Toán lớp 10 tập 1 trang 56 Bài 2: Hàm số bậc hai

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 56 bài 2 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 56

Bài 1 trang 56 Toán lớp 10 tập 1

Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) y = 9x² + 5x + 4;

b) y = 3x³ + 2x + 1;

c) y = -4 (x + 2)³ + 2 (2x³ + 1) + 5;

d) y = 5x² + $\sqrt x$ + 2.

Lời giải

a) y = 9x² + 5x + 4 là hàm số bậc hai với a = 9, b = 5 và c = 4.

b) y = 3x³ + 2x + 1 không là hàm số bậc hai vì bậc cao nhất là bậc ba.

c) y = -4(x + 2)³ + 2(2x³ + 1) + 5

⇔ y = -4 (x³ + 3x².2 + 3.x.2² + 2³) + 4x³ + 2 + 5

⇔ y = -4x³ – 24x² – 48x – 32 + 4x³ + 2 + 5

⇔ y = – 24x² – 48x – 25

Là hàm số bậc hai với a = -24, b = -48, c = -25.

d) y = 5x² + $\sqrt{x}$ + 2 không là hàm số bậc hai vì có chứa hạng tử $\sqrt{x}$

Bài 2 trang 56 Toán lớp 10 tập 1

Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai.

a) y = mx⁴ + (m + 1)x² + x + 3;

b) y = (m – 2)x³ + (m – 1)x² + 5.

Lời giải

a) Để hàm số y = mx⁴ + (m + 1)x² + x + 3 là hàm bậc hai thì hệ số của x⁴ phải bằng 0 và hệ số của x² phải khác không tức là:

$\left\{\begin{array}{l}m\;=\;0\\m\;+\;1\;\neq\;0\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{l}m\;=\;0\\m\;\neq\;-\;1\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;m\;=\;0\;\;$

Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b) Để hàm số y = (m – 2)x³ + (m – 1)x² + 5 là hàm số bậc hai thì hệ số của x³ phải bằng 0 và hệ số của x² phải khác không tức là:

$\left\{\begin{array}{l}m\;-\;2\;=\;0\\m\;-\;1\;\neq\;0\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{l}m\;=\;2\\m\;\neq\;1\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;m\;=\;2$.

Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

Bài 3 trang 56 Toán lớp 10 tập 1

Lập bảng biến thiên của hàm số y = x² + 2x + 3. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Lời giải

Xét hàm số bậc hai: y = x² + 2x + 3 có a = 1, b = 2 và c = 3.

Đỉnh S có tọa độ x_s = $\frac{-b}{2a}= \frac{-2}{2.1}$ = −1, y_s = (-1)² + 2.(-1) + 3 = 2. Hay S (-1; 2).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = -1.

Bài 4 trang 56 Toán lớp 10 tập 1

Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax² + bx + c có f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5.

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Lời giải

Ta có

f(0) = a.0² + b.0 + c = 1 ⇔ c = 1.

f(1) = a.1² + b.1 + c = 2 ⇔ a + b + c = 2.

f(2) = a.2² + b.2 + c = 5 ⇔ 4a + 2b + c = 5.

Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}c\;=\;1\\a\;+\;b\;+\;c\;=\;2\\4\;a\;+\;2\;b\;+\;c\;=\;5\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{l}c\;=\;1\\a\;+\;b\;=\;1\\4\;a\;+\;2\;b\;=\;4\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{l}c\;=\;1\\a\;+\;b\;=\;1\\2\;a\;+\;b\;=\;2\end{array}\right.\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{l}c\;=\;1\\a\;=\;1\\b\;=\;0\end{array}\right.$

Vậy a = 1, b = 0 và c = 1.

b) Với a = 1, b = 0 và c = 1 thì ta có hàm số: y = x2 + 1.

Xét hàm số bậc hai: y = x2 + 1, có:

Đỉnh S có tọa độ x_s = $\frac{-b}{2a}= \frac{-0}{2.1}$ = 0, y_s = 0² + 1 = 1. Hay S (0; 1).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0. Do đó tập giá trị của hàm số là [1;  +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0) và đồng biến trên khoảng (0;  +∞).

Bài 5 trang 56 Toán lớp 10 tập 1

Cho hàm số y = 2x² + x + m. Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Lời giải

Xét hàm số y = 2x² + x + m có a = 2, b = 1 và c = m.

Điểm đỉnh S có tọa độ x_{S =} =$\frac b{2a}\;=\;-\frac1{2.2}\;=\;-\frac14$

Y_s= $2.\;(\;-\;\frac14\;){}^2\;+\;(\;-\;\frac{1\;}4)\;+\;m\;=\;m\;-\;\frac18$

Hàm số có a = 2 > 0 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là m – $\frac{1}{8}$

Mà giá trị nhỏ nhất bằng 5 nên m –$\frac18$= 5 ⇔ m = $\frac{41}8$

Vậy với m = $\frac{4}{18}$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5.

Bài 6 trang 56 Toán lớp 10 tập 1

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x² + 4x – 1;

b) y = -x² + 2x + 3;

c) y = -3x² + 6x;

d) y = 2x² – 5.

Lời giải

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = 2x² + 4x – 1 là một parabol (P):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = -1, tung độ y_S = -3;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Ngoài ra, phương trình 2x² + 4x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{-2\;+\;\sqrt6}2$ và x₂ =$\frac{-2\hspace{0.278em}-\hspace{0.278em}\sqrt6}2$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ

$\left(\frac{-2\;+\;\sqrt6}2;\;0\right)$ và $(\frac{-2\hspace{0.278em}-\hspace{0.278em}\sqrt6}2;\hspace{0.278em}0)$

Ta được đồ thị hàm số như sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -x² + 2x + 3 là một parabol (P):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = 1, tung độ y_S = 4;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ngoài ra, phương trình -x² + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = -1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (3; 0) và (-1; 0).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = -3x² + 6x là một parabol (P):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = 1, tung độ y_S = 3;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 0).

Ngoài ra, phương trình -3x² + 6x = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 0 và x₂ = 2 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (0; 0) và (2; 0).

Ta được đồ thị hàm số như sau:

d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = 2x² – 5 là một parabol (P):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = 0, tung độ y_S = -5;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 0 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -5).

Ngoài ra, phương trình 2x² – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁= $\sqrt{\frac52}$

và x₂ = -$\sqrt{\frac52}$

nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ $(\sqrt{\frac52}; 0)$ và ($-\sqrt{\frac52}; 0)$

Ta được đồ thị hàm số như sau:

Bài 7 trang 56 Toán lớp 10 tập 1

Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.

(P₁): y = – 2x² – 4x + 2;

(P₂): y = 3x² – 6x + 5;

(P₃): y = 4x² – 8x + 7;

(P₄): y = -3x² – 6x + 1.

Lời giải

+) (P₁): y = – 2x² – 4x + 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = – 2x² – 4x + 2 là một parabol (P₁):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = -1, tung độ y_S = 4;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₁) là đường cong màu xanh lá cây.

+) (P₂): y = 3x² – 6x + 5;

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 3x² – 6x + 5 là một parabol (P₂):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = 1, tung độ y_S = 2;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₂) là đường cong màu xanh dương.

+) (P₃): y = 4x² – 8x + 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 4x² – 8x + 7 là một parabol (P₃):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = 1, tung độ y_S = 3;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay lên trên vì a > 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₃) là đường cong màu đỏ.

+) (P₄): y = -3x² – 6x + 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = -3x² – 6x – 1 là một parabol (P₄):

– Có đỉnh S với hoành độ x_S = -1, tung độ y_S = 2;

– Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

– Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;

– Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).

Quan sát trên hình vẽ, ta thấy đồ thị tương thích với hàm số (P₄) là đường cong màu cam.

Toán lớp 10 tập 1 trang 57

Bài 8 trang 57 Toán lớp 10 tập 1

Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số có dạng parabol nên hàm số có dạng y = ax² + bx + c với a, b, c ∈ và a ≠ 0. Hơn nữa đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên trên nên a > 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tọa độ (0; -4) nên ta có: 4 = a.0² + b.0 + c ⇔ c = 4.

Điểm đỉnh S của đồ thị hàm số có tọa độ x_S = 1,5 và y_S = -6.25

$\Rightarrow x_S\;=\;-\frac b{2a}\;=\;1,5\;\Leftrightarrow\;b\;=\;-3a$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm (-1; 0) và (4; 0) nên thay x = -1 và y = 0 vào hàm số ta được: 0 = a(-1)² + b(-1) + c

⇔ 0 = a – b + c

Mà b = – 3a và c = 4 nên ta có: a + 3a + 4 = 0 ⇔ a = 1 ⇒ b = -3.

Vậy hàm số cần tìm là y = x² – 3x + 4.

Bài 9 trang 57 Toán lớp 10 tập 1

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

– Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

– Nhịp cầu dài 30m.

– Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Lời giải

Hình dây văng có dạng parabol, nên ta có hình vẽ sau:

Khi đó độ dài dây cáp dọc ở mỗi mặt bên là tung độ của điểm biểu diễn tương ứng.

Ở mỗi mặt: có 21 dây cáp dọc, tương ứng cho 20 khoảng cách giữa chúng.

Khoảng cách giữa hai dây cáp liền kề là: 30:20 = 1,5m

Khi đó x₀=0; x₁=1,5; x₂=3;…….. x_n=1,5.n

Dễ thấy các điểm có toạ độ (0;5), (x₁₀;0,8), (x₂₀;5) thuộc đồ thị hàm số

Suy ra f(0)= a.0²+ b.0 +c = 5 => c= 5

Và f(1) = a.15²+b.15+c= 0,8 ⬄ 225a+15b +5=0,8

f(2)= a.30²+b.30+c =5 ⬄ 900a+30b+5= 5

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}225a+15b+5=0,8&&\\900a+30b+5=5&&\\\end{matrix}\right.$

• $\begin{cases}a=\frac{7}{375}\\b=0\end{cases}$

Như vậy y=$\frac{7}{375}x^2-\frac{14}{25}x+5$

Gọi y₀, y_1,y₂…….y₂₀ là tung độ của các điểm có hoành độ lần lượt là x₀,x_1,x₂,………x₂₀

Ta có

$\begin{align*}y_0&=5\\y_1&=\frac{7}{375}\cdot 1.5^2-\frac{14}{25}\cdot 1.5+5\\y_2&=\frac{7}{375}\cdot(2\cdot 1.5)^2-\frac{14}{25}\cdot(2\cdot 1.5)+5=2^2\cdot\frac{7}{375}\cdot 1.5^2-2\cdot\frac{14}{25}\cdot 1.5+5\\&\vdots\\y_n&=\frac{7}{375}\cdot(n\cdot 1.5)^2-\frac{14}{25}\cdot(n\cdot 1.5)+5=n^2\cdot\frac{7}{375}\cdot 1.5^2-n\cdot\frac{14}{25}\cdot 1.5+5\\\Rightarrow T&=y_0+y_1+y_2+\cdots+y_{20}\\&=5+\frac{7}{375}\cdot 1.5^2\cdot(1^2+2^2+\cdots+20^2)-\frac{14}{25}\cdot 1.5\cdot(1+2+\cdots+20)+5\cdot 20\end{align*}$

Mà

$\begin{align*}1^2+2^2+\cdots+20^2&=2870;\\1+2+\cdots+20&=210\\\Rightarrow T&=5+\frac{7}{375}\cdot 1.5^2\cdot 2870-\frac{14}{25}\cdot 1.5\cdot 210+5\cdot 20\\&\approx 49.14\end{align*}$ (m)

Do cần tính thêm 5% chiều dài để neo cố định và cần 2 thành mặt cầu nên tổng chiều dài của các dây cáp cần sử dụng là: 49,14.2.105%=103,2 m

Vậy chiều dài tổng công của các dây cáp dọc hai mặt bên là 103,2 m