Toán lớp 10 tập 1 trang 70 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 70 bài 11 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 70

Bài 4.21 trang 70 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow a = ( – 3;1),\;\overrightarrow b = (2;6)$

b) $\overrightarrow a = (3;1),\;\overrightarrow b = (2;4)$

c) $\overrightarrow a = ( – \sqrt 2 ;1),\;\overrightarrow b = (2; – \sqrt 2 )$

Hướng dẫn::

a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( – 3).2 + 1.6 = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b hay \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}$

c) Dễ thấy: $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b cùng phương do \frac{{ – \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ – \sqrt 2 }}$

Hơn nữa $\overrightarrow b = \left( {2; – \sqrt 2 } \right) = – \sqrt 2 .\left( { – \sqrt 2 ;1} \right) = – \sqrt 2 .\overrightarrow a \;; – \sqrt 2 < 0$

Do đó: $\overrightarrow a và \overrightarrow b$ ngược hướng.

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}$

Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức

Tìm điều kiện của $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ để:

a) $\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

b)$ \overrightarrow u .\;\overrightarrow v = – \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

Hướng dẫn::

a) Ta có: $\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}$

Nói cách khác: $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ cùng hướng

b) Ta có $\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =- \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|$

$\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = – 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}$

Nói cách khác: $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 Toán lớp 10 tập 1 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}$ theo t

b) Tính t để $\widehat {AMB} = {90^o}$

Hướng dẫn::

a)

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = (t – 1; – 2),\;\overrightarrow {BM} = (t + 4; – 3)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = (t – 1)(t + 4) + ( – 2)( – 3)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad= {t^2} + 3t + 2. \end{array}$

b)

Để $\widehat {AMB} = {90^o}$

hay $AM \bot BM$

thì $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0$

<=> $t^{2} + 3t +2$ = 0

<=> $\left\{\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $\widehat {AMB} = {90^o}$

Bài 4.24 trang 70 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Hướng dẫn::

a) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 – ( – 4);4 – 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC} = (2 – 2; – 2 – 4) = (0; – 6)\\\overrightarrow {AC} = (2 – ( – 4); – 2 – 1) = (6; – 3)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( – 6)}^2}} = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( – 3)}^2}} = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} – {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}$

$\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} – {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}$

$\Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}$

Vậy tam giác ABC có: $a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 ; \widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.$

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x – ( – 4);y – 1) = (x + 4;y – 1)\\\overrightarrow {BH} = (x – 2;y – 4)\end{array} \right.$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow AH \bot BC$ và $BH \bot AC$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0$

và $\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0$

Do đó: $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 và \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 .$

Mà: $\overrightarrow {BC} = (0; – 6)$

$\Rightarrow (x + 4).0 + (y – 1).( – 6) = 0 \Leftrightarrow – 6.(y – 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1$.

và $\overrightarrow {AC} = (6; – 3)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x – 2).6 + (y – 4).( – 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x – 12 + ( – 3).( – 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x – 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}$

Vậy H có tọa độ $\left( {1;\frac{1}{2}} \right)$

Bài 4.25 trang 70 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}$ .

Hướng dẫn::

Đặt $A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} – {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 – {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}$

Mà $1 – {\cos ^2}A = {\sin ^2}A$

$\Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A}$

$\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A$ (Vì ${0^o} < \widehat A < {180^o} nên \sin A > 0$)

Do đó A = {S_{ABC}}

hay ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}$ .

Bài 4.26 trang 70 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$

Hướng dẫn::

Ta có:

$\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\end{array}$

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

$\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\end{array}$