Toán lớp 10 tập 1 trang 102:Bài tập cuối chương 5
Toán lớp 10 tập 1 trang 102:Bài tập cuối chương 5
Giải toán lớp 10 tập 1 trang 102 bài tập cuối chương 5 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán lớp 10 tập 1 trang 102
Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 tập 1
Cho 3 vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$
đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow a$ ,$\overrightarrow b$ cùng phương với$ \overrightarrow c$ thì \overrightarrow a và \overrightarrow b cùng phương
b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow c$
thì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng
Hướng dẫn giải:
a)
+) Vectơ $\overrightarrow a$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow a$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{c}$
+) Vectơ $\overrightarrow b$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow b$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow c$
Suy ra giá của vectơ $\overrightarrow a$ và vectơ $\overrightarrow b$ song song với nhau nên $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương
Vậy khẳng định trên đúng
b) Giả sử vectơ $\overrightarrow c$ có hướng từ A sang B
+) Vectơ $\overrightarrow a$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow a$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow c$ và có hướng từ B sang A
+) Vectơ $\overrightarrow b$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow b$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow c$ và có hướng từ B sang A
Suy ra, hai $vectơ \overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng
Vậy khẳng định trên đúng
Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 tập 1
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.
a) Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD}$
b) Tìm trong hình ảnh vectơ đối nhau và có độ dài bằng$\frac{{a\sqrt {10} }}{2}$
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
AC = BD = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {10}$
+) $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt {10}$
+) $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = a\sqrt {10}$
b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:
AO = OC = BO = OD = $\frac{{a\sqrt {10} }}{2}$
Dựa vào hình vẽ ta thấy AO và CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO và DO cùng nằm trên một đường thẳng
Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt {10} }}{2}$
là:
$\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OC}$ ; $\overrightarrow {AO}$ và $\overrightarrow {CO}$ ; $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {OD}$ ; $\overrightarrow {BO}$ và $\overrightarrow {DO}$
Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 tập 1
Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng $60^\circ$ . Tìm độ dài của các vectơ sau: $\overrightarrow p = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ ;$\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD}$ ;$\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC}$ .
Hướng dẫn giải:
+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
$\overrightarrow p = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$
+) $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB}$
+) $\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}$
Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 tập 1
Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow {CE}$ = $\overrightarrow {AN}$ (hình 1)
a) Tìm tổng của các vectơ:
$\overrightarrow {NC} và \overrightarrow {MC}$ ; $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {CD}$ ; $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {NC}$
b) Tìm các vectơ hiệu:
$\overrightarrow {NC} – \overrightarrow {MC} ; \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BC} ; \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {ME}$ .
c) Chứng minh $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$
Hướng dẫn
a) Ta có:$\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AN} \Rightarrow CE//AN$ và CE = AN = ND = BM = MC
Suy ra $\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CE}$
+) $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {NE}$
+) ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$
$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BM}$
+) Ta có $\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \Rightarrow AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AM}$
$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE}$ (vì AMED là hình bình hành)
b) Ta có:
+) $\overrightarrow {NC} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {NM}$
+) $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$
+) $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {ME} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}$
c) Ta có:
$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC}$
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$
Từ đó suy ra$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$
Toán lớp 10 tập 1 trang 103
Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 tập 1
Cho $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow 0$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$;
b) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|$ .
Hướng dẫn giải:
a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2}$
$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}$
= ${\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$
$\Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$
$\Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$
$\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ$
Vậy $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a , \,\overrightarrow b$ cùng hướng.
b) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|^2}$
$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right)^2}$
$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \Leftrightarrow 4\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ$
Vậy $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b$ vuông góc với nhau.
Bài 6 trang 103 Toán lớp 10 tập 1
Cho $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$ = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ .
Hướng dẫn giải:
$\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = – \overrightarrow b$
$\overrightarrow a = – \overrightarrow b$
suy ra hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vecto đối nhau nên chúng cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.
Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 tập 1
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Với 4 điểm A, B, C, D ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành
Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.
Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 8 trang 103 Toán lớp 10 tập 1
Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \overrightarrow 0$
Hướng dẫn:
$\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BQ} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {CS} } \right)$
= $\left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$
Bài 9 trang 103 Toán lớp 10 tập 1
Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía Bắc với tốc độ 45m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc $20^\circ$ về phía tây bắc (hình 2). Tính tốc độ của gió
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có:
+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay là vectơ $\overrightarrow {{v_1}}$
+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay so với mặt đất là vectơ $\overrightarrow v$
+) Vectơ tương ứng với vận tốc gió là vectơ $\overrightarrow {{v_2}}$
Ta có : $\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 45;\left| {\overrightarrow v } \right| = 38;\left( {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow v } \right) = 20^\circ$
Áp dụng định lý cosin ta có:
$\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow v } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}^2} – 2\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_1}} } \right)}$
= $\sqrt {{{38}^2} + {{45}^2} – 2.38.45.\cos 20^\circ } \simeq 16$ (m/s)
Vậy tốc độ của gió gần bằng 16 m/s