Toán 7 tập 2 trang 118 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Toán 7 tập 2 trang 118 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Giải toán 7 tập 2 trang 118 bài 13 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 7 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 7 tập 2 trang 116
Hoạt động 1 trang 116 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC (Hình 133).
Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC.
Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ sau:
Toán 7 tập 2 trang 117
Luyện tập 1 trang 117 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy đọc tên đường cao đi qua B, đường cao đi qua C.
Hướng dẫn giải:
Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.
Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.
Hoạt động 2 trang 117 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Quan sát ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC (Hình 137), cho biết ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Hướng dẫn giải:
Ta thấy ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H.
Toán 7 tập 2 trang 118
Luyện tập 3 trang 118 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.
Hướng dẫn giải:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB, BH ⊥ AC hay CN ⊥ AB, BM ⊥ AC.
Lại có H là trọng tâm của tam giác ABC nên BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Khi đó BM vuông góc với AC tại trung điểm M của AC nên BM là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó BA = BC (1).
Do CN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB nên CN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó CA = CB (2).
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
Bài 1 trang 118 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:
a) AH và BC;
b) BH và CA;
c) CH và AB.
Hướng dẫn giải:
a) H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.
b) H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ CA.
c) H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB.
Bài 2 trang 118 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có hình vẽ sau:
Ta thấy H nằm trong tam giác ABC.
b) Ta có hình vẽ sau:
Ta thấy trong tam giác ABC: AB ⊥ AC, AC ⊥ AB.
Do đó AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó A trùng H.
c) Ta có hình vẽ sau:
Ta thấy H nằm ngoài tam giác ABC.
Bài 3 trang 118 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC có DA ⊥ BC, DB ⊥ CA.
Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó DC ⊥ AB.
Bài 5 trang 118 Toán 7 tập 2 Cánh diều
Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.
Hướng dẫn giải:
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB và AH ⊥ BC.
Do K là trực tâm của tam giác ADC nên AK ⊥ CD và CK ⊥ AD.
Do AB // CD nên AK ⊥ AB.
Mà CH ⊥ AB nên AK // CH.
Do AD // BC nên AH ⊥ AD.
Mà CK ⊥ AD nên AH // CK.
Bài 6
a)Ta có:
G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);
H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);
I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;
O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).
Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.
Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.
b)
Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến BC, CA, AB.
Khi đó HN ⊥ AC.
Mà H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.
HN ⊥ AC, BH ⊥ AC nên B, H, N thẳng hàng.
Xét ∆APH vuông tại P và ∆CMH vuông tại M có:
HP = HM (theo giả thiết).
$\hat{AHP}$ =$\hat{CHM}$ (2 góc đối đỉnh).
Do đó ∆APH = ∆CMH (góc nhọn – cạnh góc vuông).
Suy ra HA = HC (2 cạnh tương ứng).
Xét ∆HNA vuông tại N và ∆HNC vuông tại N có:
HN chung.
HA = HC (chứng minh trên).
Do đó ∆HNA = ∆HNC (2 cạnh góc vuông).
Suy ra AN = CN (2 cạnh tương ứng).
Khi đó N là trung điểm của AC.
HN ⊥ AC tại trung điểm N của AC nên HN là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Mà B, H, N thẳng hàng nên B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Do đó BA = BC.
Thực hiện tương tự, ta chứng minh được CA = CB.
Do đó AB = BC = CA.
Vậy tam giác ABC đều.