Toán 10 tập 1 trang 92 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Giải toán 10 tập 1 trang 92 Cánh diều bài 5 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 1 trang 92

Bài 1 trang 92 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.$\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {PQ}$

B. $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NP}$

C. $\overrightarrow {MN} = – 2\overrightarrow {PQ}$

D.$ \overrightarrow {MQ} = – 2\overrightarrow {NP}$

Lời giải

Do MQ và PN không song song với nhau nên $\overrightarrow {MQ} \ne k\overrightarrow {NP}$

. Vậy loại B và D.

Ta có: $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {PQ}$ là hai vecto ngược hướng và $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$

Suy ra $\overrightarrow {MN} = – 2\overrightarrow {PQ}$

Vậy chọn C.

Bài 2 trang 92 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow {AD} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow$

Hai vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng hướng và AC = $\frac{1}{2}$AB.

Vậy C là trung điểm của AB.

b) Ta có: $\overrightarrow {AD} = – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = – \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow$

Hai vecto $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC}$ ngược hướng và AD = AC.

Vậy A là trung điểm DC.

Bài 3 trang 92 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AN}$

b) $\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BA}$

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {PN}$ là hai vecto cùng hướng và $\frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|$

$\Rightarrow$

$\frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {PN} \Rightarrow \overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN}$

b) Ta có: $\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {CA}$ là hai vecto cùng hướng và $2\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {CA} \Rightarrow \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA}$

Bài 4 trang 92 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b$ . Biểu diễn các vecto $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} theo \overrightarrow a ,\overrightarrow b$ .

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b – \overrightarrow a$

Lại có: vecto $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} cùng hướng và \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|$

$\Rightarrow \overrightarrow {BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow b – \overrightarrow a )$

Tương tự: vecto $\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BC} cùng hướng và \left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|$

$\Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}(\overrightarrow b – \overrightarrow a )$

Ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}(\overrightarrow b – \overrightarrow a ) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b$

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow a + \frac{2}{3}(\overrightarrow b – \overrightarrow a ) = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b$

Bài 5 trang 92 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và . Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG}$

b) $\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG}$

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE}$

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}$

Mà: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM}$ ; (do M là trung điểm của AB)

$\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN}$ (do N là trung điểm của )

$\Rightarrow \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} + 2(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} ) = 4\overrightarrow {EG}$ (do G là trung điểm của MN)

b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0$

Từ ý a ta suy ra $\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG}$

c) Ta có: $\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \Leftrightarrow \overrightarrow {EA} = 4.(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AG} ) \Leftrightarrow – 3\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {AG}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {AE} = 4\overrightarrow {AG} hay \overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE}$

Suy ra A, G, E thẳng hàng và AG = $\frac{3}{4}$AE nên G thuộc đoạn AE.

Bài 6 trang 92 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho ABCD là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vecto $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {CG}$ theo hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} ;\\\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BG} = – \overrightarrow b + \overrightarrow {BG} ;\end{array}$(*)

Lại có:$ \overrightarrow {BD} =\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = – \overrightarrow a + \overrightarrow b . \overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BD} cùng phương và \left| {\overrightarrow {BG} } \right| = \frac{2}{3}BO = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|$

$\Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{3}\left( { – \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$

Do đó (*)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( { – \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\\\overrightarrow {CG} = -\overrightarrow b + \overrightarrow {BG} = -\overrightarrow b + \frac{1}{3}\left( { – \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = – \frac{1}{3}\overrightarrow a – \frac{2}{3}\overrightarrow b ;\end{array} \right.$

Vậy$ \overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = – \frac{1}{3}\overrightarrow a – \frac{2}{3}\overrightarrow b$ .

Cách 2:

Gọi AE, CF là các trung tuyến trong tam giác ABC.

Ta có:

$\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)} \right] = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) =\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b$

$\overrightarrow {CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CF} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {CB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) = \frac{1}{3}\left( { – 2\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} } \right) = – \frac{1}{3}\overrightarrow a – \frac{2}{3}\overrightarrow b$

Vậy $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = – \frac{1}{3}\overrightarrow a – \frac{2}{3}\overrightarrow b$ .

Bài 7 trang 92 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn $\overrightarrow {DB} =\frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\;\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$ .

a) Biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {HE} theo hai vecto \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ .

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải

Dễ thấy: $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

Ta có:

+)$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} . Mà \overrightarrow {BD} = – \overrightarrow {DB} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \left( { – \frac{1}{3}} \right)( – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

+) $\overrightarrow {DH} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AH} = – \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AH}$ .

Mà $\overrightarrow {AD} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ;\;\;\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$ .

$\Rightarrow \overrightarrow {DH} = – \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = – \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$ .

+) $\overrightarrow {HE} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {AE} = – \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AE}$

Mà $\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {HE} = – \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$ .

b)

Theo câu a, ta có: $\overrightarrow {DH} = \overrightarrow {HE} = – \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow$

Hai vecto $\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {HE}$ cùng phương.