Toán lớp 10 tập 1 trang 42 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
Toán lớp 10 tập 1 trang 42 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác
Giải toán lớp 10 tập 1 trang 42 bài 6 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán lớp 10 tập 1 trang 42
Bài 3.5 trang 42 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cosA, S, r.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC có:
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-6^2}{2.5.8}=0,6625$
$\Rightarrow\widehat A=48,51^0$
=> sinA = 0,749
Diện tích tam giác ABC là:
$S_{ABC}=\frac12b.c.\sin A=\frac12.5.8.0,749=14,98$
Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{a+b+c}2=\frac{19}2$
Ta có: S = pr
$\Rightarrow r=\frac SP=\frac{14,98}{\displaystyle\frac{19}2}\approx1,58$
Vậy cosA = 0,6625, S = 14,98 đvdt, r = 1,58.
Bài 3.6 trang 42 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có $a=10;\widehat A=45^0;\widehat B=70^0$. Tính R, b, c.
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có:
$\widehat C=180^0-\widehat A-\widehat B=180^0-45^0-70^0=65^0$
Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:
$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}$
=> b=$\frac{a.\sin B}{\sin A}=\frac{10.\sin70^0}{\sin45^0}\approx13,29$
Ta có: $\frac a{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac a{2.\sin A}=\frac{10}{2.\sin45^0}=5\sqrt2$
$\frac a{\sin A}=\frac c{\sin C}$
=> $c=\frac{a.\sin C}{\sin A}=\frac{10.\sin65^0}{\sin45^0}\approx12,82$
Vậy $R=5\sqrt2$;b=13,29;c=12,82
Bài 3.7 trang 42 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức
Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat A\;=\;15^o;\;\widehat B\;=\;130^o;\;c\;=\;6$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có:
$\widehat C=180^0-\left(\widehat A+\widehat B\right)=180^0-\left(15^0+130^0\right)=35^0$
Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có:
$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}$
=> $\frac a{\sin15^0}=\frac b{\sin130^0}=\frac6{\sin35^0}$
=> $\frac a{\sin15^0}=\frac6{\sin35^0}\Rightarrow a=\frac{6.\sin15^0}{\sin35^0}\approx2,71$
=> $\frac b{\sin130^0}=\frac6{\sin35^0}\Rightarrow b=\frac{6.\sin130^0}{\sin35^0}\approx8,01$
Diện tích tam giác ABC là:
$S=\frac12a\;.\;\;b.\;\sin\widehat C=\frac12\;.\;2,71\;\;.8,01\;.\;\sin35^0\approx\;9,2$
Bài 3.8 trang 42 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức
Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S700E với vận tốc 70km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam theo vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Hướng dẫn:
a) Tàu cá xuất phát từ A đi theo hướng S700E với vận tốc 70km/h trong 90 phút = 1,5 giờ thì tàu cá đi được đến B (vị trí tàu bị hỏng)
=> Quãng đường AB là: 70.1,5 = 105 (km)
Từ vị trí B tàu cá thả trôi với vận tốc 8km/h theo hướng nam sau 2h thì neo đậu vào đảo C
=> Quãng đường BC là: 8.2 = 16km
Khoảng cách từ cảng A đến nơi tàu neo đậu chính là đoạn AC.
Do tàu đi theo hướng S700E nên phương AB hợp với phương nam Ax một góc 700
=> $\widehat{xAB}=70^0$
Mà phương BC song song với phương nam Ax
=> $\widehat {CBx} = \widehat {xAB} = {70^0}$ (hai góc đồng vị)
=> $\widehat {ABC} = {110^0}$
Xét tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosB
= 1052 + 162 – 2.105.16.cos1100
= 12 430,19
=> AC = 111,49 km
Vậy khoảng cách từ cảng A đến nơi tàu neo đậu là 111,49 km.
b) Xét tam giác ABC, có:
$\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{{105}^2} + 111,{{49}^2} – {{16}^2}}}{{2.105.111,49}} \approx 0,99$
$\Rightarrow \widehat {BAC} \approx 7,{75^0}$
$\Rightarrow \widehat {xAC} = {70^0} – \widehat {BAC} = {70^0} – 7,{75^0} = 62,{25^0}$
Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là S62,250E.
Bài 3.9 trang 42 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng – ten cao 5m, Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng – ten, với các góc tương ứng là 500 và 400 so với phương nằm ngang (H.3.18).
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính chiều cao của tòa nhà.
Hướng dẫn:
Ký hiệu hình vẽ
Ta có:
$\widehat {BAC} = {50^0} – {40^0} = {10^0}$
Xét tam giác Abm vuông tại M ta có:
$\widehat {CBA} + \widehat {BAM} = {90^0}$
=> $\widehat {CBA} = {90^0} – \widehat {BAM} = {90^0} – {50^0} = {40^0}$
Xét tam giác ABC ta có:
=> $\widehat {ACB} = {180^0} – \widehat {BAC} – \widehat {CBA} = {180^0} – {10^0} – {40^0} = {130^0}$
b) Xét tam giác ABC ta có:
$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}$
$\Rightarrow \frac{{AB}}{{\sin {{130}^0}}} = \frac{5}{{\sin {{10}^0}}} \Rightarrow AB \approx 22,06\left( {ma} \right)$
Xét tam giác ABM có:
$BM = AB.\sin \widehat {BAC} = 22,06.\sin {50^0} \approx 16,9\left( m \right)$
=> Chiều cao của tòa nhà là: 16,9 + 7 = 23,9 (m)
Vậy chiều cao của tòa nhà là 23,9 m.
Bài 3.10 trang 43 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức
Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình ta có thể ngắm được Đảo yến. Hãy đề xuất cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).
Hướng dẫn:
Ta có hình vẽ minh họa:
Các bước xác định bề rộng của hòn đảo như sau:
Bước 1: Trên bờ, đặt một cọc ở vị trí A, một cọc ở vị trí B, một cọc ở vị trí C (như hình vẽ). Đo khoảng cách AB, AC
Bước 2: Đứng tại A ngắm điểm B và điểm H để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc BAH. Đứng tại B ngắm điểm H và điểm A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc HBA.
Bước 3: Dựa vào định lí sin trong tam giác ABH ta tính được cạnh AH.
Bước 4: Đứng tại A ngắm điểm C và điểm K để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc KAC. Đứng tại C ngắm điểm K và điểm A để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó là góc KCA
Bước 5: Dựa vào định lí sin trong tam giác AKC tính được AK.
Bước 6: Xét tam giác AKH, sử dụng định lí cos để tính cạnh KH.
Vậy độ dài KH chính là chiều rộng của đảo.
Toán lớp 10 tập 1 trang 43
Bài 3.11 trang 43 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức
Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sát lở núi, nối thẳng từ A đến D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu ki lô mét so với đường cũ?
Hướng dẫn:
Ta có hình vẽ như sau:
Xét ta giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2AB.BC.cosB
= 82 + 62 – 2.8.6.cos1050
≈ 124,85
=> AC ≈ 11,17 km
=> $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}$
$\Rightarrow \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{AC}} \approx 0,69$
$\Rightarrow \widehat {ACB} \approx 43,{77^0}$
$\Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BCD} – \widehat {ACB} = {135^0} – 43,{77^0} = 91,{23^0}$
Xét tam giác ADC ta có:
AD2 = AC2 + DC2 – 2AC.DC.cosACD
= 11,172 + 122 – 2.11,17.12.cos91,230
≈ 274,52
=> AD ≈ 16,57 km
Độ dài đoạn đường cũ là: AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 km
Độ dài đường cũ hơn độ dài đoạn đường mới: 26 – 16,57 = 9,43 km.