Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán lớp 9 tập 1
Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán lớp 9 tập 1
Giải Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán lớp 9 tập 1 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải Toán 9 trang 52
Hoạt động 1 trang 52 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Bốn ô cửa hình vuông diện tích \(\frac{1}{2}{m^2}\) ghép thành cửa sổ Hình 1.
a) Hai bạn An và Mai tính độ dài cạnh a (m) của mỗi ô cửa.
Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích?
b) Biết rằng \(\sqrt 2 \approx 1,4142\). Không dùng máy tính cầm tay, hai bạn tìm giá trị gần đúng của độ dài mỗi ô cửa.
Theo em, bạn nào sẽ tìm ra đáp án nhanh hơn?
Lời giải
a) Diện tích một hình vuông: S = \(\frac{1}{2}\) (m2)
Mà S = a2 suy ra a = \(\sqrt S = \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (m)
Vậy kết quả của 2 bạn đều đúng.
b) Theo em, bạn An sẽ tìm đáp án nhanh hơn.
Vì bạn An chỉ cần tính \(\sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Giải Toán 9 trang 54
Thực hành 1 trang 54 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a) \(\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}\)
b) \(- \frac{{10}}{{3\sqrt 5 }}\)
c) \(\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {40} }}\)
d) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}\)
Lời giải
a) \(\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 7 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{3}\)
b) \(- \frac{{10}}{{3\sqrt 5 }} = – \frac{{10.\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = – \frac{{10\sqrt 5 }}{{15}}\)
c) \(\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {40} }} = \frac{{2\sqrt 2 .\sqrt {40} }}{{\sqrt {40} .\sqrt {40} }} = \frac{{8\sqrt 5 }}{{40}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
d) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 – \sqrt 2 }}\)\(= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right).\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}\)\(= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\)\(= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{5 – 2}}\)\(= \frac{{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{3}\)
Thực hành 2 trang 54 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Khử mẫu của các biểu thức lấy căn:
a) \(\sqrt {\frac{{11}}{6}}\)
b) \(a\sqrt {\frac{2}{{5a}}}\) với a > 0
c) \(4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}}\) với x > 0; y > 0
Lời giải
a) \(\sqrt {\frac{{11}}{6}} = \sqrt {\frac{{11.6}}{{6.6}}} = \frac{{\sqrt {66} }}{{\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{6}\)
b) \(a\sqrt {\frac{2}{{5a}}} = a.\sqrt {\frac{{2.5a}}{{5a.5a}}} = a\frac{{\sqrt {10a} }}{{\sqrt {{{(5a)}^2}} }} = a\frac{{\sqrt {10a} }}{{5\left| a \right|}}\) với a > 0
c) \(4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}} = 4x\sqrt {\frac{{3.4xy}}{{4xy.4xy}}} = 4x\frac{{\sqrt {12xy} }}{{\sqrt {{{\left( {4xy} \right)}^2}} }} = \frac{{8x\sqrt {3xy} }}{{\left| {4xy} \right|}}\) với x > 0; y > 0
Vận dụng 1 trang 54 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở Hình 2 có diện tích bằng nhau. Tính chiều cao h của hình thang.
Lời giải
Ta có diện tích hình chữ nhật là: \(\sqrt {12} .\sqrt {18} = \sqrt {12.18} = \sqrt {216} = 6\sqrt 6\)
Ta có diện tích hình thang bằng diện tích hình chữ nhật là: \(6\sqrt 6\)
Mà diện tích hình thang là: \(\frac{1}{2}(\sqrt {12} + \sqrt {24} ).h\) = \(6\sqrt 6\)
Suy ra h = \(\frac{{2.6\sqrt 6 }}{{(\sqrt {12} + \sqrt {24} )}} = 12 – 6\sqrt 2\)
Hoạt động 2 trang 54 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Hình vuông ABCD được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như Hình 3.
a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF.
b) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông ABCD theo hai cách khác nhau.
Lời giải
a)Xét tam giác vuông AMI có AI = \(\sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2\)cm
Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng \(2\sqrt 2\) cm
Xét tam giác vuông IFC có IC = \(\sqrt {{3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 2\)cm
Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng \(3\sqrt 2\) cm.
b) Cách 1:
Ta có: độ dài đường chéo ABCD = độ dài đường chéo AMNI + độ dài đường chéo IFCE = \(2\sqrt 2\) + \(3\sqrt 2\) = \(5\sqrt 2\) cm.
Cách 2:
Độ dài cạnh AB là : 2 + 3 = 5 cm
Độ dài cạnh BC là : 2 + 3 = 5 cm
Xét tam giác vuông ABC có: AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2\) cm.
Vậy độ dài đường chéo của hình vuông ABCD là \(5\sqrt 2\) cm.
Giải Toán 9 trang 55
Thực hành 3 trang 55 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\sqrt {20} – \sqrt 5\)
b) \(\sqrt {32} – \sqrt {18} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}\)
c) \(\left( {2 – \sqrt {10} } \right)\left( {2 – \sqrt 5 } \right)\)
Lời giải
a) \(\sqrt {20} – \sqrt 5 = \sqrt {{2^2}.5} – \sqrt 5 = 2\sqrt 5 – \sqrt 5 = \sqrt 5\)
b)\(\sqrt {32} – \sqrt {18} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}\)\(= \sqrt {16.2} – \sqrt {9.2} + \frac{4}{{\sqrt 2 }}\)\(= 4\sqrt 2 – 3\sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 2 }}\)\(= \sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 2 }}\)\(= \sqrt 2 .\sqrt 2 + 4\)\(= 2 + 4 = 6\)
c) \(\left( {2 – \sqrt {10} } \right)\left( {2 – \sqrt 5 } \right)\)\(= 4 – 2\sqrt 5 – 2\sqrt {10} + \sqrt {10} .\sqrt 5\)\(= 4 – 2\sqrt 5 + \left( {\sqrt 5 – 2} \right)\sqrt {10}\)
Giải Toán 9 trang 56
Thực hành 4 trang 56 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}} + 4x\sqrt {\frac{x}{4}} – {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}}\) với x > 0
b) \(\frac{{{a^2} – 5}}{{a + \sqrt {15} }}\) với a \(\ne – \sqrt 5\)
Lời giải
a) \(\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}} + 4x\sqrt {\frac{x}{4}} – {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{2}{3}.3\sqrt {{x^2}.x} + 4x.\frac{1}{2}\sqrt x – \sqrt {{x^4}\frac{1}{x}} \\ = 2x\sqrt x + 2x\sqrt x – \sqrt {{x^3}} \\ = 4x\sqrt x – x\sqrt x \\ = 3x\sqrt x \end{array}\)
b) \(\frac{{{a^2} – 5}}{{a + \sqrt 5 }}\) với a \(\ne – \sqrt 5\)
\(\frac{{{a^2} – 5}}{{a + \sqrt 5 }} = \frac{{\left( {a + \sqrt 5 } \right)\left( {a – \sqrt 5 } \right)}}{{a + \sqrt 5 }} = a – \sqrt 5\)
Vận dụng 2 trang 56 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Trả lời câu hỏi trong hoạt động khởi động trang 52.
Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp với hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình bên. Khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé không? Kiểm tra bằng cách nào?
Lời giải
Cạnh thửa ruộng bé hình vuông là: \(\sqrt {1800} = 30\sqrt 2\)m.
Chu vi thửa ruộng bé là: \(30\sqrt 2 .4 = 120\sqrt 2\)m
Cạnh thửa ruộng lớn hình vuông là: \(\sqrt {3200} = 40\sqrt 2\) m
Cạnh của tam giác vuông là: \(\sqrt {{{(30\sqrt 2 )}^2} + {{(40\sqrt 2 )}^2}} = 50\sqrt 2\) m
Chu vi tam giác vuông là: \(30\sqrt 2 + 40\sqrt 2 + 50\sqrt 2 = 120\sqrt 2\) m.
Vậy khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé.
Bài 1 Trang 56 Toán 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
| a) \(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\) | b) \(\frac{10}{3\sqrt{5}}\) | c) \(-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}}\) với a > 0 |
Lời giải:
a) \(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}\)
b) \(\frac{10}{3\sqrt{5}}=\frac{10.\sqrt{5}}{3\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\)
c) \(-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}}\) với a > 0
\(=-\frac{3\sqrt{a}.\sqrt{12a}}{\sqrt{12a}.\sqrt{12a}}=-\frac{3\sqrt{\left(2a\right)^2.3}}{\sqrt{\left(12a\right)^2}}\)
\(=-\frac{3.\left|2a\right|\sqrt{3}}{\left|12a\right|}=-\frac{3.2a\sqrt{3}}{12a}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Bài 2 Trang 56 Toán 9 tập 1
Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
| a) \(\sqrt{\frac{4}{7}}\) c) \(\sqrt{\frac{2}{3a^3}}\) với a > 0 | b) \(\sqrt{\frac{5}{24}}\) d) \(2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}\) với a < 0, b > 0 |
Lời giải:
a) \(\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4.7}{7.7}}=\frac{\sqrt{2^2.7}}{\sqrt{7^2}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)
b) \(\sqrt{\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5.24}{24^2}}=\frac{\sqrt{5.2^2.6}}{\sqrt{24^2}}=\frac{2\sqrt{30}}{24}=\frac{\sqrt{30}}{12}\)
c) \(\sqrt{\frac{2}{3a^3}}\) với a > 0
\(=\sqrt{\frac{2.3a^3}{\left(3a^3\right)^2}}=\frac{\sqrt{a^2.6a}}{\sqrt{\left(3a^3\right)^2}}=\frac{\left|a\right|\sqrt{6a}}{\left|3a^3\right|}=\frac{\sqrt{6a}}{3a^2}\) (vì a > 0)
d) \(2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}\) với a < 0, b > 0
\(=2ab\sqrt{\frac{a^2.2b}{2b.2b}}=2ab\frac{\sqrt{a^2.2b}}{\sqrt{\left(2b\right)^2}}=2ab\frac{\left|a\right|\sqrt{2b}}{\left|2b\right|}\)
\(=2ab\frac{\left|a\right|\sqrt{2b}}{\left|2b\right|}=2ab\frac{(-a)\sqrt{2b}}{2b}= -a^2\sqrt{2b}\)
Bài 3 Trang 56 Toán 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a) \(\frac{4}{\sqrt{13}-3}\)
b) \(\frac{10}{5+2\sqrt{5}}\)
c) \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) với a > 0, b > 0, a ≠ b
Lời giải:
a) \(\frac{4}{\sqrt{13}-3}=\frac{4\left(\sqrt{13}+3\right)}{\left(\sqrt{13}-3\right)\left(\sqrt{13}+3\right)}\)
\(=\frac{4\left(\sqrt{13}+3\right)}{13-9}=\sqrt{13}+3\)
b) \(\frac{10}{5+2\sqrt{5}}=\frac{10\left(5-2\sqrt{5}\right)}{\left(5+2\sqrt{5}\right)\left(5-2\sqrt{5}\right)}\)
\(=\frac{10\left(5-2\sqrt{5}\right)}{25-20}\)
\(=2\left(5-2\sqrt{5}\right)=10-4\sqrt{5}\)
c) \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) với a > 0, b > 0, a ≠ b
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{a-b}\)
Bài 4 Trang 56 Toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(2\sqrt{3}-\sqrt{27}\)
b) \(\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}\)
c) \(\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}\) với a > 0
Lời giải:
a) \(2\sqrt{3}-\sqrt{27} =2\sqrt{3}-\sqrt{3^2.3}\)
\(=2\sqrt{3}-3\sqrt{ 3} = – \sqrt{ 3}\)
b) \(\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}\) \(=\sqrt{3^2.5}-\sqrt{2^2.5}+\sqrt{5}\)
\(=3\sqrt{ 5}-2\sqrt{ 5}+\sqrt{5}\)
\(=2\sqrt{5}\)
c) \(\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}\) với a > 0
\(=\sqrt{8^2.a}-\sqrt{3^2.2}- \sqrt{a^2.\frac{3^2}{a}}+\sqrt{5^2.2}\)
\(=8\sqrt{ a}-3\sqrt{ 2}-3\sqrt{a}+5\sqrt{ 2}\)
\(=5\sqrt{ a}+2\sqrt{ 2}\)
Bài 5 Trang 56 Toán 9 tập 1
Tính
a) \(\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} + \sqrt 3 } \right)\sqrt 6\)
b) \(\sqrt {18} :\sqrt 6 + \sqrt 8 .\sqrt {\frac{{27}}{2}}\)
c) \({\left( {1 – 2\sqrt 5 } \right)^2}\)
Lời giải
a) \(\left( {\sqrt {\frac{4}{3}} + \sqrt 3 } \right)\sqrt 6 = \sqrt {\frac{4}{3}} .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6\) \(= \sqrt {\frac{{24}}{3}} + \sqrt {18}\)\(=\sqrt 8 + \sqrt {18}\)\(= \sqrt {2.4} + \sqrt {2.9}\)\(= 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2\)\(= 5\sqrt 2\)
b) \(\sqrt {18} :\sqrt 6 + \sqrt 8 .\sqrt {\frac{{27}}{2}}\)\(= \sqrt {\frac{{18}}{6}} + \sqrt {8.\frac{{27}}{2}}\)\(= \sqrt 3 + \sqrt {108}\)\(= \sqrt 3 + \sqrt {36.3}\)\(= \sqrt 3 + 6\sqrt 3\)\(= 7\sqrt 3\)
c) \({\left( {1 – 2\sqrt 5 } \right)^2} = 1 – 4\sqrt 5 + 20 = 21 – 4\sqrt 5\)
Bài 6 Trang 56 Toán 9 tập 1
Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{a\sqrt b – b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a – b\) với a > 0; b > 0
b) \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{a – \sqrt a }}{{\sqrt a – 1}}} \right) = 1 – a\) với a \(\ge\) 0 và a \(\ne\)1
Lời giải
a) \(\frac{{a\sqrt b – b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a – b\) với a > 0; b > 0
Xét vế trái, ta có:
\(\begin{array}{l}VT = \frac{{a\sqrt b – b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\\ = \frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = \left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ = a – b = VP\end{array}\)
Vậy \(\frac{{a\sqrt b – b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = a – b\)
b) \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{a – \sqrt a }}{{\sqrt a – 1}}} \right) = 1 – a\) với a \(\ge\) 0 và a \(\ne\)1
Xét vế trái ta có:
\(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{a – \sqrt a }}{{\sqrt a – 1}}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}{{\sqrt a – 1}}} \right)\)
\(= \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 – \sqrt a } \right) = 1 – {\left( {\sqrt a } \right)^2} = 1 – a\) = VP.
Vậy \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 – \frac{{a – \sqrt a }}{{\sqrt a – 1}}} \right) = 1 – a\)
Bài 7 Trang 56 Toán 9 tập 1
Tam giác ABC được vẽ trên lưới ô vuông như Hình 4. Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC.
Lời giải:
Ta có:
\(AB = \sqrt{1+2^2} = \sqrt 5cm;\)
\(BC = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt 5cm;\)
\(AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5cm\)
Chu vi tam giác ABC là: \(\sqrt 5 + 2\sqrt 5 + 5 = 5 + 3 \sqrt5 cm\)
Diện tích tam giác ABC là: \(\frac{1}{2}AB.BC= \frac{1}{2}.\sqrt 5.2\sqrt 5\) = 5cm2
Bài 8 Trang 56 Toán 9 tập 1
Một vườn hoa gồm ba thửa hình vuông X, Y, Z lần lượt có diện tích như Hình 5. Tính chu vi của vườn hoa đó.
Lời giải:
Độ dài cạnh hình vuông X là: \(x = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 m\)
Độ dài cạnh hình vuông Y là: \(y = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 m\)
Ta có cạnh hình vuông Z là: \(z = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 m\)
Quan sát hình vẽ ta thấy: AK = BC + DE + FG hay x = BC + DE + FG
Chu vi của vườn hoa là:
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IK + KA
= (AB + IK + AK) + (BC + DE + FG) + (CD + HI) + (EF + GH)
= 3x + x + 2y + 2z
= 4x + 2y + 2z
= \(4.4\sqrt 2 + 2.3\sqrt 2 + 2.2\sqrt 2 = 26\sqrt 2 (m)\)
Vậy chu vi của vườn hoa đó là: \(26\sqrt 2 m\).