Toán lớp 10 tập 1 trang 37 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 37 bài 2 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 trang 37 sách Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 37

Bài 1 trang 37 Toán lớp 10 tập 1

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y\;-\;3\;\geq\;0\\x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\;;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x\;-\;2\;y\;<\;0\\x\;+\;3\;y\;>\;-\;2\\y\;-\;x\;<\;3\;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;1\\x\;\leq\;4\\x\;+\;y\;-\;5\;\leq\;0\\y\;\geq\;0.\end{array}\right.$

Lời giải

a) Hệ bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y\;-\;3\;\geq\;0\\x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\;\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

– Xác định miền nghiệm D1của bất phương trình x + y – 3 ≥ 0:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d: x + y – 3 = 0, ta có: 0 + 0 – 3 = -3 < 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y – 3 ≥ 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d1(kể cả đường thẳng d1) và không chứa gốc tọa độ O(0; 0) (như hình 5)

– Xác định miền nghiệm D2 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy và kể cả bờ Oy (như hình 5).

– Xác định miền nghiệm D3của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox và kể cả bờ Ox (như hình 5).

Vậy, miền không tô màu (bao gồm cả các bờ) trong hình 5 là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Hệ bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x\;-\;2\;y\;<\;0\\x\;+\;3\;y\;>\;-\;2\\y\;-\;x\;<\;3\;\end{array}\right.$

– Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x – 2y < 0:

Lấy điểm A(0; 1) không thuộc đường thẳng d1: x – 2y = 0, ta có: 0 – 2.1 = -2 < 0. Do đó miền nghiệm D1là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d1 (không kể đường thẳng d1) và chứa điểm A (0; 1) (như hình 6).

– Xác định miền nghiệm D2 của bất phương trình x + 3y > -2:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d2: x + 3y = – 2, ta có: 0 + 3.0 = 0 > – 2. Do đó miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d2(không kể đường thẳng d2) và chứa gốc tọa độ O (như hình 6).

– Xác định miền nghiệm D3 của bất phương trình y – x < 3:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d2: x + 3y = – 2, ta có: 0 + 3.0 = 0 > – 2.

Miền nghiệm của bất phương trình y – x < 3 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng y – x = 3 (không kể bờ) và chứa gốc tọa độ O (như hình 6)

Vậy, miền không tô màu (không bao gồm cả các bờ) trong hình 6 là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Hệ bất phương trình 

$\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;1\\x\;\leq\;4\\x\;+\;y\;-\;5\;\leq\;0\\y\;\geq\;0.\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

– Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là nửa mặt phẳng kể cả bờ x = 1 và không chứa gốc tọa độ O (như hình 7)

– Miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 4 là nửa mặt phẳng kể cả bờ x = 4 và chứa gốc tọa độ O (như hình 7).

– Miền nghiệm của bất phương trình x + y – 5 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ x + y – 5 = 0 và chứa gốc tọa độ O (như hình 7).

– Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox và kể cả bờ Ox (như hình 7).

Vậy, miền không tô màu (miền tứ giác ABCD, bao gồm cả các cạnh) trong hình 7 là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Toán lớp 10 tập 1 trang 38

Bài 2 trang 38 Toán lớp 10 tập 1

Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí cacbon dioxide (CO₂) và 0,60 kg khí sulffur dioxide (SO₂), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg CO₂ và 0,20 kg SO₂. Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng (CO₂) của nhà máy tối đa là 75 kg và SO₂ tối đa là 90 kg mỗi ngày.

a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

Lời giải

a) Gọi x (thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại A được sản xuất ra trong một ngày, y (thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại B nhà máy sản xuất ra trong một ngày.

– Hiển nhiên, ta có : x ≥ 0, y ≥ 0 và x,y ∈ .

Khi đó, số khí CO₂, SO₂ thải ra khi sản xuất x thùng thuốc trừ sâu loại A lần lượt là: 0,25x (kg) và 0,6x (kg).

Số khí CO₂, SO₂ thải ra khi sản xuất y thùng thuốc trừ sâu loại B lần lượt là: 0,5y (kg) và 0,2y (kg).

Tổng lượng khí CO₂ thải ra trong một ngày khi sản xuất x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,25x + 0,5y (kg)

Tổng lượng khí SO₂ thải ra trong một ngày khi sản xuất x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,6x + 0,2y (kg)

– Do quy định hạn chế sản lượng CO₂ của nhà máy tối đa là 75 kg và SO₂ tối đa là 90 kg mỗi ngày nên ta có các bất phương trình sau:

0,25x + 0,5y ≤ 75;

0,6x + 0,2y ≤ 90.

Vậy, ta có hệ bất phương trình trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên là:

$\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\\0\;,\;25\;x\;\;\;+\;\;\;0\;,\;5\;y\;\leq\;75\\0\;,\;6\;x\;\;\;+\;\;\;0\;,\;2\;y\;\leq\;90\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau:

Vậy, miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với x = 100 và y = 80.

Ta có, x = 100 và y = 80 thì:

$\left\{\begin{array}{l}100\;>\;0\\80\;>\;0\\0\;,\;25.100\;\;\;+\;\;\;0\;,\;5.80\;=\;65\;<\;75\\0\;,\;6.100\;\;\;+\;\;\;0\;,\;2.80\;=\;76\;<\;90\end{array}\right.$

Do đó, cặp (100; 80) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy, việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định.

c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với x = 60 và y = 160.

Ta có, x = 60 và y = 160 thì:

$\left\{\begin{array}{l}60\;>\;0\\160\;>\;0\\0\;,\;25.60\;\;\;+\;\;\;0\;,\;5.160\;=\;95\;>\;75\\0\;,\;6.60\;\;\;+\;\;\;0\;,\;2.160\;=\;68\;<\;90\end{array}\right.$

Do đó, cặp (60; 160) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày không phù hợp với quy định.

Bài 3 trang 38 Toán lớp 10 tập 1

Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải

Vì x và y lần lượt là số đèn hình con cá và số đèn ông sao mà bạn Lan làm được nên hiển nhiên ta có bất phương trình x ≥ 0, y ≥ 0 và x ∈ ℕ.

Số giờ bạn Lan cần để làm x chiếc đèn hình con cá là 2x (giờ).

Số giờ bạn Lan cần để làm y chiếc đèn ông sao là y (giờ).

Tổng số giờ cần thiết để Lan làm được x chiếc đèn con cá và y chiếc đèn ông sao là:

2x + y (giờ).

Do bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn nên ta có bất phương trình: 2x + y ≤ 10.

Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y là:

$\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\\2\;x\;\;\;+\;\;\;y\;\leq\;10\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:

– Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy (kể cả bờ là trục Oy).

– Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox (kể cả bờ là trục Ox).

– Miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 10 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 2x + y =10 và chứa gốc tọa độ O(0; 0).

Ta có hình sau:

Vậy, miền không tô màu (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\\2\;x\;\;\;+\;\;\;y\;\leq\;10\end{array}\right.$

Bài 4 trang 38 Toán lớp 10 tập 1

Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân bằng tay để bàn trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Lời giải

Gọi x (tấm), y (tấm) lần lượt là số thiệp loại nhỏ và số thiệp loại lớn mà bạn học sinh đó vẽ.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Học sinh này phải vẽ ít nhất 12 tấm nên ta có bất phương trình x + y ≥ 12.

Số giờ cần để làm x tấm thiệp nhỏ là: 2x (giờ).

Số giờ cần để làm y tấm thiệp lớn là: 3y (giờ).

Tổng số giờ để vẽ x tấm thiệp nhỏ và y tấm thiệp lớn là : 2x + 3y (giờ).

Vì học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ nên ta có bất phương trình : 2x + 3y ≤ 30.

Vậy ta có hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\\x\;\;\;+\;\;\;y\;\geq\;12\;\\2\;x\;\;\;+\;\;\;3\;y\;\leq\;30\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau:

Vậy, miền không tô màu (miền tam giác ABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình sau là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Tọa độ các đỉnh của tam giác đó là : A (15; 0); B(6; 6); C(12; 0).

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) của việc bán x tấm thiệp nhỏ và y tấm thiệp lớn.

Số tiền thu được từ x tấm thiệp nhỏ là: 10x (nghìn đồng).

Số tiền thu được từ y tấm thiệp lớn là: 20y (nghìn đồng).

Tổng số tiền thu được là: 10x + 20y (nghìn đồng).

Vậy F = 10x + 20y (nghìn đồng).

Ta phải tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho F đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F =10x + 20y trên miền tam giác ABC.

Tính các giá trị của F tại các đỉnh của tam giác, ta có:

Tại A(15 ; 0): F = 10.15 + 20.0 = 150;

Tại B(6 ; 6): F = 10.6 + 20.6 = 180;

Tại C(12 ; 0): F = 10.12 + 20.0 = 120;

F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại B (6 ; 6).

Vậy để có được nhiều tiền nhất bạn ấy cần vẽ 6 tấm thiệp nhỏ và 6 tấm thiệp lớn.

Bài 5 trang 38 Toán lớp 10 tập 1

Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn : đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau :

a) Mạnh muốn chi phí tập luyện là ít nhất.

b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là lớn nhất.

Lời giải

Gọi x (giờ) là số giờ bạn Mạnh đạp xe, y (giờ) là số giờ bạn Mạnh tập tạ trong một tuần.

Hiển nhiên ta có x ≥ 0 và y ≥ 0.

Tổng số giờ bạn Mạnh tập thể dục trong một tuần là: x + y (giờ)

Do một tuần bạn Mạnh thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục nên ta có bất phương trình sau : x + y ≤ 12.

Do mỗi giờ đạp xe tiêu hao 350 calo nên với x giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350x calo.

Mỗi giờ tập tạ tiêu hao 700 calo nên với y giờ tập tạ sẽ tiêu hao 700y calo.

Tổng số calo tiêu hao là : 350x + 700y (calo).

Mặt khác, Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Vì vậy, ta có bất phương trình : 350x + 700y ≤ 7 000, tức là : x + 2y ≤ 20.

Vậy ta có hệ bất phương trình là:

$\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\\x\;\;\;+\;\;\;y\;\leq\;12\;\\x\;\;\;+\;\;\;2\;y\;\leq\;20\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình ảnh sau:

Vậy, miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) là phần giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là : O(0 ;0) ; A (0; 10); B(4; 8); C(12; 0).

Gọi F là chi phí tập luyện.

Vì đạp xe không mất phí và tập tạ tốn chi phí 50 000 đồng/giờ nên với x giờ đạp xe và y giờ tập tạ thì tốn số tiền là : 0.x + 50 000y = 50 000y (đồng).

Vậy F =50 000y.

Tính các giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác, ta có :

Tại O(0 ; 0) : F = 50 000.0 = 0;

Tại A(0 ; 10) : F = 50 000.10 = 500 000;

Tại B(4 ; 8) : F = 50 000. 8 = 400 000 ;

Tại C(12 ; 0) : F = 50 000 . 0 = 0 ;

F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại O (0;0); C(12 ; 0).

Vậy Mạnh muốn chi phí tập luyện là ít nhất khi Mạnh không tập luyện cả hai môn thể thao trên hoặc Mạnh chỉ đạp xe 12 giờ và không tập tạ.

b) Gọi F’ là số calo tiêu hao. Khi đó F’ = 350x + 700y (calo).

Tính các giá trị của F’ tại các đỉnh của tứ giác, ta có :

Tại O(0 ; 0) : F’ = 350.0 + 700.0 = 0;

Tại A(0 ; 10) : F’ = 350.0 + 700.10 = 7 000;

Tại B(4 ; 8) : F’ = 350.4 + 700.8 = 7 000;

Tại C(12 ; 0) : F’ = 350.12 + 700.0 = 4200.

F’ đạt giá trị lớn nhất bằng 7 000 tại A(0 ; 10) và B(4 ; 8) .

Vậy Mạnh muốn số calo tiêu hao là lớn nhất thì Mạnh sẽ chỉ tập tạ trong 10 giờ hoặc đạp xe 4 giờ và tập tạ 8 giờ.