Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 101 bài 4 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 101

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 tập 1

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2

+) $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0$

+) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos 45^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ = – {a^2}$

+) $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO}$ ;

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$ .

Hướng dẫn giải:

a) $AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \\= \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5$

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \cos \widehat {OAB} =\\ \cos \widehat {CAB} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AO} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) \\= AB.\frac{1}{2}AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right)\\ = 2a.\frac{1}{2}.a\sqrt 5 .\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = 2{a^2}\end{array}$

b) $AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \Rightarrow \overrightarrow {AB}$ .

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 tập 1

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA=a, OB=b. Tính tích vô hướng$\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:  

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 0^\circ$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = a.b.\cos 0^\circ = ab$

B)Ta có

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ ngược hướng nên $\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = 180^\circ$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = a.b.\cos 180^\circ = – ab$

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 tập 1

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {MO} ^2} – {\overrightarrow {OA} ^2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB}$

$\Rightarrow {\overrightarrow {MO} ^2} – {\overrightarrow {OA} ^2} = \left( {\overrightarrow {MO} – \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) \\= \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MA}$

Bài 5 trang 101 Toán 10 tập 1

Một người dùng một lực \overrightarrow Fcó độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp $\overrightarrow F$ với hướng dịch chuyển là một góc $60^\circ$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$

Hướng dẫn giải:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ được tính bằng công thức

$A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 90.100.\cos 60^\circ = 4500 (J)$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ có độ lớn bằng 4500 (J)

Bài 6 trang 101 Toán 10 tập 1

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Hướng dẫn giải:

Ta cho:

$\left| {\overrightarrow a } \right| = 3;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4 và \overrightarrow a .\overrightarrow b = – 6$

Ta có công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = – 6 \Rightarrow 3.4.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = – 6 \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = – \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$