Toán 10 tập 1 trang 65 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Giải toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức Toán 10 tập 1 trang 65 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Toán 10 tập 1 trang 65 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Nội dung

Giải toán 10 tập 1 trang 65 bài 10 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 1 trang 65

Bài 4.16 trang 65 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Hướng dẫn::

a) Ta có: M(1; 3) và N(4; 2)

$ \Rightarrow \overrightarrow {OM} (1;3),\;\,\overrightarrow {ON} (4;2),\;\overrightarrow {MN} = (4 – 1;2 – 3) = (3; – 1) $

$ \Rightarrow OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,ON = \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 ,MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} $

b) Dễ thấy: $ OM = \sqrt {10} = MN \Rightarrow \Delta OMN $ cân tại M.

Lại có: $ OM^2 + MN^2 = 10 + 10 = 20 = ON^2 $

Theo định lí Pythagore đảo, ta có $ \Delta OMN $ vuông tại M.

Vậy $ \Delta OMN $ vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $ \overrightarrow a = 3.\overrightarrow i – 2.\overrightarrow j ,\overrightarrow b = \left( {4; – 1} \right) $ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $ \overrightarrow {MN} $ và $ 2\;\overrightarrow a – \overrightarrow b $.

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Hướng dẫn::

a) Ta có: $ \overrightarrow b = \left( {4; – 1} \right) $ và $ \overrightarrow a = 3.\overrightarrow i – 2.\overrightarrow j \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow a \;\left( {3; – 2} \right) $

$ \Rightarrow 2\;\overrightarrow a – \overrightarrow b = \left( {2.3 – 4\;;\;2.\left( { – 2} \right) – \left( { – 1} \right)} \right) = \left( {2; – 3} \right) $

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

$ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {3 – \left( { – 3} \right); – 3 – 6} \right) = \left( {6; – 9} \right) $

Dễ thấy: $ \left( {6; – 9} \right) = 3.\left( {2; – 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = 3\left( {2\;\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right) $

b) Ta có: $ \overrightarrow {OM} = \left( { – 3;6} \right) $ ( do M(-3; 6)) và $ \overrightarrow {ON} = \left( {3; – 3} \right) $ (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $ \frac{-3}{3} \neq \frac{6}{-3} $).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.b) Ta có: \overrightarrow {OM} = \left( { – 3;6} \right) ( do M(-3; 6)) và \overrightarrow {ON} = \left( {3; – 3} \right) (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì \frac{-3}{3} \neq \frac{6}{-3}).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} .

Toán 10 tập 1 trang 65

Do $\overrightarrow {OM} = \left( { – 3;6} \right),\;\overrightarrow {PN} = \left( {3 – x; – 3 – y} \right)$

nên

$\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3 = 3 – x\\6 = – 3 – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = – 9\end{array} \right.$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Bài 4.18 trang 65 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Hướng dẫn::

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2 – 1;4 – 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC} = \left( { – 3 – 1;2 – 3} \right) = \left( { – 4; – 1} \right)$

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{{ – 4}} \ne \frac{1}{{ – 1}}$ )

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { – 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)$

d) Để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì $\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 3\\y = – 7\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Bài 4.19 trang 65 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)$

. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Hướng dẫn::

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)$

nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng $\left| {\overrightarrow v } \right|.$

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: $\overrightarrow {AB} = 1,5.\overrightarrow v$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x – 1;y – 2) = 1,5\;.\left( {3;4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 = 4,5\\y – 2 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5,5\\y = 8\end{array} \right.\end{array}$

Vậy sau 1,5 tàu ở vị trí (trên mặt phẳng tọa độ) là B (5,5; 8).