Toán lớp 10 tập 1 trang 77 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 77 bài 3 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 77

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 tập 1

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB = 14, AC = 23,  $\widehat{A}$ = 125^o;

b) BC = 22,  $\widehat{B}$ = 64^o, $\widehat{C}$ = 38^o;

c) AC = 22,  $\widehat{B}$ = 120^o, $\widehat{C}$ = 28^o;

d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = 14² + 23² – 2.14.23.cos125° ≈ 1 094,4.

$\Rightarrow\;BC\;\approx\;\sqrt{1094,4}\;\approx33,1$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

$\cos B\;=\;\frac{AB^2\;+\;BC^2\;-\;AC^2}{2\;.\;AB\;.\;BC}\;=\;\frac{14^2\;+\;33,1^2\;-\;23^2}{2\;.\;14\;.\;33,1}\;\approx\;0\;,\;823\Rightarrow\;B\;\approx\;34^o37\;$

Mặt khác tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$= 180^o ⇒ $\widehat{C}$ = 180^o − $\widehat{A}$+$\widehat{B}$ = 180^o − (125^o + 34^o37′) = 20^o23′

Vậy tam giác ABC có:AB = 14, AC = 23, BC ≈ 33,1

$\widehat{A}$ = 125^o;  $\widehat{B}$≈ 34^o37′; $\widehat{C}$  ≈ 20^o23′

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 tập 1

Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AB² = AC² + BC² – 2 . AC . BC . cosC = 10² + 8² – 2 . 10 . 8 . cos70° ≈ 109,3

⇒ AB ≈ $\sqrt{109,3}$≈ 10,5

Ta có: (AC + CB) – AB = (10 + 8) – 10,5 = 7,5.

Vậy vì không thể nối trực tiếp từ A đến B nên chiều dài dây tăng thêm 7,5 km.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 tập 1

Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.

Lời giải

Gọi A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn vị trí mắt của người quan sát, tâm cánh quạt, giao của hướng mắt nằm ngang và thân của quạt gió, vị trí chân cây quạt.

Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có: tanA = $\frac{BC}{AC}\;=\;\frac{BC}{16}$

⇒ BC = 16 . tan A = 16 . tan56,5° ≈ 24,2 m

Do đó: BD = BC + CD = 24,2 + 1,5 = 25,7 m.

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất khoảng 25,7 m.

Toán lớp 10 tập 1 trang 78

Bài 4 trang 78 Toán lớp 10 tập 1

Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).

Lời giải

Đặt BD = x km, khi đó ta có CB = BD + CD = x + 1.

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

$\tan\;\widehat{ACB}\;=\;\tan32^o\;=\;\frac{AB}{CB}\;=\;\frac{AB}{x\;+\;1}\;\Rightarrow\;AB\;=\;(x\;+\;1)\;\tan32^o\;=\;x\;\tan32^o\;+\;\tan32^o\;\;\;\;\;\;(1)$

Trong tam giác ABD vuông tại B ta có:

$\tan\;\widehat{ADB}\;=\;\tan40^o\;=\;\frac{AB}{BD}\;=\;\frac{AB}x\;\Rightarrow\;AB\;=\;x\;\tan40^o\;\;\;\;\;$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $x\;\tan32^o\;+\;\tan32^o\;=\;x\;\tan40^o\;\Rightarrow\;x\;=\;\frac{\tan32^o}{\tan40^o\;-\;\tan32^o}\;\approx\;2\;,\;92\;\;$

Suy ra AB = x.tan40° ≈ 2,92 . tan40° ≈ 2,45 km.

Vậy chiều cao AB của một ngọn núi khoảng 2,45 km.

Bài 5 trang 78 Toán lớp 10 tập 1

Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Lời giải

Gọi R là vị trí của khinh khí cầu.

Do quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62° nên $\widehat{RPQ}$ = 62^o − 32^o = 30^o

Do quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu là 70° nên

$\widehat{RPQ}$ = 180^o − (70^o − 32^o) = 142^o

Tam giác RPQ có:

$\widehat R+\widehat{RPQ}+\widehat{RQP}=180o\widehat R=180o(\widehat{RPQ}+\widehat{RQP})$ = 180^o − (30^o + 142^o) = 8^o

Áp dụng định lí sin cho tam giác RPQ ta có:

$\frac{RQ}{\sin\widehat{RPQ}}\;\;=\;\frac{PQ}{\sin R}\;\Rightarrow\frac{RQ}{\sin30^o}\;=\;\frac{60}{\sin8^o}\;\Rightarrow\;RQ\;=\;\frac{60\;\sin30^o}{\sin8^o}\;\approx\;215,6$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu khoảng 215,6 m.

Bài 6 trang 78 Toán lớp 10 tập 1

Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Lời giải

Khi đó ta có các tam giác ABD và ACD vuông tại D.

$\widehat{BAD}\;=\;62^o;\;\;\widehat{CAD}\;=\;54^o;\;\;\widehat{BAC}\;=\;43^o;\;AD\;=\;352\;m.$

Trong tam giác ABD vuông tại D ta có:

$\cos\;\widehat{BAD}\;=\;\cos62^o\;=\;\frac{AD}{AB}\;=\;\frac{352}{AB}\;\Rightarrow\;AB\;=\;\frac{352}{\cos62^o}\;\approx\;749,8$

Trong tam giác ACD vuông tại D ta có:

${\cos\hspace{0.278em}}\widehat{CAD}\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\cos54^o\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\frac{AD}{AC}\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\frac{352}{AC}\hspace{0.278em}\Rightarrow\hspace{0.278em}AC\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\frac{352}{\cos54^o}\hspace{0.278em}\approx\hspace{0.278em}598,9$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos $\widehat{BAC}$= 749,8² + 598,9² – 2.749,8.598,9. cos43° ≈ 264 044,9

⇒ BC = $\sqrt{264044\;,\;9}\;\approx\;513,9\;\;m$

Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc khoảng 513,9 m.