Toán 8 tập 2 trang 19 Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Giải toán 8 tập 2 trang 19 bài 23 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 8 tập 2 trang 15

Mở đầu trang 15 toán 8 tập 2

Đề bài đưa ra: hãy rút gọn biểu thức:

$P = \frac{x}{{x + 1}} – \left[ {\left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{x}{{x + 1}}} \right) – \frac{1}{{x – 1}}} \right]$

Vuông: Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả P = 0

Tròn: Làm thế nào mà Vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?

Hướng dẫn giải:

Vuông đã nhìn các dấu đứng trước các phân thức, 2 phân thức giống nhau có dấu trái nhau khi cộng lại sẽ bằng 0

HĐ 1 trang 15 toán 8 tập 2

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng:

$\frac{{2x + y}}{{x – y}} + \frac{{ – x + 3y}}{{x – y}}$

Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho.

Hướng dẫn giải::

Cộng các tử thức của hai phân thức, ta có: 2x + y – x + 3y = x + 4y

HĐ 2 trang 15 toán 8 tập 2

Viết phân thức có tử là tổng các tử thức và mẫu là mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng đã cho

Hướng dẫn giải::

$\frac{{2x + y}}{{x – y}} + \frac{{ – x + 3y}}{{x – y}} = \frac{{x + 4y}}{{x – y}}$

Toán 8 tập 2 trang 16

LT 1 trang 16 toán 8 tập 2

$a)\frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{xy}} + \frac{{2{\rm{x}} – 1}}{{xy}}$

$b)\frac{{3{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{ – 3{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} + 1}}$

Hướng dẫn giải::

$a)\frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{xy}} + \frac{{2{\rm{x}} – 1}}{{xy}} = \frac{{3{\rm{x}} + 1 + 2{\rm{x}} – 1}}{{xy}} = \frac{5x}{{xy}} = \frac{5}{{y}}$

$b)\frac{{3{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}} + \frac{{ – 3{\rm{x}} + 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{3{\rm{x}} + ( – 3{\rm{x}} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}}$

HĐ 5 trang 16 toán 8 tập 2

Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính: $\frac{{x – y}}{{x + 1}} – \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{x + 1}}$

Phương pháp giải:

Thực hiện theo yêu cầu của bài toán

Hướng dẫn giải::

Ta có: $\frac{{x – y}}{{x + 1}} – \frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{x + 1}} = \frac{{x – y – \left( {2{\rm{x}} + 3} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{x – y – 2{\rm{x}} – 3}}{{x + 1}} = \frac{{ – x – y – 3}}{{x + 1}}$

HĐ 6 trang 7 toán 8 tập 2

Quy đồng mẫu thức của hai phân thức $\frac{1}{{x + 1}}$và $\frac{1}{x}$; trừ các tử thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính $\frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{x}$

Hướng dẫn giải::

MTC = x(x + 1)

Nhân tử phụ của x+1 là: x

Nhân tử phụ của x là: x+1

=> Ta có $\frac{1}{{x + 1}} = \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)}}$ và $\frac{1}{x} = \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

Trừ các tử thức của hai phân thức, có: x – x – 1 = -1

$ \Rightarrow \frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{x} = \frac{{ – 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

Toán 8 tập 2 trang 17

LT3 trang 17 toán 8 tập 2

Thực hiện các phép tính:

$a)\frac{{3 – 2{\rm{x}}}}{{x – 1}} – \frac{{2 + 5{\rm{x}}}}{{x – 1}}$

$b)\frac{1}{{4{{\rm{x}}^2}y}} – \frac{1}{{6{\rm{x}}{y^2}}}$

Phương pháp giải:

Thực hiện theo quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu và khác mẫu

Hướng dẫn giải::

$a)\frac{{3 – 2{\rm{x}}}}{{x – 1}} – \frac{{2 + 5{\rm{x}}}}{{x – 1}} = \frac{{3 – 2{\rm{x}} – \left( {2 + 5{\rm{x}}} \right)}}{{x – 1}} = \frac{{3 – 2{\rm{x}} – 2 – 5{\rm{x}}}}{{x – 1}} = \frac{{1 – 7{\rm{x}}}}{{x – 1}}$

$b)\frac{1}{{4{{\rm{x}}^2}y}} – \frac{1}{{6{\rm{x}}{y^2}}} = \frac{{3y}}{{12{{\rm{x}}^2}y{}^2}} – \frac{{2{\rm{x}}}}{{12{{\rm{x}}^2}{y^2}}} = \frac{{3y – 2{\rm{x}}}}{{12{{\rm{x}}^2}{y^2}}}$

LT 4 trang 18 toán 8 tập 2

Rút gọn biểu thức: $P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} – \frac{1}{x} – \frac{1}{y}$

Hướng dẫn giải::

Ta có:

$\begin{array}{l}P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} – \frac{1}{x} – \frac{1}{y}\\P = \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{x}} \right) + \left( {\frac{1}{y} – \frac{1}{y}} \right) + \frac{1}{z} = 0 + 0 + \frac{1}{z} = \frac{1}{z}\end{array}$

Toán 8 tập 2 trang 19

LT5 Trang 19 toán 8 tập 2

Đề bài đưa ra: hãy rút gọn biểu thức:

$P = \frac{x}{{x + 1}} – \left[ {\left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{x}{{x + 1}}} \right) – \frac{1}{{x – 1}}} \right]$

Vuông: Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả P = 0

Tròn: Làm thế nào mà Vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?

Hướng dẫn giải::

$\begin{array}{l}P = \frac{x}{{x + 1}} – \left[ {\left( {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{x}{{x + 1}}} \right) – \frac{1}{{x – 1}}} \right]\\P = \frac{x}{{x + 1}} – \left[ {\frac{1}{{x – 1}} + \frac{x}{{x + 1}} – \frac{1}{{x – 1}}} \right]\\P = \frac{x}{{x + 1}} – \frac{x}{{x + 1}} = 0\end{array}$

Vì vuông đã sử dụng phép cộng, phép trừ phân thức đại số.

VD trang 19 toán 8 tập 2

Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 20km, xe chạy trong thành phố với vận tốc x(km/h) (x>0). Trên 50km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê

a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc

b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê

Hướng dẫn giải::

a) Phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố: ${t_1} = \frac{{20}}{x}$ (giờ)

Phân thức biểu thị thời gian xe chạy trên đường cao tốc: ${t_2} = \frac{{50}}{{x + 55}}$ (giờ)

b)Phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê:

$\begin{array}{l}{t_1} + {t_2} + \frac{1}{4}\\ = \frac{{20}}{x} + \frac{{50}}{{x + 55}} + \frac{1}{4}\\ = \frac{{80\left( {x + 55} \right) + 200{\rm{x}} + x\left( {x + 55} \right)}}{{4{\rm{x}}\left( {x + 55} \right)}} = \frac{{{x^2} + 335{\rm{x}} + 4400}}{{4{\rm{x}}\left( {x + 55} \right)}}\end{array}$

Bài 6.20 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

Thực hiện các phép tính

a) $\frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}}+\frac{5x-1-x^{2}}{2x^{2}}$

b) $\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}$

c) $\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}}+\frac{5x-1-x^{2}}{2x^{2}}$

$=\frac{x^{2}-3x+1+5x-1-x^{2}}{2x^{2}}$

$=\frac{2x}{2x^{2}}$

b) $\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}$

$=\frac{y(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

c) $\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}$

$=\frac{x}{2(x-3)}-\frac{9}{2x(x-3)}$

$=\frac{x^{2}-9}{2x(x-3)}$

$=\frac{(x-3)(x+3)}{2x(x-3)}$

$=\frac{x+3}{2x}$

Bài 6.21 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)$\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}$

b)$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}$

c)$\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^{3}+1}$

Hướng dẫn giải

a)$\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}$

$=\frac{5-3x+2-5x}{x+1}=\frac{7-8x}{x+1}$

b)$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x+y)-y(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

c)$\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^{3}+1}$

$=\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{3(x^{2}-x+1)-2-3x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{3x^{2}-6x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

Bài 6.22 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}$

b)$\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}$

Hướng dẫn giải

a)$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}$

=$\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

=$\frac{2x-2-2x-2}{(x+1)(x-1)}=\frac{-4}{(x+1)(x-1)}$

b)$\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{2x-1}{x}+\frac{1-2x}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{x-1}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{3}{x^{2}-9}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{3}{(x-3)(x+3)}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{3-3(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

=$\frac{12-3x}{(x-3)(x+3)}$

Bài 6.23 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)$\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}$

b)$\frac{x}{x^{2}+1}-\left ( \frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4} \right )+\left [ \frac{3}{x+6}-\left ( \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x-2}{x+4} \right ) \right ]$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}$

$=\frac{(x+2)^{2}}{(x-2)(x+2)}-\frac{x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{5(x+2)-5x+4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{-x+14}{5(x-2)}$

b) $\frac{x}{x^{2}+1}-\left ( \frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4} \right )+\left [ \frac{3}{x+6}-\left ( \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x-2}{x+4} \right ) \right ]$

$=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{x-2}{x+4}$

$=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1}$

$=\frac{x-1}{x^{2}+1}$

Bài 6.24 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)$\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}$

b)$\frac{x}{(x-y)^{2}}+\frac{y}{y^{2}-x^{2}}$

Hướng dẫn giải

a)$\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}$

=$\frac{z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)}{xyz}$

=$\frac{zx-zy+xy-xz+yz-xy}{xyz}=0$

b)$\frac{x}{(x-y)^{2}}+\frac{y}{y^{2}-x^{2}}$

$=\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}}$

$=\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^{2}(x+y)}$

$=\frac{x^{2}+xy-xy+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}$

Bài 6.25 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10km/h và vận tốc của dòng nước là x (km/h)

a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy

b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2km/h

Hướng dẫn giải

a) Thời gian xuôi dòng là: $t1=\frac{15}{10+x}$

Thời gian ngược dòng là $t2=\frac{15}{10-x}$

b) Tổng thời gian tàu chạy là: $t1+t2=\frac{15}{10+x}+\frac{15}{10-x}$

Thay x=2 (km/h), ta có: $t1+t2=\frac{5}{4}+\frac{15}{8}=\frac{25}{8}$ (giờ)