Giải toán 8 tập 2 trang 65 Bài 1: Hai tam giác đồng dạng

Giải toán 8 tập 2 trang 65 bài 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 CTST. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 8 tập 2 trang 62

Khởi động trang 62 toán 8 tập 2

Hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì bằng nhau. Còn hai tam giác có ba góc bằng nhau thì có bằng nhau không?
Lời giải

Hai tam giác có ba góc bằng nhau thì không bằng nhau.

HĐ1 trang 62 toán 8 tập 2

Nêu nhận xét về hình dạng và kích thước của từng cặp hình: Hình 1a và Hình 1b, Hình 1c và Hình 1d, Hình 1e và Hình 1g.

Hướng dẫn giải:

Hình 1a và Hình 1b có kích thước không bằng nhau. Tuy nhiên ta có thể phóng to Hình 1a để thu được Hình 1b hoặc thu nhỏ Hình 1b để được Hình 1a.

Hình 1c và Hình 1d có kích thước không bằng nhau. Tuy nhiên ta có thể phóng to Hình 1d để thu được Hình 1c hoặc thu nhỏ Hình 1c để được Hình 1d.

Hình 1e và Hình 1g có kích thước không bằng nhau. Tuy nhiên ta có thể phóng to Hình 1e để thu được Hình 1g hoặc thu nhỏ Hình 1g để được Hình 1e.

HOạT ĐộNG 2 trang 62 toán 8 tập 2

Cho tam giác $ABC$ và tam giác $A’B’C’$ như Hình 2.

a) Hãy viết các cặp góc bằng nhau.

b) Tính và so sánh các tỉ số

$\frac{{A’B’}}{{AB}};\frac{{A’C’}}{{AC}};\frac{{B’C’}}{{BC}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Từ kí hiệu của hình vẽ ta thấy các cặp góc bằng nhau là:

$\widehat A = \widehat {A’};\widehat B = \widehat {B’};\widehat C = \widehat {C’}$

b) Ta có:

$\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{7,5}}{5} = \frac{3}{2};\frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Ta thấy, $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{3}{2}$

Giải toán 8 tập 2 trang 63

Thực hành 1 trang 63 toán 8 tập 2

Quan sát Hình 3, cho biết $\Delta AMN\backsim\Delta ABC$.

a) Hãy viết tỉ số của các cạnh tương ứng và tính tỉ số đồng dạng.

b) Tính góc $\widehat {AMN}$.

Hướng dẫn giải:

a) Vì tam giác $\Delta AMN\backsim\Delta ABC$  nên ta có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (các cạnh tương ứng)

Tỉ số đồng dạng là: $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$.

b) Vì $\Delta AMN\backsim\Delta ABC$ nên $\widehat {AMN} = \widehat {ABC} = 65^\circ $

Vậy $\widehat {AMN} = 65^\circ $.

Hoạt động 3 trang 63 toán 8 tập 2

a) Nếu $\Delta A’B’C’ = \Delta ABC$ thì tam giác $A’B’C’$ có đồng dạng với tam giác $ABC$ không? Tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

b) Cho tam giác $\Delta A’B’C’\backsim\Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng $k$ thì $\Delta ABC\backsim\Delta A’B’C’$ theo tỉ số nào?

Hướng dẫn giải:

a) Nếu $\Delta A’B’C’ = \Delta ABC$ thì tam giác $A’B’C’$ đồng dạng với tam giác $ABC$. Vì hai tam giác bằng nhau có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau.

Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A’};\widehat B = \widehat {B’};\widehat C = \widehat {C’}\\\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = 1\end{array} \right.$. Vậy $\Delta A’B’C’\backsim\Delta ABC$ và tỉ số đồng dạng là 1.

b) Vì $\Delta A’B’C’\backsim\Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng là $k$ nên tỉ số đồng dạng là: $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = k$.

Khi đó, $\Delta ABC\backsim\Delta A’B’C’$ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là: $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{1}{k}$.

Vậy $\Delta ABC\backsim\Delta A’B’C’$theo tỉ số $\frac{1}{k}$.

Giải toán 8 tập 2 trang 64

Thực hành 2 trang 64 toán 8 tập 2

Quan sát Hình 4, cho biết $\Delta ADE\backsim\Delta AMN,\Delta AMN\backsim\Delta ABC,DE$ là đường trung bình của tam giác $AMN,MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$ Tam giác $ADE$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Vì $\Delta ADE\backsim\Delta AMN$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {ADE} = \widehat {AMN};\widehat {AED} = \widehat {ANM}\\\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AN}} = \frac{{DE}}{{MN}}\end{array} \right.$

Vì $DE$ là đường trung bình của tam giác $AMN$nên $DE = \frac{1}{2}MN$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {ADE} = \widehat {AMN};\widehat {AED} = \widehat {ANM}\\\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AN}} = \frac{{DE}}{{MN}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow AM = 2AD;AN = 2AE;MN = 2DE$

Lại có, $\Delta AMN\backsim\Delta ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\\\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\end{array} \right.$

Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$nên $MN = \frac{1}{2}BC$

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\\\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow AB = 2AM;AC = 2AN;BC = 2MN$

Vì tam giác $\Delta ADE\backsim\Delta AMN,\Delta AMN\backsim\Delta ABC,$ nên $\Delta ADE\backsim\Delta ABC$

Tỉ số đồng dạng là: $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{\frac{{AM}}{2}}}{{2AM}} = \frac{1}{4}$.

Vậy tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{4}$.

Hoạt động 4 trang 64 toán 8 tập 2

Quan sát Hình 5, biết $MN//BC$. Hãy điển ? cho thích hợp.

$\Delta AMN$ và$\Delta ABC$  có:

$\widehat A$ chung;

$\widehat M = ?$;

$\widehat N = ?$;

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{?}{?}$

Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác $AMN$ và tam giác $ABC$.

Hướng dẫn giải:

Vì $MN//BC$ nên $\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}$ (các cặp góc đồng vị)

Xét tam giác $ABC$ có, $MN//BC$ nên theo hệ quả của định lí Thales ta có:

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$.

Vậy trong các ô trống cần điền là:

$\widehat A$ chung;

$\widehat M = \widehat B$;

$\widehat N = \widehat C$;

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$.

Tam giác $\Delta AMN$ và$\Delta ABC$ có các góc tương ứng bằng nhau và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau nên $\Delta AMN$ đồng dạng $\Delta ABC$.

Giải toán 8 tập 2 trang 65

Giải Thực hành 3 trang 65 toán 8 tập 2

Quan sát Hình 8, cho biết $DC//MP,EF//MQ$.

a) Chứng minh rằng $\Delta EPF\backsim\Delta DCQ$.

b) $\Delta ICF$ có đồng dạng với $\Delta MPQ$không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác $MPQ$có  $EF//MQ$ nên $\Delta MPQ\backsim\Delta EPF$ (định lí) (1)

Xét tam giác $MPQ$có  $DC//MP$ nên $\Delta MPQ\backsim\Delta DCQ$ (định lí) (2)

Từ (1) và (2) $\Delta EPF\backsim\Delta DCQ$ (tính chất tam giác đồng dạng)

b) Xét tam giác $EPF$có  $IC//EP$ nên $\Delta ICF\backsim\Delta EPF$ (định lí) (3)

Từ (1) và (3) suy ra, $\Delta ICF\backsim\Delta MPQ$.

Giải Vận dụng trang 65 toán 8 tập 2

Trong Hình 10, cho biết $ABCD$ là hình bình hành.

a) Chứng minh rằng $\Delta IEB\backsim\Delta IDA$.

b) Cho biết $CB = 3BE$ và $AI = 9cm$. Tính $DC$.

Hướng dẫn giải:

a) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $BC//AD \Rightarrow EB//AD$

Xét tam giác $IDA$ có

$EB//AD;EB$ cắt $AI;ID$ tại $B;E$.

Do đó, $\Delta IEB\backsim\Delta IDA$ (định lí)

b) Ta có: $\Delta IEB\backsim\Delta IDA \Rightarrow \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BE}}{{DA}}$ (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Mà $CB = AD;CB = 3BE \Rightarrow AD = 3BE;AI = 9cm$ nên ta có:

$\frac{{IB}}{9} = \frac{{BE}}{{3BE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IB = \frac{{9.1}}{3} = 3(cm)$.

$\Rightarrow AB = AI + IB = 9 + 3 = 12cm$
Mà DC = AB (ABCD là hình bình hành $\Rightarrow DC = 12cm$

Vậy $DC = 12cm.$

Giải Bài 1 trang 65 Toán 8 Tập 2:

Trong hai khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tại sao?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Xét khẳng định a: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số 1.

Vậy khẳng định a đúng.

b) Xét khẳng định b: Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.

Hai tam giác đồng dạng có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau theo tỉ số k.

• Với k = 1 thì các cạnh tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau nên hai tam giác đó bằng nhau.

• Với k ≠ 1 thì các cạnh tương ứng của hai tam giác đó không bằng nhau nên hai tam giác đó không bằng nhau.

Vậy khẳng định b sai.

Giải Bài 2 trang 65 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC, hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k=$\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Trên cạnh AB lấy B‘ là trung điểm của AB

Qua B‘ kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại C‘

Ta có: B‘C‘ // BC nên ΔAB′C′ ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k=$\frac{AB’}{A}$=$\frac{1}{2}$

Giải Bài 3 trang 65 Toán 8 Tập 2:

a) Trong Hình 11, cho biết $\Delta ABC\backsim\Delta A’B’C’$. Viết tỉ số của các cạnh tương ứng và chỉ ra các cặp góc tương ứng.

b) Trong Hình 12, cho biết $\Delta DEF\backsim\Delta D’E’F’$. Tính số đo $\widehat {D’}$ và $\widehat F$.

c) Trong Hình 12, cho biết $\Delta MNP\backsim\Delta M’N’P’$. Tính độ dài các đoạn thẳng MN và MP’.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:$\Delta ABC\backsim\Delta A’B’C’$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A’};\widehat B = \widehat {B’};\widehat C = \widehat {C’}\\\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = k\end{array} \right..$

b) Xét tam giác DEF có:

$\widehat D + \widehat E + \widehat F = 180^\circ$(tổng ba góc trong một tam giác).

Ta có: $\widehat D = 78^\circ ;\widehat E = 57^\circ$thay số ta được

$78^\circ + 57^\circ + \widehat F = 180^\circ \Rightarrow \widehat F = 180^\circ – 78^\circ – 57^\circ = 45^\circ$

Ta có:$\Delta DEF\backsim\Delta D’E’F’$ suy ra

$\widehat D = \widehat {D’};\widehat E = \widehat {E’};\widehat F = \widehat {F’}$ (các góc tương ứng bằng nhau)

Do đó, $\widehat D = \widehat {D’} = 78^\circ ;\widehat F = \widehat {F’} = 45^\circ .$

c) Ta có $\Delta MNP\backsim\Delta M’N’P’$ suy ra

$\frac{{MN}}{{M’N’}} = \frac{{MP}}{{M’P’}} = \frac{{NP}}{{N’P’}}$(các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Với MP = 10;NP = 6;M’N’ = 15;N’P’ = 12 thay vào ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{MN}}{{15}} = \frac{1}{2}\\\frac{{10}}{{M’P’}} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN = \frac{{15.1}}{2} = 7,5\\M’P’ = \frac{{10.2}}{1} = 20\end{array} \right..$

Vậy MN = 7,5;M’P’ = 20.

Giải Bài 4 trang 65 Toán 8 Tập 2:

Trong Hình 14, cho biết AB//CD

a) Chứng minh rằng $\Delta AEB\backsim\Delta DEC.$

b) Tìm x.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABE có:

AB//CD và C,D cắt BE;AE lần lượt tại C,D.

Do đó, $\Delta AEB\backsim\Delta DEC$ (định lí)

b) Vì $\Delta AEB\backsim\Delta DEC$ nên $\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{CD}}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Thay số ta được:

$\frac{{x – 2}}{{10}} = \frac{3}{5} \Rightarrow x – 2 = \frac{{10.3}}{5} = 6 \Rightarrow x = 6 + 2 = 8$

Vậy x = 8.

Giải Bài 5 trang 65 Toán 8 Tập 2:

Cho $\Delta ABC\backsim\Delta DEF$ theo tỉ sống đồng dạng $k = \frac{2}{5}.$

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết hiệu chu vi hai tam giác trên là 36cm, tính chu vi mỗi tam giác.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\Delta ABC\backsim\Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{2}{5}$ nên

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{5} \Rightarrow AB = \frac{2}{5}DE;AC = \frac{2}{5}DF;BC = \frac{2}{5}EF.$

Chu vi tam giác ABC là:

${C_{ABC}} = AB + AC + BC$ (đơn vị độ dài).

Chu vi tam giác DEF là:

${C_{DEF}} = DE + DF + EF$

Tỉ số chu vi của $\Delta ABC và \Delta DEF$ là:

$\frac{{{C_{ABC}}}}{{{C_{DEF}}}} = \frac{{AB + AC + BC}}{{DE + DF + EF}} = \frac{{\frac{2}{5}DE + \frac{2}{5}DF + \frac{2}{5}EF}}{{DE + DF + EF}} = \frac{{\frac{2}{5}\left( {DE + DF + EF} \right)}}{{DE + DF + EF}} = \frac{2}{5}.$

b) Chu vi tam giác ABC là:

$36:\left( {5 – 2} \right).2 = 24\left( {cm} \right)$

Chu vi tam giác DEF là:

$36:\left( {5 – 2} \right).5 = 60\left( {cm} \right)$

Vậy chu vi tam giác ABC là 24cm; chu vi tam giác DEF là 60cm.

Giải Bài 6 trang 65 Toán 8 Tập 2:

Người ta ứng dụng hai tam giác đồng dạng để đo khoảng cách BC ở hai điểm không thể đến được (hình 15). Biết DE//BC.

a) Chứng minh rằng $\Delta ADE\backsim\Delta ABC.$

b) Tính khoảng cách BC.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC ta có:

DE//BC và D,E cắt AB;AC tại D;E.

Do đó, $\Delta ADE\backsim\Delta ABC$ (định lí)

b) Vì $\Delta ADE\backsim\Delta ABC$ nên $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}}$ (cách cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Thay số, $\frac{{16}}{{30}} = \frac{{22}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{22.30}}{{16}} = 41,25$

Vậy BC = 41,25m.