Toán lớp 10 tập 1 trang 32 Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 32 bài 1 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 29

Hoạt động khởi động trang 29 Toán lớp 10 Tập 1

 Đường thẳng d: y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền (không tính đường thẳng d) như hình bên. Dùng các nhãn dưới đây đặt vào miền phù hợp để đặt tên cho miền đó.

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải được bài toán như sau:

Ta chọn nhãn chứa bất phương trình y > x + 1 ở phía miền có màu xám và nhãn dán

y < x + 1 ở miền có màu hồng nhạt.

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hoạt động khám phá 1 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1 

Bạn Nam để dành được 700 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, Nam đã ủng hộ x tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng, y tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng từ tiền để dành của mình.

a) Biểu diễn tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ theo x và y

b) Giải thích tại sao lại có bất đẳng thức 20x + 50y ≤ 700.

Lời giải:

a)

– Số tiền Nam đã ủng hộ theo mệnh giá 20 nghìn đồng là: 20.x (nghìn đồng);

– Số tiền Nam đã ủng hộ theo mệnh giá 50 nghìn đồng là: 50.y (nghìn đồng);

Như vậy tổng số tiền Nam đã ủng hộ là: 20x + 50y (nghìn đồng).

b)

Ta có: 20x + 50y chính là số tiền mà Nam đã đem đi ủng hộ; 700 nghìn đồng chính là số tiền mà Nam đã để dành được. Như vậy, ta có thể hiểu số tiền Nam đã ủng hộ ít hơn hoặc bằng số tiền Nam đã để dành được. Trong toán học để thể hiện được điều đó, ta có thể biểu diễn bằng bất đẳng thức 20x + 50y ≤ 700.

Thực hành 1 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1 

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x – 3y + 1 ≤ 0;

b) x – 3y + 1 ≥ 0;

c) y – 5 > 0;

d) x – y² + 1 > 0

Lời giải:

– Xét BPT 2x ‒ 3y + 1 ≤ 0: ta thấy bất phương trình có dạng ax + by + c ≤ 0 với a = 2, b = ‒3 và c = 1. Do đó bất phương trình a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Xét BPT x – 3y + 1 ≥ 0: ta thấy bất phương trình có dạng ax + by + c ≥ 0 với a = 1, b = ‒3 và c = 1. Do đó bất phương trình b) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Xét BPT y – 5 > 0: ta thấy bất phương trình có dạng ax + by + c > 0 với a = 0, b = 1 và c = -5. Do đó bất phương trình c) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Bất phương d) không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa y².

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Toán lớp 10 tập 1 trang 30

Hoạt động khám phá 2 trang 30 Toán lớp 10 Tập 1

 Trường hợp nào sau đây thỏa mãn tình huống nêu trong hoạt động khám phá 1.

Trường hợp 1: Nam ủng hộ 2 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn và 3 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Trường hợp 2: Nam ủng hộ 15 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 10 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Lời giải:

Ở Hoạt động khám phá 1 ta có bất phương trình 20x + 50y ≤ 700.

Trường hợp 1: Ta thấy x = 2 và y = 3 thay vào bất phương trình 20x + 50y ≤ 700

Ta có: 20.2 + 3.50 = 190 < 700 (Thoả mãn với tình huống tại Hoạt động khám phá 1).

Trường hợp 2: Ta thấy x = 15 và y = 10 thay vào bất phương trình 20x + 50y ≤ 700

Ta có: 15.20 + 10.50 = 800 > 700 (Không thoả mãn với tình huống tại Hoạt động khám phá 1).

Thực hành 2 trang 30 Toán lớp 10 Tập 1

 Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0.

a) (9 ; 1)

b) (2 ; 6)

c) (0 ; – 4)

Lời giải:

a) Thay giá trị x = 9; y = 1 vào bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0 ta được: 4.9 – 7.1 – 28 = 1 > 0 nên (9; 1) là nghiệm của bất phương trình.

b) Thay giá trị x = 2; y = 6 vào bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0 ta được: 4.2 – 7.6 – 28 = -62 < 0 nên (2; 6) không phải là nghiệm của bất phương trình.

c) Thay giá trị x = 0; y = -4 vào bất phương trình 4x – 7y – 28 ≥ 0 ta được: 4.0 – 7.(-4) – 28 = 0 nên (0; -4) là nghiệm của bất phương trình.

Vận dụng 1 trang 30 Toán lớp 10 Tập 1

 Cho biết mỗi 100 g thịt bò chứa khoảng 26,1 g protein, một quả trứng nặng 44 g chứa khoảng 5,7 g protein (nguồn: https: www.vinmec.com). Giả sử có một người mỗi ngày cần không quá 60 g protein. Gọi số gam thịt bò và số quả trứng mà người đó ăn trong một ngày lần lượt là x và y.

a) Lập bất phương trình theo x, y diễn tả giới hạn về lượng protein trong khẩu phần ăn hằng ngày của người đó.

b) Dùng bất phương trình ở câu a) để trả lời hai câu hỏi sau:

– Nếu người đó ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì có phù hợp không?

– Nếu người đó ăn 200 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì có phù hợp không?

Lời giải:

a)

+) 100 g thịt bò chứa khoảng 26,1 g protein, vậy 1 g thịt bò sẽ chứa khoảng $\frac{26,1}{100}$ g protein; Do đó x gam thịt bò sẽ chứa $\frac{26,1}{100}$.x gam protein.

+) 44g trứng chứa 5,7g protein, vậy 1g trứng sẽ chứa 5,7445,744g protein

+) 1 quả trứng nặng 44g, vậy y quả trứng sẽ nặng y.44g,

Vì một người mỗi ngày cần không quá 60 g protein nên ta sẽ có bất phương trình sau: $\frac{26,1}{100}$.x + $\frac{5,7}{44}$.44.y ≤ 60

=>$\frac{26,1}{100}$.x + 5,7.y – 60 ≤ 0

⇔ 0,261x + 5,7y – 60 ≤ 0.

Vậy bất phương trình cần tìm là 0,261x + 5,7y – 60 ≤ 0.

b)

+) Với x = 150; y = 2 ta thay vào bất phương trình 0,261x + 5,7y – 60 ≤ 0.

150.0,261 + 5,7.2 – 60 = -9,45 ≤ 0 là mệnh đề đúng.

Vậy người đó ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày là phù hợp.

+) Với x = 200; y = 2 ta thay vào bất phương trình 0,261x + 5,7y – 60 ≤ 0.

200.0,261 + 5,7.2 – 60 = 3,6 ≤ 0 là mệnh đề sai.

Vậy người đó ăn 200 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày là không phù hợp.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hoạt động khám phá 3 trang 30 Toán lớp 10 Tập 1

 Cho bất phương trình 2x – y + 1 < 0

a) Vẽ đường thẳng y = 2x + 1

b) Các cặp số (–2;0), (0; 0), (1; 1) có là nghiệm của bất phương trình đã cho không.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = R

– Cho x = 0 thay vào y = 2x + 1 ta được y = 1 ⇒Ta lấy được điểm (0; 1).

– Cho y = 0 thay vào y = 2x + 1 ta được x = $\frac{1}{2}$ ⇒Ta lấy được điểm (−$\frac{1}{2}$; 0).

Như vậy đồ thị của y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm trên.

b)

– Thay x = -2; y = 0 vào bất phương trình 2x – y +1 < 0 ta được: 2.(-2) – 0 + 1 = -3 < 0 là mệnh đề đúng. Do đó điểm (-2; 0) là nghiệm của bất phương trình.

– Thay x = 0; y = 0 vào bất phương trình 2x – y + 1 < 0 ta được: 2.0 – 0 + 1 = 1 < 0 là mệnh đề sai. Do đó điểm (0; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình.

– Thay x = 1; y = 1 vào bất phương trình 2x – y + 1 < 0 ta được: 2.1 – 1 + 1 = 2 < 0 là

Giải Toán 10 trang 32 Tập 1

Thực hành 3 trang 32 Toán lớp 10 Tập 1 

Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau :

a) 2x + y – 2 ≤ 0

b) x – y – 2 ≥ 0

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng d: 2x + y – 2 = 0 đi qua hai điểm A (0; 2) và B (1; 0).

Xét gốc toạ độ O (0; 0), ta thấy: O d và 2.0 + 0 – 2 = -2 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d) chứa gốc toạ độ O (Miền không tô màu trong hình vẽ).

b) Vẽ đường thẳng d: x – y – 2 = 0 đi qua hai điểm (0; -2); (2; 0).

Xét gốc toạ độ O (0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 – 0 – 2 = -2 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (Kể cả bờ d) (Miền không tô màu).

Vận dụng 2 trang 32 Toán lớp 10 Tập 1 

Biểu diễn miền nghiệm của hai bất phương trình sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) y ≥ 2

b) x ≤ 4.

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng d: y – 2 = 0 song song với trục Ox và qua điểm (0; 2).

Xét gốc toạ độ O (0; 0) ta thấy: O ∉ d và 0 – 2 = -2 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O (Kể cả bờ d) (Miền không tô màu xanh)

b) Vẽ đường thẳng c: x – 4 = 0 song song với trục Oy và qua điểm (4; 0).

Xét gốc toạ độ O (0; 0) ta thấy: O ∉ c và 0 – 4 = -4 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O (Kể cả bờ d) (Miền không tô màu hồng).

Khi đó ta có hình vẽ:

Toán lớp 10 tập 1 trang 32

Bài 1 trang 32 Toán lớp 10 tập 1

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x – 2y + 6 > 0.

a) (0 ; 0) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho không?

b) Chỉ ra ba cặp số (x ; y) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Lời giải

a) Với cặp (0 ; 0) ta có : 0 – 2.0 + 6 = 6 > 0 nên (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy (0 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình x – 2y + 6 > 0.

b)

+ Lấy cặp số (1 ; 0) ta có 1 – 2.0 + 6 = 7 > 0 nên cặp số (1 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình x – 2y + 6 > 0.

+ Lấy cặp số (0 ; 1) ta có 0 – 2.1 + 6 = 4 > 0 nên cặp số (0 ; 1) là một nghiệm của bất phương trình x – 2y + 6 > 0.

+ Lấy cặp số (-1 ; -1) ta có –1 – 2. (–1) + 6 = 7 > 0 nên cặp số (-1 ; -1) là một nghiệm của bất phương trình x – 2y + 6 > 0.

Vậy ta có ba cặp số (1 ; 0) ; (0 ; 1) ; (-1 ; -1) đều là nghiệm của bất phương trình x – 2y + 6 > 0.

c) Vẽ đường thẳng ∆ : x – 2y + 6 = 0 đi qua hai điểm A(0; 3); B(-6; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆ và (0 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình

x – 2y + 6 > 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – 2y + 6 > 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ ∆, chứa điểm O (là miền được tô màu trong hình sau).

Bài 2 trang 32 Toán lớp 10 tập 1

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) – x + y + 2 > 0

b) y + 2 ≥ 0

c ) – x + 2 ≤ 0.

Lời giải

a) Vẽ đường thẳng a: – x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A (0; – 2); B (2; 0).

Xét gốc tọa độ O (0 ; 0). Ta thấy O ∉ a và – 0 + 0 + 2 = 2 > 0.

Suy ra (0 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình – x + y + 2 > 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình – x + y + 2 > 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ a, chứa điểm O (là miền tô màu trong hình sau).

b) Vẽ đường thẳng b: y + 2 = 0 đi qua điểm C (0; -2) và song song với trục Ox

Xét gốc tọa độ O (0 ; 0). Ta thấy O ∉ b và 0 + 2 = 2 > 0

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình y + 2 ≥ 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y + 2 ≥ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ b, chứa điểm O (là miền tô màu vàng trong hình sau).

c) ) Vẽ đường thẳng c : – x + 2 = 0.đi qua điểm D (2; 0) và song song với trục Oy.

Xét gốc tọa độ O (0 ; 0). Ta thấy O ∉ c và – 0 + 2 = 2 > 0

Suy ra (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương trình – x + 2 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình – x + 2 ≤ 0.là nửa mặt phẳng kể cả bờ c, không chứa điểm O (là miền tô màu xanh trong hình sau).

Bài 3 trang 32 Toán lớp 10 tập 1

Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ oxy

a) – x + 2 + 2 (y – 2) < 2 (1 – x)

b) 3(x – 1 ) + 4(y – 2) < 5x – 3.

Lời giải

a) Ta có: – x + 2 + 2(y – 2 ) < 2(1 – x)

⇔ – x + 2 + 2(y – 2 ) – 2(1 – x) < 0

⇔ – x + 2 + 2y – 4 – 2 + 2x < 0

⇔ x + 2y – 4 < 0

Ta sẽ biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 4 < 0.

Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 4 = 0 đi qua điểm A (0; 2) và B (4 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆ và 0 + 2.0 – 4 = – 4 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x + 2y – 4 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ ∆, chứa điểm O (là miền tô màu trong hình sau).

b) Ta có: 3(x – 1 ) + 4(y – 2) < 5x – 3

⇔ 3x – 3 + 4y – 8 – 5x + 3 < 0

⇔ – 2x + 4y – 8 < 0

⇔ – x + 2y – 4 < 0

Ta sẽ biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y – 4 < 0

Vẽ đường thẳng ∆’ : – x + 2y – 4 = 0 đi qua điểm A(0; 2) và B (– 4 ; 0).

Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ ∆’ và – 0 + 2. 0 – 4 = – 4 < 0.

Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình – x + 2y – 4 < 0.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình –x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ ∆’, chứa điểm O (là miền tô màu trong hình sau).

Bài 4 trang 32 Toán lớp 10 tập 1

Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần 30 g bột cam, còn một lít nước cam loại II cần 20 g bột cam. Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha chế được. Biết rằng Cúc chỉ có thể dùng không quá 100 g bột cam. Hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Lời giải

Vì x, y là là số lít nước cam loại I và II pha chế được nên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số gam bột cam cần dùng để pha chế x lít nước cam loại I là: 30x (g).

Số gam bột cam cần dùng để pha chế y lít nước cam loại II là: 20y (g).

Số gam bột cam Cúc cần dùng để pha hai loại nước cam là : 30x + 20y (g).

Vì số bột cam Cúc có thể dùng không quá 100 g nên ta có bất phương trình : 30x + 20y ≤ 100 hay 3x + 2y ≤ 10.

Vậy ta có ba bất phương trình mô tả số lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được là:

x ≥ 0;

y ≥ 0;

3x + 2y – 10 ≤ 0.

Biểu diễn miền nghiệm của ba bất phương trình trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy ta được:

+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Ox, kể cả bờ Ox, (là miền không tô màu vàng trong hình 2).

+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục Oy, kể cả bờ Oy, (là miền không tô màu xanh trong hình 2).

+ Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y – 10 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, chứa điểm O (là miền không tô màu tím trong hình 2).

Bài 5 trang 32 Toán lớp 10 tập 1

Miền không gạch chéo (không kể bờ d) trong mỗi hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Lời giải

a) Giả sử phương trình đường thẳng d có dạng là y = ax + b

Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; 2) và (- 5; 0) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}2=a.0+b\\0=a.(-5)+b\end{array}\right.$

Giải hệ trên ta được a = $\frac{2}{5}$ b = 2. Suy ra y = $\frac{2}{5}$x + 2 hay 2x – 5y + 10 = 0.

Vậy ta có phương trình đường thẳng d là 2x – 5y + 10 = 0.

Mặt khác O (0; 0) không thuộc d và thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Mà 2.0 – 5.0 + 10 = 10 > 0.

Hơn nữa miền nghiệm không kể đường thẳng d nên bất phương trình cần tìm là 2x – 5y + 10 > 0.

b) Giả sử phương trình đường thẳng d có dạng là y = ax + b

Đường thẳng d đi qua hai điểm (3; 0) và (0; 2) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}0=a.3+b\\2=a.0+b\end{array}\right.$

Giải hệ trên ta được a = −$\frac{2}{3}$ , b = 2. Suy ra y = −$\frac{2}{3}$x + 2 hay 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy ta có phương trình đường thẳng d là 2x + 3y – 6 = 0.

Mặt khác O (0; 0) không thuộc d và không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Mà 2.0 + 3.0 – 6 = – 6 < 0.

Hơn nữa miền nghiệm của bất phương trình không kể đường thẳng d nên bất phương trình cần tìm là 2x + 3y – 6 > 0.