Toán lớp 10 tập 1 trang 72 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 72 bài 2 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 72

Bài 1 trang 72 Toán lớp 10 tập 1

Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin ta có :

x2 = 6,52 + 52 – 2 . 6,5 . 5 . cos72° ≈ 47,2

⇒ x = $\sqrt{47,2}$≈ 6,9.

Vậy x ≈ 6,9.

b) ) Áp dụng định lí côsin ta có :

$x2=\left(\frac13\right)^2\;+\;\left(\frac15\right)^2\;-\;2\;.\;\frac13\;.\;\frac15\;.\;\cos123^o\;\approx\;0,22\\\Rightarrow x\;=\;\sqrt{0,22}\;\approx\;0,47$

Vậy x ≈ 0,47.

Bài 2 trang 72 Toán lớp 10 tập 1

Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.

Lời giải

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{AB}{\sin C}\;=\;\frac{AC}{\sin\;B}\;\Rightarrow\;\frac c{\sin105^o}\;=\;\frac{12}{\sin35^o}\;\Rightarrow\;c=\;\frac{12\sin105^o}{35^o}\;\approx\;20,21$

Vậy c ≈ 20,21.

Bài 3 trang 72 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152,  B^ = 79^o,  C^ = 61^o. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Lời giải

Tam giác ABC có:

Áp dụng định lí sin ta có:  

Toán lớp 10 tập 1 trang 73

Bài 4 trang 73 Toán lớp 10 tập 1

Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Lời giải

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

Tam giác ABC có 

Vậy các góc của tam giác ABC là: $\widehat A$ ≈ 82°, $\widehat B$ = 60°; $\widehat C$= 38°

Bài 5 trang 73 Toán lớp 10 tập 1

Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°

Lời giải

Đặt tên các đỉnh của lá cờ hình tam giác như sau:

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 90 cm,  = 35^o

Áp dụng công thức tính diện tích ta có diện tích tam giác ABC là:

$S\;=\;\frac12\;.\;AC\;.\;AB\;.\;\sin\;A\;=\;\frac12\;.\;90\;.\;90\;.\;\sin35^o\;\approx\;2323\;(cm^2)$.

Vậy diện tích của lá cờ khoảng 2323 cm².

Bài 6 trang 73 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và  A^ = 60^o.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Lời giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S\;=\;\frac12\;.\;AC\;.\;AB\;.\;\sin A\;=\;\frac12\;.\;6\;.\;8\;.\;\sin60^o\;=\;\frac12\;.\;6\;.\;8\;.\;\frac{\sqrt3}2\;=\;12\sqrt3\;\approx\;20,8$

Vậy diện tích tam giác ABC là 20,8 (đơn vị diện tích).

b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 6² + 8² – 2.6.8.cos60° = 52

⇒ BC = $\sqrt{52}$≈ 7,2.

Mặt khác diện tích tam giác ABC:

$S\;=\;\frac{AB\;.\;AC\;.\;BC}{4R}\;\Rightarrow\;R\;=\;\frac{AB\;.\;AC\;.\;BC}{4S}\;=\;\frac{6\;.\;8\;.\;\sqrt{52}}{4\;.\;12\sqrt3}\;\approx\;4\;,\;2$

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có IA = IB = IC = R = 4,2.

Nửa chu vi của tam giác IBC:

$p\;=\;\frac{IB\;+\;IC\;+\;BC}2\;=\;\frac{4,2\;+\;4,2\;+\;7,2}2\;=\;7,8\\$

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác IBC:

$S\;=\;\sqrt{7,8\;.\;(7,8\;-\;4,2)\;.\;(7,8\;-\;4,2)\;.\;(7,8\;-\;7,2)}\;\approx\;\sqrt{60,7}\;\approx\;7,8$

Vậy diện tích tam giác IBC là 7,8 (đơn vị diện tích).

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S\;=\;\frac12\;\;AC\;.\;AB\;.\;\sin A\;=\;\frac12\;.\;6\;.\;8\;.\;\sin\;60^o\;=\;\frac12\;.\;6\;.\;8\;.\;\frac{\sqrt3}2\;=\;12\sqrt3\;\approx\;20\;,\;8$

Vậy diện tích tam giác ABC là 20,8 (đơn vị diện tích).

b) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 6² + 8² – 2.6.8.cos60° = 52

⇒ BC = $\sqrt{52}$≈ 7,2.

Mặt khác diện tích tam giác ABC:

$S\;=\;\frac{AB\;.\;AC\;.\;BC}{4R}\;\Rightarrow\;R\;=\;\frac{AB\;.\;AC\;.\;BC}{4S}\;=\;\frac{6\;.\;8\;.\;\sqrt{52}}{4\;.\;12\sqrt3}\;\approx\;4,2$

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có IA = IB = IC = R = 4,2.

Nửa chu vi của tam giác IBC:

$p\;=\;\frac{IB\;+\;IC\;+\;BC}2\;=\;\frac{4,2\;+\;4,2\;+\;7,2}2\;=\;7\;,\;8$

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác IBC:

$S\;=\;\sqrt{7,8\;.\;(7,8\;-\;4,2)\;.\;(7,8\;-\;4,2)\;.\;(7,8\;-\;7,2)}\;\approx\;\sqrt{60,7}\;\approx\;7,8$

Vậy diện tích tam giác IBC là 7,8 (đơn vị diện tích).

Bài 7 trang 73 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Lời giải

a) Nửa chu vi của tam giác ABC là:

$p\;=\;\frac{15+18+27}2\;=\;30$

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác ABC là:

$S\;=\;\sqrt{30.(30-15).(30-18).(30-27)}\;=\;\sqrt{16200}\;=\;90\sqrt2$

Mặt khác S = pr (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

Suy ra

$r\;=\;\frac Sp\;=\;\frac{90\sqrt2}{30}\;=\;3\sqrt2$

Vậy diện tích tam giác ABC là $90\sqrt{2}$ (đơn vị diện tích)

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là  $3\sqrt{2}$ (đơn vị dộ dài).

b) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G chia tam giác ABC thành ba tam giác GAB, GAC, GBC có diện tích bằng nhau.

Suy ra

$S_{GBC}\ =\ \frac{S_{ABC}}{3}\ =\ \frac{90\sqrt{2}}{3}\ =\ 30\sqrt{2}$

Vậy diện tích của tam giác GBC là:  $30\sqrt{2}$ (đơn vị diện tích).

Bài 8 trang 73 Toán lớp 10 tập 1

Cho h_a là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức h_a = 2RsinBsinC.

Lời giải

Bài 9 trang 73 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh

$\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}\;=\;\frac{\;BD\;.\;BE}{BA\;.\;BC}$

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = 22. Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

S_BDE= $\frac{1}{2}$ . BD . BE . sinB

S_ABC= $\frac{1}{2}$ . BA . BC . sinB

Suy ra $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}\;=\;\frac{{\displaystyle\frac12}\;BD\;.\;BE\;.\;\sin\;B}{{\displaystyle\frac12}\;BA\;.\;BC\;.\;\sin\;B}\;\;=\;\frac{BD\;.\;BE\;}{BA\;.\;BC}$

Vậy $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}\;=\;\frac{BD\;.\;BE}{BA\;.\;BC}$

Bài 10 trang 73 Toán lớp 10 tập 1

Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh S = $\frac{1}{2}$  x y sinα

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Lời giải

a) Ta có S_ABCD = S_ABD + S_CBD.

Vẽ AH và CK vuông góc với BD tại H và K.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có : AH = AI.sinα ; CK = CI.sinα.

b) Nếu AC ⊥ BD thì sinα = sin90° = 1, khi đó S_ABCD= $\frac{1}{2}$ x.y

Như vậy nếu tứ giác lồi có hai đường chéo vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác đó bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.