Giải Toán 7 tập 2 trang 63 Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

Giải toán 7 tập 2 trang 63 bài 4 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 7 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 7 tập 2 trang 60

Hoạt động 1 trang 60 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Thực hiện phép tính:

a) x² . x⁴;

b) 3x² . x³;

c) ax^m . bxⁿ (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ ℕ).

Hướng dẫn giải:

a) x² . x⁴ = x^{2 + 4} = x⁶.

b) 3x² . x³ = 3x^{2 + 3} = 3x⁵.

c) ax^m . bxⁿ = a . b . x^m . xⁿ = abx^{m + n} (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ ℕ).

Luyện tập 1 trang 60 Toán 7 tập 2 Cánh diều Tính:

a) 3x⁵ . 5x⁸;

b) -2x^{m + 2} . 4x^{n – 2} (m, n ∈ ℕ; n > 2).

Hướng dẫn giải:

a) 3x⁵ . 5x⁸ = 3 . 5 . x⁵ . x⁸ = 15 . x^{5 + 8} = 15x¹³.

b) -2x^{m + 2} . 4x^{n – 2} = -2 . 4 . x^{m + 2} . x^{n – 2} = -8 . x^{m + 2 + n – 2} = -8x^{m + n} (m, n ∈ ℕ; n > 2).

Hoạt động 2 trang 60 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở Hình 3.

a) Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II);

b) Tính diện tích của hình chữ nhật MNPQ;

c) So sánh: a(b + c) và ab + ac.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích hình chữ nhật (I) là ab.

Diện tích hình chữ nhật (II) là ac.

b) Diện tích hình chữ nhật MNPQ là a(b + c).

c) Ta thấy diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật (I) và (II) nên a(b + c) = ab+ac.

Luyện tập 1 trang 60 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tính:

a) 3x⁵ . 5x⁸;

b) -2x^{m + 2} . 4x^{n – 2} (m, n ∈ ℕ; n > 2).

Hướng dẫn giải:

a) 3x⁵ . 5x⁸ = 3 . 5 . x⁵ . x⁸ = 15 . x^{5 + 8} = 15x¹³.

b) -2x^{m + 2} . 4x^{n – 2} = -2 . 4 . x^{m + 2} . x^{n – 2} = -8 . x^{m + 2 + n – 2} = -8x^{m + n} (m, n ∈ ℕ; n > 2).

Toán 7 tập 2 trang 61

Hoạt động 3 trang 61 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho đơn thức P(x) = 2x và đa thức Q(x) = 3x² + 4x + 1.

a) Hãy nhân đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x).

b) Hãy cộng các tích vừa tìm được:

Hướng dẫn giải:

a) Các đơn thức của đa thức Q(x) là 3x²; 4x; 1.

Ta có:

2x . 3x² = 2 . 3 . x . x² = 6 . x^{1 + 2} = 6x³.

2x . 4x = 2 . 4 . x . x = 8 . x^{1 + 1} = 8x².

2x . 1 = 2x.

b) Khi đó 2x . 3x² + 2x . 4x + 2x . 1 = 6x³ + 8x² + 2x.

Hoạt động 4 trang 61 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở Hình 4.

a) Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II), (III), (IV).

b) Tính diện tích của hình chữ nhật MNPQ.

c) So sánh: (a + b)(c + d) và ac + ad + bc + bd.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích hình chữ nhật (I) là ac.

Diện tích hình chữ nhật (II) là ad.

Diện tích hình chữ nhật (III) là bc.

Diện tích hình chữ nhật (IV) là bd.

b) Diện tích hình chữ nhật MNPQ là (a + b)(c + d).

c) Diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng tổng diện của bốn hình chữ nhật (I), (II), (III), (IV) nên (a + b)(c +d) = ac + ad + bc + bd.

Toán 7 tập 2 trang 62

Hoạt động 5 trang 62 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Cho đa thức P(x) = 2x + 3 và đa thức Q(x) = x + 1.

a) Hãy nhân mỗi đơn thức của đa thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x).

b) Hãy cộng các tích vừa tìm được.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

2x . x = 2x²;

2x . 1 = 2x;

3 . x = 3x;

3 . 1 = 3.

b) 2x . x + 2x . 1 + 3 . x + 3 . 1 = 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x² + 5x + 3.

Giải Toán 7 tập 2 trang 63

Giải Bài 1 trang 63 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tính:

$a) \dfrac{1}{2}{x^2}.\dfrac{6}{5}{x^3};$

$b) {y^2}(\dfrac{5}{7}{y^3} – 2{y^2} + 0,25);$

$c) (2{x^2} + x + 4)({x^2} – x – 1);$

$d) (3x – 4)(2x + 1) – (x – 2)(6x + 3).$

Hướng dẫn giải:

$a) \dfrac{1}{2}{x^2}.\dfrac{6}{5}{x^3} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{6}{5}.{x^2}.{x^3} = \dfrac{3}{5}{x^5};$

$b) \begin{array}{l}{y^2}(\dfrac{5}{7}{y^3} – 2{y^2} + 0,25) = {y^2}.\dfrac{5}{7}{y^3} – {y^2}.2{y^2} + {y^2}.0,25)\\ = \dfrac{5}{7}{y^5} – 2{y^4} + 0,25{y^2}\end{array};$

c.

$\begin{array}{l}(2{x^2} + x + 4)({x^2} – x – 1) = 2{x^2}({x^2} – x – 1) + x({x^2} – x – 1) + 4({x^2} – x – 1)\\ = 2{x^4} – 2{x^3} – 2{x^2} + {x^3} – {x^2} – x + 4{x^2} – 4x – 4 = 2{x^4} – {x^3} + {x^2} – 5x – 4\end{array};$

d)

$\begin{array}{l}(3x – 4)(2x + 1) – (x – 2)(6x + 3) = 3x(2x + 1) – 4(2x + 1) – x(6x + 3) + 2(6x + 3)\\ = 6{x^2} + 3x – 8x – 4 – 6{x^2} – 3x + 12x + 6\\ = 4x + 2\end{array}.$

Giải Bài 2 trang 63 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức:

$a) P(x) = ( – 2{x^2} – 3x + x – 1)(3{x^2} – x – 2);$

$b) Q(x) = ({x^5} – 5)( – 2{x^6} – {x^3} + 3).$

Hướng dẫn giải:

a)

$P(x) = ( – 2{x^2} – 3x + x – 1)(3{x^2} – x – 2)$

$= – 2{x^2}(3{x^2} – x – 2) – 3x(3{x^2} – x – 2) + x(3{x^2} – x – 2) – 1.(3{x^2} – x – 2)$

$= – 6{x^4} + 2{x^3} + 4{x^2} – 9{x^3} + 3{x^2} + 6x + 3{x^3} – {x^2} – 2x – 3{x^2} + x + 2$

$= – 6{x^4} – 4{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2$

Bậc của đa thức là: 4.

Hệ số cao nhất của đa thức là: – 6.

Hệ số tự do của đa thức là: 2.

b)

$Q(x) = ({x^5} – 5)( – 2{x^6} – {x^3} + 3) = {x^5}( – 2{x^6} – {x^3} + 3) – 5( – 2{x^6} – {x^3} + 3)\backslash$

$= – 2{x^{11}} – {x^8} + 3{x^5} + 10{x^6} + 6{x^3} – 15\\ = – 2{x^{11}} – {x^8} + 10{x^6} + 3{x^5} + 6{x^3} – 15$

Bậc của đa thức là: 11.

Hệ số cao nhất của đa thức là: – 2.

Hệ số tự do của đa thức là: – 15.

Giải Bài 3 trang 63 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Xét đa thức$P(x) = {x^2}({x^2} + x + 1) – 3x(x – a) + \dfrac{1}{4}$ (với a là một số).

a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng$\dfrac{5}{2}.$

Hướng dẫn giải:

a)

$\begin{array}{l}P(x) = {x^2}({x^2} + x + 1) – 3x(x – a) + \dfrac{1}{4} = {x^4} + {x^3} + {x^2} – 3{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\\ = {x^4} + {x^3} – 2{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\end{array}.$

b) Các hệ số có trong đa thức P(x) là: 1; 1; – 2;$3a; \dfrac{1}{4}.$

Tổng các hệ số bằng$\dfrac{5}{2}$ hay:

$\begin{array}{l}1 + 1 – 2 + 3a + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{2}\\ \to 3a = \dfrac{9}{4}\\ \to a = \dfrac{3}{4}\end{array}$

Vậy$a = \dfrac{3}{4}.$

Giải Bài 4 trang 63 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Từ tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 20 cm và 30 cm, bạn Quân cắt đi ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh, sau đó gấp lại để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp (Hình 5). Viết đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi.

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt đi là x (cm). Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật là x (cm),

Chiều dài tấm bìa sau khi cắt hay chiều dài hình hộp chữ nhật là: 30 – 2x (cm).

Chiều rộng tấm bìa sau khi cắt hay chiều rộng hình hộp chữ nhật là: 20 – 2x(cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

$\begin{array}{l}(30 – 2x).(20 – 2x).x \\= (30 – 2x)(20x – 2{x^2})\\ = 30(20x – 2{x^2}) – 2x(20x – 2{x^2})\\ = 600x – 60{x^2} – 40{x^2} + 4{x^3}\\ = 4{x^3} – 100{x^2} + 600x (cm^3)\end{array}$

Vậy đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi là$4{x^3} – 100{x^2} + 600x.$

Giải Bài 5 trang 63 Toán 7 tập 2 Cánh diều

Ảo thuật với đa thức

Bạn Hạnh bảo với bạn Ngọc:

“– Nếu bạn lấy tuổi của một người bất kì cộng thêm 5;

– Được bao nhiêu đem nhân với 2;

– Lấy kết quả đó cộng với 10;

– Nhân kết quả vừa tìm được với 5;

– Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100. Mình sẽ đoán được tuổi của người đó.”

Em hãy sử dụng kiến thức nhân đa thức để giải thích vì sao bạn Hạnh lại đoán được tuổi người đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi số tuổi của một người là x (tuổi)

– Nếu bạn lấy tuổi của một người bất kì cộng thêm 5: x + 5

– Được bao nhiêu đem nhân với 2: (x + 5).2 = 2x + 10

– Lấy kết quả đó cộng với 10: 2x + 10 + 10 = 2x + 20

– Nhân kết quả vừa tìm được với 5: (2x + 20).5 = 10x + 100

– Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100: 10x + 100 – 100 = 10x.

Vậy kết quả cuối cùng mà bạn Ngọc đọc sẽ là 10x tức là 10 lần số tuổi của người đó. Vậy nên khi có kết quả mà bạn Ngọc đọc lên, bạn Hạnh chỉ cần lấy số đó chia cho 10 là ra tuổi của người mà bạn Hạnh chọn.