Toán 10 tập 1 trang 71 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Giải toán 10 tập 1 trang 71 Cánh diều bài 1 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 1 trang 71

Bài 1 trang 71 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC có $AB = 3,5;\;AC = 7,5;\;\widehat A = {135^o}$

. Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} – 2AC.AB.\cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = 7,{5^2} + 3,{5^2} – 2.7,5.3,5.\cos {135^o}\\ \Leftrightarrow B{C^2} \approx 105,6\\ \Leftrightarrow BC \approx 10,3\end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{{10,3}}{{2.\sin {{135}^o}}} \approx 7,3$

Bài 2 trang 71 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC có \widehat $B = {75^o},\widehat C = {45^o}$ và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Lời giải

Ta có: $\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o} \Rightarrow \widehat A = {180^o} – \left( {{{75}^o} + {{45}^o}} \right) = {60^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}$

$\Rightarrow AB = \sin C.\frac{{BC}}{{\sin A}} = \sin {45^o}.\frac{{50}}{{\sin {{60}^o}}} \approx 40,8$

Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.

Bài 3 trang 71 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC có AB = 6,AC = 7,BC = 8 . Tính $\cos A,\sin A$ và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} – 2.AC.AB.\cos A$

$\Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} – {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}$

Lại có: ${\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 – {{\cos }^2}A} (do {0^o} < A \le {90^o})$

$\Rightarrow \sin A = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$

Vậy $\cos A = \frac{1}{4};\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4};R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$

Bài 4 trang 71 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a)$A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$

b)$B = \sin {5^o} + \sin {150^o} – \sin {175^o} + \sin {180^o}$

c)$C = \cos {15^o} + \cos {35^o} – \sin {75^o} – \sin {55^o}$

d)$\ D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$

e)$\ E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$

Lời giải

a)$A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos {0^o} = 1;\;\cos {120^o} = – \frac{1}{2}$

Lại có: $\cos {140^o} = – \cos \left( {{{180}^o} – {{40}^o}} \right) = – \cos {40^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 1 + \cos {40^o} + \left( { – \frac{1}{2}} \right) – \cos {40^o}\\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2}.\end{array}$

b)$\ B = \sin {5^o} + \sin {150^o} – \sin {175^o} + \sin {180^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {150^o} = \frac{1}{2};\;\sin {180^o} = 0$

Lại có: $\sin {175^o} = \sin \left( {{{180}^o} – {{175}^o}} \right) = \sin {5^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \sin {5^o} + \frac{1}{2} – \sin {5^o} + 0\\ \Leftrightarrow B = \frac{1}{2}.\end{array}$

c)$\ C = \cos {15^o} + \cos {35^o} – \sin {75^o} – \sin {55^o}$

Ta có: $\sin {75^o} = \cos\left( {{{90}^o} – {{75}^o}} \right) = \cos {15^o}; \sin {55^o} = \cos\left( {{{90}^o} – {{55}^o}} \right) = \cos {35^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C = \cos {15^o} + \cos {35^o} – \cos {15^o} – \cos {35^o}\\ \Leftrightarrow C = 0.\end{array}$

d)\ D = $\tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$

Ta có: $\tan {115^o} = – \tan \left( {{{180}^o} – {{115}^o}} \right) = – \tan {65^o}$

Mà: $\tan {65^o} = \cot \left( {{{90}^o} – {{65}^o}} \right) = \cot {25^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\cot {25^o}\\ \Leftrightarrow D = \tan {45^o} = 1\end{array}$

e)\ E = $\cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$

Ta có: $\cot {100^o} = – \cot \left( {{{180}^o} – {{100}^o}} \right) = – \cot {80^o}$

Mà: $\cot {80^o} = \tan \left( {{{90}^o} – {{80}^o}} \right) = \tan {10^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\tan {10^o}\\ \Leftrightarrow E = \cot {30^o} = \sqrt 3 .\end{array}$

Bài 5 trang 71 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a)$\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}$

b)$\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \frac{A}{2}$

Lời giải

Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = {90^o}$

Do đó $\frac{{\widehat A}}{2}$ và $\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}$ là hai góc phụ nhau.

a) Ta có: $\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^o} – \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}$

b) Ta có: $\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \left( {{{90}^o} – \frac{{B + C}}{2}} \right) = \cot \frac{A}{2}$

Bài 6 trang 71

Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, $\widehat {BAC} = 59,{95^o};\;\widehat {BCA} = 82,{15^o}$ . Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 59,{95^o};\;\widehat {BCA} = 82,{15^o}.$

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} – \left( {59,95 + 82,{{15}^o}} \right) = 37,{9^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC ta có: $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$

$\Rightarrow AB = \sin C.\frac{{AC}}{{\sin B}} = \sin 82,{15^o}.\frac{{25}}{{\sin {37,9^o}}} \approx 40,32$

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là 40,32 m.

Bài 7 trang 71

Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc  75o . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ.

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là: AB = 8.2,5 = 20 (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là: AC = 12.2,5 = 30 (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} – 2.AC.AB.\cos A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {30^2} + {20^2} – 2.30.20.\cos {75^o}\\ \Rightarrow B{C^2} \approx 989,4\\ \Rightarrow BC \approx 31,5\end{array}$

Vậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí.

Bài 8 trang 71

Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α=35⁰ ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β=75⁰ ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều.

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất.

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH.

Đặt OC = x, suy ra OH = x + 20 + 1,5 =x + 21,5.

Xét tam giác OAC, ta có: $\tan \alpha = \frac{{OC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{OC}}{{\tan \alpha }} = \frac{x}{{\tan {{35}^o}}}$

Xét tam giác OBD, ta có: $\tan \beta = \frac{{OD}}{{BD}} \Rightarrow BD = \frac{{OD}}{{\tan \beta }} = \frac{{x + 20}}{{\tan {{75}^o}}}$

Mà: $AC = BD \Rightarrow \frac{x}{{\tan {{35}^o}}} = \frac{{x + 20}}{{\tan {{75}^o}}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x.\tan {75^o} = \left( {x + 20} \right).\tan {35^o}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{20.\tan {{35}^o}}}{{\tan {{75}^o} – \tan {{35}^o}}} \approx 4,6\end{array}$

Suy ra OH = 26,1.

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.