Toán lớp 10 tập 1 trang 58 Bài 9: Tích của một vecto với một số

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 58 bài 9 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán Lớp 10 tập 1 trang 58

Bài 4.11 trang 58 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị $\overrightarrow {AM}$ theo hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$

Hướng dẫn:

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành

Ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AE}$ (Quy tắc hình bình hành)

Mà $\overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AM}$

=> $\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}$

Ta lại có: $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ (Quy tắc hình bình hành)

=> $\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} }}{2}$

=> $\frac{{2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} }}{2} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$

Vậy $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$

Bài 4.12 trang 58 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\hfill\\=\left({\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}}\right)+\left({\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}}\right)\hfill\\=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\left(*\right)\hfill\\\end{matrix}$

Ta lại có:

$\begin{matrix}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ND}-\overrightarrow{NA}\\=\left({\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}}\right)-\left({\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NA}}\right)\\=-\left({\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NA}}\right)=-2\overrightarrow{NM}=2\overrightarrow{MN}\left({}\right)\\\end{matrix}$

Từ (*) và () suy ra: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}$

Bài 4.13 trang 58 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB}$

Hướng dẫn:

a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có: $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

Khi đó: $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0$

=> $\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {KI} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

=> $\left( {\overrightarrow {KI} + 2\overrightarrow {KI} } \right) + \overrightarrow {IB} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow 0$

=> $3\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

=> $\overrightarrow {KI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BI}$

Suy ra vecto $\overrightarrow {KI}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow {BI}$ và thỏa mãn KI = $\frac{1}{3}$BI

Điểm K là điểm nằm giữa I và B và thỏa mãn KI = $\frac{1}{3}$BI

b) Lấy điểm O bất kì ta có:

Ta có:

\begin{matrix}VP=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}\\=\dfrac{1}{3}\left({\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA}}\right)+\dfrac{2}{3}\left({\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB}}\right)\\=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OK}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{KB}\\=\left({\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OK}}\right)+\left({\dfrac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{KB}}\right)\\\end{matrix}

Do $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0$

= $\overrightarrow {OK} + \frac{1}{3}.\left( {\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} } \right) = \overrightarrow {OK}$

Bài 4.14 trang 58 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM}$

Hướng dẫn:

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

Xét $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

=> $\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + 2\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0$

=> $4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

=> $4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

=> $\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CG}$

Suy ra điểm M nằm giữa C và G sao cho MG =$ \frac{1}{4}$.CG

Hình vẽ minh họa

b) Xét vế trái ta có:

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC}$

= $\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {2OM} + \overrightarrow {2MC}$

= $4\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {2MC} } \right)$

Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {2MC} = \overrightarrow 0

= 4\overrightarrow {OM}$ = VP

Bài 4.15 trang 58 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức

Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}}$ như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0$ ). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}}$ và $\overrightarrow {{F_1}}$ có độ lớn là 20N.

Hướng dẫn:

Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0$

=> $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = – \overrightarrow {{F_3}}$

Mà $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD}$ (OBDA là hình bình hành)

=> $\overrightarrow {OD} = – \overrightarrow {{F_3}}$

=> Hai vecto $\overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {{F_3}}$ là hai vecto đối nhau

=> $\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \left| { – \overrightarrow {{F_3}} } \right|$

và $\widehat {BOD} = {60^0}$

Ta lại có: $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {{F_1}}$

Xét tam giác OBD ta có:

OB = $\frac{{BD}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\left( N \right)$

=> $\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\left( N \right)$

OD = $\frac{{BD}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\left( N \right)$

=> $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\left( N \right)$

Vậy độ lớn hai vecto $\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}}$

lần lượt $\frac{{20}}{{\sqrt3 }}N;\frac{{40\sqrt 3 }}{3}N$