Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 65 bài 1 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 65

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10 tập 1

Cho biết sin 30° = $\frac{1}{2}$; sin 60° = $\frac{\sqrt3}2$ ; tan 45° = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos 30° + sin 150° + tan 135°.

Lời giải

Ta có E = 2cos 30° + sin 150° + tan 135°

= 2sin (90° – 30°) + sin (180° – 30°) + tan (180° – 45°)

= 2sin 60° + sin 30° – tan 45° = = $2.\frac{\sqrt3}2\;+\;\frac12\;-\;1\;=\;\frac{2\sqrt3\;-\;1}2$

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 tập 1

Chứng minh rằng:

a) sin 20° = sin 160°;

b) cos 50° = – cos 130°.

Lời giải

a) Ta có sin 20° = sin (180° – 20°) = sin 160° (hai góc bù nhau).

Vậy sin 20° = sin 160°.

b) Ta có: cos 50° = – cos (180° – 50°) = – cos 130° (hai góc bù nhau).

Vậy cos 50° = – cos 130°.

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 tập 1

Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:

a) cos α = $\frac{-\sqrt2}2$;

b) sin α = 0;

c) tan α = 1;

d) cos α không xác định.

Lời giải

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

a) cos α = $\frac{-\sqrt2}2$ ⇒ α = 135°;

Vậy α = 135°.

b) sin α = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;

Vậy α = 0° hoặc α = 180°.

c) tanα = 1 ⇒ α = 45°;

Vậy α = 45°.

d) cos α không xác định ⇒ sin α = 0 ⇒ α = 0° hoặc α = 180°;

Vậy α = 0° hoặc α = 180°.

Bài 4 trang 65 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) sin A = sin (B + C);

b) cos A = – cos (B + C).

Lời giải

a) Trong tam giác ABC ta có: .

Khi đó sin A = sin (180° – A) = sin (B + C).

Vậy sin A = sin (B + C).

b) cos A = – cos (180° – A) = – cos (B + C).

Vậy cos A = – cos (B + C).

Bài 5 trang 65 Toán lớp 10 tập 1

Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có:

a) cos²α + sin²α = 1;

b) tan α . cos α = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) 1 + tan² α = $\frac1{\cos^2\alpha}$ (α ≠ 90°);

d) 1 + cos² α = $\frac1{\sin^2\alpha}$ (0° < α < 180°).

Lời giải

a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M (x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$= α

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P có cạnh huyền OM = 1.

Ta có: OP² + MP² = OM²

Mà OP = |x₀| ; MP = OQ = y₀ và OM = 1

Suy ra : |x₀|² + y₀² = 1 tức là x₀² + y₀² = 1 (vì |x₀|² = x₀²)

Mặt khác, theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc ta có:

sin α = y₀

cos α = x₀

Suy ra cos² α + sin² α = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin² α + cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α < 180°, α ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

$\widehat{xOM}$= α.

Khi đó tan α = $\frac{y_0}{x_0}$; cos α = $\frac{x_0}{y_0}$

Suy ra tan α . cos α = $\frac{y_0}{x_0}.\frac{x_0}{y_0}$= 1

Vậy tanα . cosα = 1 (0° < α < 180°, α ≠ 90°).

c) Với α ≠ 90° ; tanα = và x₀² + y₀² = sin ²α + cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan ² α = 1x²0 = 1cos2α

Vậy 1 + tan ² α = $\frac1{\cos^2\alpha}$ (α ≠ 90°).

d) Với 0° < α < 180° ta có cosα = $\frac{x_0}{y_0}$  và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cos²α = $1\;+\;\left(\frac{x_0}{y_0}\right)^2\;=\;1\;+\;\left(\frac{x_0^2}{y_0^2}\right)\;=\;\left(\frac{x_0^2\;+\;y_0^2}{y_0^2}\right)\;=\;\frac1{y_0^2}\;=\;\frac1{\sin^2\;\alpha}$

Vậy 1 + cos ² α =$\frac1{\sin^2\;\alpha}$ (0 ^o < α < 180°).

Bài 6 trang 65 Toán 10 tập 1

Cho góc α với cosα = $-\frac{\sqrt2}2$ Tính giá trị của biểu thức A = 2sin ² α + 5cos ² α .

Lời giải

Ta có A = 2sin²α + 5cos²α

= 2sin²α + 2cos²α + 3cos²α

= 2(cos²α + sin²α ) + 3cos²α

=  2 . 1 + 3.$\left(-\frac{\sqrt2}2\right)^2\;=\;\;2\;+\;3\;.\;\frac12\;=\;\frac72$

Vậy A = $\frac72$

Bài 7 trang 65 Toán 10 tập 1

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính: sin 168°45’33”; cos 17°22’35”; tan 156°26’39”; cos 56°36’42”.

b) Tìm α (0° ≤ α ≤ 180°) trong các trường hợp sau:

i) sinα = 0,862;

ii) cosα = – 0,567;

iii) tanα = 0,334.

Lời giải

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

sin 168°45’33” ≈ 0,1949334051;

cos 17°22’35” ≈ 0,9543634797;

tan 156°26’39” ≈ – 0,4359715781;

cos 56°36’42” ≈ 0,6590863967.

b)

i) sinα = 0,862 ⇒ α ≈ 59°32’31”.

ii) cosα = – 0,567 ⇒ α ≈ 124°32’29”.

iii) tanα = 0,334 ⇒ α ≈ 18°28’10”.