Toán 10 tập 1 trang 58 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Giải toán 10 tập 1 trang 58 Cánh diều bài 5 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 1 trang 58

Bài 1 trang 58 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Giải các phương trình sau:

a)$\sqrt {2{x^2} – 3x – 1} = \sqrt {2x – 3}$

b)$\sqrt {4{x^2} – 6x – 6} = \sqrt {{x^2} – 6}$

c)$\sqrt {x + 9} = 2x – 3$

d)$ \sqrt { – {x^2} + 4x – 2} = 2 – x$

Lời giải

a) Bình phương hai vế ta được

$2{x^2} – 3x – 1 = 2x – 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x +2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình 2x – $3 \ge 0$ thì chỉ x=2 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{2 \right\}$

b) Bình phương hai vế ta được

$\begin{array}{l}4{x^2} – 6x – 6 = {x^2} – 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình ${x^2} – 6 \ge 0$ thì thấy chỉ có nghiệm x = 2 thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ 2 \right\}$

c)$\sqrt {x + 9} = 2x – 3$(*)

Ta có: $2x – 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x – 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}$

d)$\sqrt { – {x^2} + 4x – 2} = 2 – x$(**)

Ta có: 2 – $x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2$

Bình phương hai vế của (**) ta được:

$\begin{array}{l} – {x^2} + 4x – 2 = {\left( {2 – x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow – {x^2} + 4x – 2 = {x^2} – 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ 1 \right\}$

Toán 10 tập 1 trang 59

Bài 2 trang 59 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Giải các phương trình sau:

a)$\sqrt {2 – x} + 2x = 3$

b)$\sqrt { – {x^2} + 7x – 6} + x = 4$

Lời giải

a)$\sqrt {2 – x} + 2x = 3 \Leftrightarrow \sqrt {2 – x} = 3 – 2x$ (1)

Ta có: $3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (1) ta được:

$\begin{array}{l}2 – x = {\left( {3 – 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2 – x = 9 – 12x + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} – 11x + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = \frac{7}{4}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ 1 \right\}$

b) $\sqrt { – {x^2} + 7x – 6} + x = 4 \Leftrightarrow \sqrt { – {x^2} + 7x – 6} = 4 – x (2)$

Ta có: 44 – $x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4$

Bình phương hai vế của (2) ta được:

$\begin{array}{l} – {x^2} + 7x – 6 = {\left( {4 – x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow – {x^2} + 7x – 6 = 16 – 8x + {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 15x + 22 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = \frac{{11}}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{ 2 \right\}$

Bài 3 trang 59 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60⁰ (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Gọi chiều cao bức tường DG là x (m) (x>0)

Chiều dài chiếc thang là x+1 (m)

Khoảng cách từ chân thang sau khi bác Nam điều chỉnh là: EG = $\frac{{DG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}$ (m)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

BC = $\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} – {x^2}}$ (m)

Bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m nên ta có:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} – {x^2}} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5\left( * \right)\end{array}$

Ta có $\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt 3 }} \ge – \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x \ge – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ (Luôn đúng do x>0)

Ta bình phương hai vế (*) ta được:

$\begin{array}{l}2x + 1 = {\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{x}{{\sqrt 3 }} + 0,25\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{3} + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} – 2} \right)x – \frac{3}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4,7\left( {tm} \right)\\x \approx – 0,5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy chiều cao của bức tường là 4,7 m.

Bài 4 trang 59 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.

Lời giải

Đổi 300 m =0,3 km, 800 m = 0,8 km

7,2 phút =0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0,8>x>0)

Khi đó, DB=0,8-x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có:

AD = $\sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}}$ (km)

Thời gian đi từ A đến D là: $\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} }}{6}\left( h \right)$

Thời gian đi từ D đến B là: $\frac{{0,8 – x}}{{10}}\left( h \right)$

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} }}{6} + \frac{{0,8 – x}}{{10}} = 0,12\\ \Leftrightarrow \sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} .5 + 3.\left( {0,8 – x} \right) = 0,12.30\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} – 3x – 1,2 = 0\\ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} = 3x + 1,2\\ \Leftrightarrow 25.\left[ {0,{3^2} + {{\left( {0,8 – x} \right)}^2}} \right] = {\left( {3x + 1,2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25.\left( {{x^2} – 1,6x + 0,73} \right) = 9{x^2} + 7,2x + 1,44\\ \Leftrightarrow 16{x^2} – 47,2x + 16,81 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{59 + 30\sqrt 2 }}{{40}} > 0,8\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{59 – 30\sqrt 2 }}{{40}} \approx 0,414\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Ta bình phương được do x > 0 $\Rightarrow 3x + 1,2$ > 0

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 414m.

Bài 5 trang 59 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.

Gọi BM=x km (0<x<7)

=> MC=7-x (km)

Ta có: AM = $\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {16 + {x^2}} \left( {km} \right)$

Thời gian từ A đến M là: $\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\left( h \right)$

Thời gian từ M đến C là: $\frac{{7 – x}}{5}\left( h \right)$

Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 – x}}{5} = \frac{{148}}{{60}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 – x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {16 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{3.\left( {7 – x} \right)}}{{15}} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3.\left( {7 – x} \right) = 37\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x\\ \Leftrightarrow 25.\left( {16 + {x^2}} \right) = 9{x^2} + 96x + 256\\ \Leftrightarrow 16{x^2} – 96x + 144 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến M là 3 km.