 89, bạn Minh dùng một dụng cụ để đo chiều cao của cây. Cho biết khoảng cách từ mắt bạn Minh đến cây và đến mặt đất lần lượt là AH = 2,8 m và AK = 1,6 m. Em hãy tính chiều cao của cây.

Hướng dẫn giải:

Chiều cao của cây là đoạn thẳng BC.

Ta có: AHBK là hình chữ nhật nên AK = BH = 1,6 m

Tam giác AHB vuông tại H: AB = $\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{2,8^{2}+1,6^{2}}=\frac{2\sqrt{65}}{5}$

Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^{\circ}$; chung góc B

Suy ra: $\triangle$HBA $\sim$ $\triangle$ABC

Do đó: $\frac{HB}{AB}=\frac{BA}{BC}$

Suy ra: BC = $\frac{AB^{2}}{HB}$ = 6,5 m.