Giải toán 8 tập 2 trang 48 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Giải toán 8 tập 2 trang 48 bài 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 CTST. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 8 tập 2 trang 44

Hoạt động 1 trang 44 toán 8 tập 2

a) Cho hai số 5 và 8. Hãy tính tỉ số giữa hai số đã cho.

b) Hãy đo và tính tỉ số giữa hai độ dài (theo mm) của hai đoạn thẳng AB và CD trong Hình 1.

Hướng dẫn giải:

a) Tỉ số giữa hai số 5 và 8 là 5:8 = $\frac{5}{8}$.

b) Ta có: AB = 35mm; CD = 45mm

Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là AB:CD = $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{35}{45}=\frac{7}{9}.$

Thực hành 1 trang 44 toán 8 tập 2

Hãy tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

a) AB = 6cm; CD = 8cm;

b) AB = 1,2m; CD = 42cm.

Hướng dẫn giải:

a) Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là AB:CD = $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$

b) Đổi 1,2m = 120cm

Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là $AB:CD = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{120}}{{42}} = \frac{{20}}{7}.$

Hoạt động 2 trang 44 toán 8 tập 2

So sánh tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD với tỉ số của hai đoạn thẳng EF và MN trong Hình 2.

Hướng dẫn giải:

Ta coi mỗi vạch chia là 1 đơn vị. Do đó, độ dài các đoạn thẳng là AB = 2 đơn vị; CD = 3 đơn vị; EF = 4 đơn vị; MN = 6 đơn vị.

Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là $AB:CD = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{2}{3}.$

Tỉ số giữa hai đoạn thẳng EF và MN là EF:MN = $\frac{{EF}}{{MN}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

Do đó, tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD bằng tỉ số của hai đoạn thẳng EF và MN .

Giải toán 8 tập 2 trang 45

Thực hành 2 trang 45 toán 8 tập 2

Trong Hình 3, chứng minh rằng:

a) AB và BC tỉ lệ với A’B’ và B’C’;

b) AC và A’C’ tỉ lệ với AB và A’B’.

Hướng dẫn giải:

Ta xem độ dài một cạnh của hình vuông nhỏ là a và đường chéo của một hình vuông nhỏ là b.

Khi đó, độ dài các đoạn thẳng là

AB = b;BC = 3b;A’B’ = a;B’C’ = 3a;AC = 4b;A’C’ = 4a

a) Tỉ số của AB và BC là $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{b}{{3b}} = \frac{1}{3}.$

Tỉ số của A’B’ và B’C’ là $\frac{{A’B’}}{{B’C’}} = \frac{a}{{3a}} = \frac{1}{3}.$

Do đó, AB và BC tỉ lệ với A’B’ và B’C’.

b) Tỉ số của AC và A’C’là $\frac{{AC}}{{A’C’}} = \frac{{4b}}{{4a}} = \frac{b}{a}.$

Tỉ số của AB và A’B’ là $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{b}{a}.$

Do đó, AC và A’C’ tỉ lệ với AB và A’B’.

Vận dụng 1 trang 45 toán 8 tập 2

Hãy tìm các đoạn thẳng tỉ lệ trong hình vẽ sơ đồ một góc công viên ở Hình 4.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

AD = 1,5m;AE = 3m;BD = 3m;EC = 6m;

AB = AD + DB = 1,5 + 3 = 4,5m;AC = AE + EC = 3 + 6 = 9m

Ta có:

$\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{1,5}}{3} = \frac{1}{2};\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$ Do đó, AD và BD tỉ lệ với AE và EC.

$\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{1,5}}{{4,5}} = \frac{1}{3};\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$ Do đó, AD và AB tỉ lệ với AE và AC.

$\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{4,5}}{3} = \frac{3}{2};\frac{{AC}}{{EC}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$. Do đó, AB và BD tỉ lệ với AC và EC.

Giải toán 8 tập 2 trang 46

Hoạt động 3 trang 46 toán 8 tập 2

Trên một tờ giấy kẻ caro có các đường kẻ ngang song song và cách đều nhau.

a) Vẽ một đường thẳng $d$ cắt các đường kẻ ngang của tờ giấy như trong Hình 5a. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng $MN;NP;PQ$ và $QE$.

b) Vẽ một tam giác $ABC$ rồi vẽ một đường thẳng song song với cạnh $BC$  và cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $B’$ và $C’$. Trên cạnh $AB$, lấy đoạn $AI$ làm đơn vị đo tính tỉ số $AB’$ và $BB’$; trên cạnh $AC$, lấy đoạn $AJ$ làm đơn vị đo tính tỉ số $AC’$ và $C’C$ (Hình 5b).

So sánh các tỉ số $\frac{{AB’}}{{AB}}$ và $\frac{{AC’}}{{AC}}$;$\frac{{AB’}}{{B’B}}$ và $\frac{{AC’}}{{C’C}}$;$\frac{{B’B}}{{AB}}$ và $\frac{{C’C}}{{AC}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Quan sát hình vẽ ta thấy độ dài các đoạn thẳng $MN;NP;PQ$ và $QE$ đều bằng nhau.

b) Trên cạnh $AB$, lấy đoạn $AI$ làm đơn vị đo nên độ dài $AB’ = 5AI;BB’ = 2AI;$ Trên $AB = 7AI$; cạnh $AC$, lấy đoạn $AJ$ làm đơn vị đo nên độ dài $AC’ = 5AJ;C’C = 2AJ$;$AC = 7AJ$.

Tỉ số $AB’$ và $B’B$ là $AB’:B’B = \frac{{AB’}}{{B’B}} = \frac{{5AI}}{{2AI}} = \frac{5}{2}$;

Tỉ số $AC’$ và $C’C$ là $AC’:C’C = \frac{{AC’}}{{C’C}} = \frac{{5AJ}}{{2AJ}} = \frac{5}{2}$.

Do đó,  $\frac{{AB’}}{{B’B}} = \frac{{AC’}}{{C’C}} = \frac{5}{2}$.

Ta có: $\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{5AI}}{{7AI}} = \frac{5}{7};\frac{{AC’}}{{AC}} = \frac{{5AJ}}{{7AJ}} = \frac{5}{7}$.

Do đó, $\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{AC’}}{{AC}} = \frac{5}{7}$.

Ta có: $\frac{{B’B}}{{AB}} = \frac{{2AI}}{{7AI}} = \frac{2}{7};\frac{{C’C}}{{AC}} = \frac{{2AJ}}{{7AJ}} = \frac{2}{7}$.

Do đó, $\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{AC’}}{{AC}} = \frac{2}{7}$.

Thực hành 3 trang 46 toán 8 tập 2

Tính độ dài $x;y$ trong Hình 8.

Hướng dẫn giải:

a)

Xét tam giác $ABC$ có $d//BC$ mà $d$ cắt $AB;AC$ lần lượt tại $E$ và $F$nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AF}}{{CF}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{3}{{1,5}}$. Do đó, $x = \frac{{2.3}}{{1,5}} = 4$.

Vậy $x = 4$.

b) Ta có: $MN = NR + MR = 2,5 + 5,5 = 8$

Xét tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ta có:

$M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}$

${8^2} + {6^2} = M{P^2}$

$100 = M{P^2} \Rightarrow MP = \sqrt {100}  = 10$

Xét tam giác $MNP$ có $\left\{ \begin{array}{l}RS \bot MN\\NP \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow RS//NP$  (quan hệ từ vuông góc đến song song) nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{MR}}{{MN}} = \frac{{MS}}{{MP}} \Rightarrow \frac{{5,5}}{8} = \frac{y}{{10}}$. Do đó, $y = \frac{{5,5.10}}{8} = 6,875$.

Vậy $y = 6,875$.

Giải toán 8 tập 2 trang 48

Hoạt động 4 trang 48 toán 8 tập 2

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6cm,AC = 8cm$ và $BC = 10cm$. Lấy điểm $B’$ trên $AB$ sao cho AB’ = 2cm. Qua $B’$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ và cắt $AC$ tại $C’$.

a) Tính $AC’$.

b) Qua $C’$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ và cắt $BC$ tại $D$. Tính $BD,B’C’$.

c) Tính và so sánh các tỉ số: $\frac{{AB’}}{{AB}},\frac{{AC’}}{{AC}}$ và $\frac{{B’C’}}{{BC}}$.

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

– Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác $ABC$ có $B’C’//BC$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{AC’}}{{AC}} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{{AC’}}{8}$. Do đó, $AC’ = \frac{{2.8}}{6} = \frac{8}{3}\left( {cm} \right)$.

Vậy $AC’ = \frac{{16}}{3}cm$.

b) Xét tam giác $ABC$ có $C’D//AB$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AC’}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{10}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8}$. Do đó, $BD = \frac{{10.\frac{8}{3}}}{8} = \frac{{10}}{3}\left( {cm} \right)$.

Vậy $BD = \frac{{10}}{3}cm$.

Ta có: $BB’ = AB – AB’ = 6 – 2 = 4cm$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}B’C’//BC\\C’D//AB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B’C’//BD\\C’D//B’B\end{array} \right.$ (do $D \in BC;B’ \in AB$)

Xét tứ giác $B’C’DB$ có

$\left\{ \begin{array}{l}B’C’//BD\\C’D//B’B\end{array} \right. \Rightarrow $ tứ giác $B’C’DB$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B’C’ = BD = \frac{{10}}{3}cm\\BB’ = C’D = 4cm\end{array} \right.$ (tính chất hình bình hành)

c) Ta có: $\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\frac{{AC’}}{{AC}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8} = \frac{1}{3};\frac{{BC’}}{{BC}} = \frac{{\frac{{10}}{3}}}{{10}} = \frac{1}{3}$

Do đó, $\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{AC’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}}$.

Thực hành 4 trang 48 toán 8 tập 2

Tìm độ dài $x$ trên Hình 13.

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác $OAB$ có $CD//AB$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{CD}}{{AB}}$ mà $OB = OD + DB = 3,6 + 1,8 = 5,4$

Suy ra, $\frac{{3,6}}{{5,4}} = \frac{x}{{7,8}} \Rightarrow x = \frac{{3,6.7,8}}{{5,4}} = 5,2$.

Vậy $x = 5,2$.

Vận dụng 2 trang 48 toán 8 tập 2

Với số liệu đo đạc được ghi trên Hình 14, hãy tính bề rộng $CD$ của con kênh.

Hướng dẫn giải:

Vì $\widehat {ABE} = \widehat {ACD} \Rightarrow BE//CD$ (hai góc đồng vị bằng nhau)

Trong tam giác $ACD$ có $BE//CD$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CD}}$ mà $AC = AB + BC = 8 + 8 = 16$

Suy ra, $\frac{8}{{16}} = \frac{3}{{CD}} \Rightarrow CD = \frac{{3.16}}{8} = 6$.

Vậy bề rộng $CD$ của con sông là 6m.

Hoạt động 5 trang 48 toán 8 tập 2

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6cm,AC = 15cm$. Trên $AB,AC$ lần lượt lấy $B’,C’$ sao cho $AB’ = 2cm;AC’ = 5cm$.

a) Tính các tỉ số $\frac{{AB’}}{{AB}}$ và $\frac{{AC’}}{{AC}}$.

b) Qua $B’$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AC$  tại $E$. Tính $AE$.

c) So sánh $AE$ và $AC’$.

d) Hãy nhận xét về vị trí của $E$ và $C’$, vị trí của hai đường thẳng $B’C’$ và $B’E$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ và $\frac{{AC’}}{{AC}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}$.

b) Vì $B’E//BC$  và$B’E$ cắt $AC$ tại $E$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AB’}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{{AE}}{{15}} \Rightarrow AE = \frac{{2.15}}{6} = 5cm$

c) Ta có: $AE = AC’ = 5cm$.

d) Điểm $E \equiv C’$ và đường thẳng $B’C’ \equiv B’E$.

Thực hành 5 trang 48 toán 8 tập 2

Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong mỗi hình dưới đây.

Hướng dẫn giải:

a) $AB = AM + MB = 1 + 2 = 3;AC = AN + NC = 2 + 4 = 6;BC = BP + PC = 2 + 3 = 5$

Ta có: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3};\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Vì $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}$ nên theo định lí Thales đảo trong tam giác $ABC$, ta có $MN//BC$.

Ta có: $\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\frac{{CP}}{{CB}} = \frac{3}{5}$.

Vì $\frac{{CN}}{{AC}} \ne \frac{{CP}}{{BC}}\left( {\frac{2}{3} \ne \frac{3}{5}} \right)$ nên theo định lí Thales đảo trong tam giác $ABC$, ta có $NP$ không song song với $BC$.

b) Vì $\widehat {B”A”O} = \widehat {OA’B’}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $A”B”//A’B’$.

$OA = OA’ + A’A = 2 + 3 = 5;OB = OB’ + B’B = 3 + 4,5 = 7,5$

Ta có: $\frac{{OA’}}{{OA}} = \frac{2}{5};\frac{{OB’}}{{OB}} = \frac{3}{{7,5}} = \frac{2}{5}$.

Vì $\frac{{OA’}}{{OA}} = \frac{{OB’}}{{OB}} = \frac{2}{5}$ nên theo định lí Thales đảo trong tam giác $OAB$, ta có $A’B’//AB$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}A’B’//AB\\A’B’//A”B”\end{array} \right. \Rightarrow AB//A”B”$.

Vận dụng 3 trang 49 toán 8 tập 2

Đo chiều cao $AB$ của một tòa nhà bằng hai cây cọc $FE,DK$, một sợi dây và một thước cuộn như sau:

– Đặt cọc $FE$ cố định, di chuyển cọc $DK$ sao cho nhìn thấy $K,F,A$ thẳng hàng.

– Căng thẳng dây $FC$ đi qua $K$ và cắt mặt đất tại $C$.

– Đo khoảng cách $BC$ và $DC$ trên mặt đất.

Cho biết $DK = 1m,BC = 24m,DC = 1,2m$. Tính chiều cao $AB$ của tòa nhà.

Hướng dẫn giải:

Vì $\left\{ \begin{array}{l}KD \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow KD//AB$.

Xét tam giác $CAB$ có $KD//AB \Rightarrow \frac{{KD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}$ (hệ quả của định lí Thales).

$ \Rightarrow \frac{1}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{24}} \Rightarrow AB = \frac{{24.1}}{{1,2}} = 20m$

Vậy chiều cao $AB$ của tòa nhà là 20m.

Giải toán 8 tập 2 trang 49

Bài 1 trang 49 toán 8 tập 2

a) Hãy đo chiều dài và chiều rộng cái bàn học của em và tính tỉ số giữa hai kích thước này.

b) Quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Mỹ Tho là 70 km, quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Cà Mau là 350 km. Tính tỉ số giữa hai quãng đường này.

c) Cho biết $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{3}{5}$ và $AB = 6cm$. Hãy tính $CD$.

Hướng dẫn giải

a) Chiều dài của cái bàn học của em là $120cm$; chiều rộng của cái bàn học của em là $70cm$. Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của cái bàn là: $CD:CR = \frac{{CD}}{{CR}} = \frac{{120}}{{70}} = \frac{{12}}{7}$.

b) Tỉ số giữa hai quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Mỹ Tho và từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Cà Mau là: $70:350 = \frac{{70}}{{350}} = \frac{1}{5}$.

c) Ta có: $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{3}{5}$ mà $AB = 6cm \Rightarrow \frac{6}{{CD}} = \frac{3}{5} \Rightarrow CD = \frac{{5.6}}{3} = 10cm$

Vậy $CD = 10cm$.

Bài 2 toán 8 tập 2 trang 49

Tìm $x$ trong Hình 20.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $ABC$ có $MN//BC$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{4,5}}{3}$. Do đó, $x = \frac{{4,5.2}}{3} = 3$.

Vậy $x = 3$.

b) Ta có: $CD = AC + AD = 3 + 6 = 9$

Xét tam giác $CDE$ có $AB//DE$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{BC}}{{CE}} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{{2,4}}{x}$. Do đó, $x = \frac{{9.2,4}}{3} = 7,2$.

Vậy $x = 7,2$.

c) Vì $\left\{ \begin{array}{l}DE \bot PM\\MN \bot PM\end{array} \right. \Rightarrow DE//MN$ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

$PE + EN = 3,9 + 2,6 = 6,5$

Xét tam giác $PMN$ có $DE//MN$ nên theo định lí Thales ta có:

$\frac{{DM}}{{MP}} = \frac{{NE}}{{NP}} \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{{2,6}}{{6,5}}$. Do đó, $x = \frac{{2,6.5}}{{6,5}} = 2$.

Vậy $x = 2$.

Giải toán 8 tập 2 trang 50

Bài 3 trang 50 toán 8 tập 2

Với số liệu được ghi trên Hình 21. Hãy tính khoảng cách $CD$ từ con tàu đến trạm quan trắc đặt tại điểm $C$.

tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $BE//CD$.

Ta có: $AC = AB + BC = 200 + 400 = 600m$

Xét tam giác $ACD$ có $BE//CD$ nên theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{200}}{{600}} = \frac{{120}}{{CD}}$. Do đó, $CD = \frac{{120.600}}{{200}} = 360$.

Vậy $CD = 360m$.

Bài 4 trang 50 toán 8 tập 2

Quan sát Hình 22, chứng minh rằng $MN//BC$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{3,6}}{{2,4}} = \frac{3}{2}$;$\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{4,5}}{3} = \frac{3}{2}$.

Vì $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{3}{2}$

Theo định lí Thales đảo trong $\Delta ABC$, ta có $MN//BC$ (điều phải chứng minh).

Bài 5 toán 8 tập 2 trang 50

Tính các độ dài $x,y$ trong Hình 23.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $AC = AK + KC = 3 + 1,5 = 4,5$

Xét tam giác $ABC$ có $HK//BC$ nên theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{AK}}{{AC}} \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{3}{{4,5}}$. Do đó, $x = \frac{{3.6}}{{4,5}} = 4$.

Vậy $x = 4$.

b) Ta có: $MH = MQ + QH = x + 1,8$

Xét tam giác $MNH$ có $PQ//NH$ nên theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{PQ}}{{NH}} = \frac{{MQ}}{{MH}} \Rightarrow \frac{{3,8}}{{6,4}} = \frac{x}{{x + 1,8}}$. Do đó, $6,4x = 3,8.\left( {x + 1,8} \right)$

$ \Leftrightarrow 6,4x = 3,8x + 6,84$

$ \Leftrightarrow 6,4x – 3,8x = 6,84$

$ \Leftrightarrow 2,6x = 6,84$

$ \Leftrightarrow x = 6,84:2,6$

$ \Leftrightarrow x = \frac{{171}}{{65}}$.

Vậy $x = \frac{{171}}{{65}}$.

c) Vì $\left\{ \begin{array}{l}DE \bot AD\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow DE//AB$ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

Xét $\Delta CDE$ vuông tại $D$ ta có:

$E{D^2} + D{C^2} = E{C^2}$ (Định lí Py- ta – go)

$ \Leftrightarrow {8^2} + {6^2} = E{C^2}$

$ \Leftrightarrow E{C^2} = 100$

$ \Leftrightarrow EC = 10$

Xét tam giác $ABC$ có $DE//AB$ nên theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{ED}} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{x}{8}\\\frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{BC}}{{EC}} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{y}{{10}}\end{array} \right.$. Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5.8}}{6} = \frac{{20}}{3}\\y = \frac{{5.10}}{6} = \frac{{25}}{3}\end{array} \right.$.

Vậy $x = \frac{{20}}{3};y = \frac{{25}}{3}$.

Bài 6 trang 50 toán 8 tập 2

Quan sát Hình 24, chỉ ra các cặp đường thẳng song song và chứng minh điều ấy.

Hướng dẫn giải

a) Theo hình vẽ ta có:

$I$ là trung điểm của $MN$ nên $IM = IN = \frac{1}{2}MN$;

$J$ là trung điểm của $MP$ nên $JM = JP = \frac{1}{2}MP$;

$K$ là trung điểm của $NP$ nên $KN = KP = \frac{1}{2}NP$.

Xét tam giác $MNP$ có:

$\frac{{IM}}{{MN}} = \frac{1}{2};\frac{{MJ}}{{PJ}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{IM}}{{MN}} = \frac{{MJ}}{{PJ}} \Rightarrow IJ//NP$ (Định lí Thales đảo);

$\frac{{PJ}}{{PM}} = \frac{1}{2};\frac{{PK}}{{PN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{PJ}}{{PM}} = \frac{{PK}}{{PN}} \Rightarrow JK//MN$ (Định lí Thales đảo);

$\frac{{NK}}{{NP}} = \frac{1}{2};\frac{{IN}}{{MN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{NK}}{{NP}} = \frac{{IN}}{{MN}} \Rightarrow IK//MP$ (Định lí Thales đảo).

b) Xét tam giác $ABC$ có:

$\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{3}{{7,5}} = \frac{2}{5};\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AM}}{{BM}} \Rightarrow MN//BC$(Định lí Thales đảo);

$\frac{{CN}}{{AN}} = \frac{{7,5}}{3} = \frac{5}{2};\frac{{CP}}{{PB}} = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{{CN}}{{AN}} = \frac{{CP}}{{BP}} \Rightarrow NP//AB$(Định lí Thales đảo);

$\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{5}{2};\frac{{PB}}{{CP}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{BM}}{{AM}} \ne \frac{{BP}}{{CP}} \Rightarrow NP$ không song song với $AB$(Định lí Thales đảo).

Giải toán 8 tập 2 trang 51

Bài 7 Trang 51 toán 8 tập 2

Cho hình thang $ABCD\left( {AB//CD} \right)$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Chứng minh rằng $OA.OD = OB.OC$

Xét tam giác $OCD$ có $AB//CD$ (giả thiết) và $AB$ cắt $OC;OD$ lần lượt tại $A;B$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}} \Rightarrow OA.OD = OB.OC$  (điều phải chứng minh).

Bài 8 trang 51 toán 8 tập 2

Cho hình thang $ABCD\left( {AB//CD} \right)$. Đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD, BD, AC$ và $BC$ theo thứ tự tại các điểm $M, N, P, Q$.

Chứng minh rằng $MN = PQ$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD, BD, AC$ và $BC$ theo thứ tự tại các điểm $M,N,P,Q$ nên

$PM//AB//CD;MN//AB//CD;NQ//AB//CD$.

– Xét tam giác $BCD$ có $QN//CD$ và $QN$ cắt $BD;BC$ lần lượt tại $N;Q$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{BQ}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}}$  (1)

– Xét tam giác $ACD$ có $PM//CD$ và $PM$ cắt $AD;AC$ lần lượt tại $M;P$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{PA}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}}$  (2)

– Xét tam giác $DMN$ có $AB//MN$. Theo định lí Thales ta có:

$\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}}$  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

$\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow QN = PM$

Ta có:

$QN + MQ = PM + MQ \Rightarrow MN = PQ$ (điều phải chứng minh).

Bài 9 trang 51 toán 8 tập 2

Quan sát Hình 25 và chứng minh: $x = \frac{{ah}}{{a’ – a}}$.

Hướng dẫn giải

Vì $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB’\\B’C’ \bot AB’\end{array} \right. \Rightarrow BC//B’C’$(quan hệ từ vuông góc đến song song).

– Xét tam giác $AB’C’$ có $BC//B’C’$ và $BC$ cắt $AB’;AC’$ lần lượt tại $B;C$.

Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{AB}}{{AB’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} \Rightarrow \frac{x}{{x + h}} = \frac{a}{{a’}} \Rightarrow xa’ = a\left( {x + h} \right) \Leftrightarrow xa’ = ax + ah$

$ \Leftrightarrow xa’ – ax = ah \Leftrightarrow x\left( {a’ – a} \right) = ah \Leftrightarrow x = \frac{{ah}}{{a’ – a}}$ (điều phải chứng minh).