Toán lớp 10 tập 1 trang 124 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 124 bài 4 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 124

Bài 1 trang 124 Toán lớp 10 tập 1

Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi do chiều cao các bạn đó. So sánh xem chiều cao của các bạn năm hay các bạn nữ đồng đều hơn.

Hướng dẫn giải:

+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nam là: 176 – 164 = 12

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 164,168,170,172,176

Bước 2: n = 5, là số lẻ nên ${Q_2} = {M_e} = 170$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu 164,168. Do đó ${Q_1} = \frac{1}{2}(164 + 168) = 166$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu 172,176. Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(172 + 176) = 174$

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q}$ = 174 – 166 = 8

+) Khoảng biến thiên chiều cao của các học sinh nữ là: 162 – 152 = 10

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 152,155,157,160,162

Bước 2: n = 5, là số lẻ nên ${Q_2} = {M_e} = 157$

{Q_1} là trung vị của nửa số liệu 152,155. Do đó ${Q_1} = \frac{1}{2}(152 + 155) = 153,5$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu 160,162. Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(160 + 162) = 161$

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = 161 – 153,5 = 7,5$

Kết luận: So sánh khoảng biến thiên hay tứ phân vị thì theo mẫu số liệu trên, chiều cao của 5 bạn nữ là đồng đều hơn.

Bài 2 trang 124 Toán lớp 10 tập 1

Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và các giá trị ngoại lệ của các mẫu số liệu sau:

a) 6; 8; 3; 4; 5; 6; 7; 2; 4.

b) 13; 37; 64; 12; 26; 43; 29; 23.

Hướng dẫn giải:

a)

+) Số trung bình $\overline x = \frac{{6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4}}{9} = 5$

+) phương sai hoặc ${S^2} = \frac{1}{9}\left( {{6^2} + {8^2} + … + {4^2}} \right) – {5^2} = \frac{{10}}{3}$

=> Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {\frac{{10}}{3}} \approx 1,8$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

+) Khoảng biến thiên: R = 8 – 2 = 6

Tứ phân vị:${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

${Q_2} = {M_e} = 5$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu 2; 3; 4; 4. Do đó ${Q_1} = 3,5$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu: 6; 6; 7; 8. Do đó ${Q_3} = 6,5$

+) Khoảng tứ phân vị:${\Delta _Q} = 6,5 – 3,5 = 3$

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu x > 6,5 + 1,5.3 = 11 hoặc x < 3,5 – 1,5.3 = – 1

Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.

b)

+) Số trung bình $\overline x = \frac{{13 + 37 + 64 + 12 + 26 + 43 + 29 + 23}}{8} = 30,875$

+) phương sai hoặc ${S^2} = \frac{1}{8}\left( {{{13}^2} + {{37}^2} + … + {{23}^2}} \right) – 30,{875^2} \approx 255,8$

=> Độ lệch chuẩn S $\approx 16$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

+) Khoảng biến thiên: R = 64 – 12 = 52

Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

${Q_2} = {M_e} = 27,5$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu 12; 13; 23; 26. Do đó ${Q_1} = 18$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu: 29; 37; 43; 64. Do đó ${Q_3} = 40$

+) Khoảng tứ phân vị:${\Delta _Q}$ = 40 – 18 = 22

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu x > 40 + 1,5.22 = 73 hoặc x < 18 – 1,5.22 = – 15

Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.

Toán lớp 10 tập 1 trang 125

Bài 3 trang 125 Toán lớp 10 tập 1

Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a)

Giá trị -2 -1 0 1 2

Tần số 10 20 30 20 10

b)

Giá trị 0 1 2 3 4

Tần số 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Hướng dẫn giải:

a) +) Số trung bình $\overline x = \frac{{ – 2.10 + ( – 1).10 + 0.30 + 1.20 + 2.10}}{{10 + 20 + 30 + 20 + 10}} = 0$

+) phương sai hoặc ${S^2} = \frac{1}{9}\left( {10.{{( – 2)}^2} + 10.{{( – 1)}^2} + … + {{10.2}^2}} \right) – {0^2} \approx 13,33$

=> Độ lệch chuẩn S $\approx 3,65$

+) Khoảng biến thiên: R = 2 – ( – 2) = 4

Tứ phân vị: ${Q_2} = 0;{Q_1} = – 1;{Q_3} = 1$

+) Khoảng tứ phân vị:${\Delta _Q} = 1 – ( – 1) = 2$

b) Giả sử cỡ mẫu n = 10. Khi đó mẫu số liệu trở thành:

Giá trị 0 1 2 3 4

Tần số 1 2 4 2 1

+) Số trung bình $\overline x = \frac{{0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,4 + 3.0,2 + 4.0,1}}{{0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1}} = 2$

+) phương sai hoặc ${S^2} = \frac{1}{1}\left( {0,{{1.0}^2} + 0,{{2.1}^2} + … + 0,{{1.4}^2}} \right) – {2^2} = 1,2$

=> Độ lệch chuẩn S $\approx 1,1$

+) Khoảng biến thiên: R = 4 – 0 = 4

Tứ phân vị:${Q_2} = 2;{Q_1} = 1;{Q_3} = 3$

+) Khoảng tứ phân vị: ${\Delta _Q} = 3 – 1 = 2$

Bài 4 trang 125 Toán lớp 10 tập 1

Hãy so sánh số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của ba mẫu số liệu sau:

Mẫu 1: 0,1; 0,3; 0,5; 0,5; 0,3; 0,7.

Mẫu 2: 1,1; 1,3; 1,5; 1,5; 1,3; 1,7.

Mẫu 3: 1; 3; 5; 5; 3; 7.

Hướng dẫn giải:

+) Số trung bình: $\overline x = \frac{{0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,5 + 0,3 + 0,7}}{6} = 0,4$

+) Phương sai ${S^2} = \frac{1}{6}\left( {0,{1^2} + 0,{3^2} + 0,{5^2} + 0,{5^2} + 0,{3^2} + 0,{7^2}} \right) – 0,{4^2} \approx 0,0367$

+) Độ lệch chuẩn S = $\sqrt {{S^2}} \approx 0,19$

Bài 5 trang 125 Toán lớp 10 tập 1

Sản lượng lúa các năm từ 2014 đến 2018 của hai tỉnh Thái Bình và Hậu Giang được cho ở bảng sau (đơn vị nghìn tấn):

a) Hãy tính độ lệch chuẩn và khoảng biến thiên của sản lượng lúa từng tỉnh.

b) Tỉnh nào có sản lượng lúa ổn định hơn? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

a)

Tỉnh Thái Bình:

Số trung bình $\overline x = \frac{{1061,9 + 1061,9 + 1053,6 + 942,6 + 1030,4}}{5} = 1030,08$

Phương sai ${S^2} = \frac{1}{5}\left( {1061,{9^2} + 1061,{9^2} + 1053,{6^2} + 942,{6^2} + 1030,{4^2}} \right) – 1030,{08^2} = 2046,2$

=> Độ lệch chuẩn S = $\sqrt {{S^2}} \approx 45,2$

+) Khoảng biến thiên R = 1061,9 – 942,6 = 119,3

Tỉnh Hậu Giang:

Số trung bình $\overline x = \frac{{1204,6 + 1293,1 + 1231,0 + 1261,0 + 1246,1}}{5} = 1247,16$

Phương sai

${S^2} = \frac{1}{6}\left( {1204,{6^2} + 1293,{1^2} + 1231,{0^2} + 1261,{0^2} + 1246,{1^2}} \right) – 1247,{16^2} = 875,13$

=> Độ lệch chuẩn S = $\sqrt {{S^2}} \approx 29,6$

+) Khoảng biến thiên R = 1293,1 – 1204,6 = 88,5

b)

So sánh khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn ta đều thấy tỉnh Hậu Giang có sản lượng lúa ổn định hơn.

Bài 6 trang 125 Toán lớp 10 tập 1

Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

a) Nhà máy A:

+) Số trung bình: $\overline x = \frac{{4 + 5 + 5 + 47 + 5 + 6 + 4 + 4}}{8} = 10$

+) Mốt:${M_o} = 4,{M_o} = 5$

+) Tứ phân vị:${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

${Q_2} = {M_e} = 5$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu: 4; 4; 4; 5. Do đó ${Q_1} = 4$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu: 5; 5; 6; 47. Do đó ${Q_3} = 5,5$

+) Phương sai

${S^2} = \frac{1}{8}\left( {{4^2} + {5^2} + … + {4^2}} \right) – {10^2} = 196$ => Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {{S^2}} = 14$$

Nhà máy B:

+) Số trung bình: $\overline x = \frac{{2 + 9 + 9 + 8 + 10 + 9 + 9 + 11 + 9}}{9} = 8,4$

+) Mốt: ${M_o} = 9$

+) Tứ phân vị:${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11

${Q_2} = {M_e} = 9$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu: 2; 8; 9; 9. Do đó ${Q_1} = 8,5$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu: 9; 9; 10; 11. Do đó ${Q_3} = 9,5$

+) Phương sai

${S^2} = \frac{1}{9}\left( {{2^2} + {9^2} + … + {9^2}} \right) – 8,{4^2} = 6,55$ => Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {{S^2}} = 2,56$

Nhà máy A có: ${\Delta _Q} = 1,5$

Vậy giá trị ngoại lệ x > 5,5 + 1,5.1,5 = 7,75 hoặc x < 4 – 1,5.1,5 = 1,75 là 47.

Nhà máy B có: ${\Delta _Q} = 1$

Vậy giá trị ngoại lệ x > 9,5 + 1,5.1 = 11 hoặc x < 8,5 – 1,5.1 = 7 là 2.