Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 93 bài 2 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 93

Bài 1 trang 93 Toán lớp 10 tập 1

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {0;}$

b) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD}$

Hướng dẫn:

$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$$\Rightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow 0$

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\left({\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}}\right)+\left({\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}}\right)=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0})$

Bài 2 trang 93 Toán lớp 10 tập 1

Cho tứ giác ABCD, thực hiện cả phép cộng và trừ vectơ sau:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA};$

b) $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD}$

c) $\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD}$

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA}$ = $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)$ = $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$

b) $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DB}$

c) $\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB}$

Bài 3 trang 93 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ:

a) $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC}$ ;

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ ;

c) $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC}$ .

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = a$

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}AD=2AO=2\sqrt{A{B^2}-B{O^2}}=2\sqrt{{a^2}-{{\left({\frac{a}{2}}\right)}^2}}=a\sqrt 3\Rightarrow\left|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}\right|=\left|{\overrightarrow{AD}}\right|=AD=a\sqrt 3$

c) $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a$

Bài 4 trang 93 Toán lớp 10 tập 1

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OC;}$

b) $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn

a) $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA}$

$\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CD}$

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$

Suy ra:

$\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OC}$

b) $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {DC} = (\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OC}) + \overrightarrow {DC} \\= \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow 0$

Bài 5 trang 93 Toán lớp 10 tập 1

Cho ba lực $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của  $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ đều là 10 N và $\widehat {AMB} = 90^\circ$ Tìm độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_3}}$

Hướng dẫn giải:

Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

Dựng hình bình hành MADB, khi đó: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB}= \overrightarrow {MD}$

$\Rightarrow\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{MD},\overrightarrow{MC}$

là hai vecto đối nhau

⇒MD=MC

Xét hình bình hành MADB, ta có: AM=AB và $\widehat {AMB} = 90^\circ$

MADB là hình vuông, cạnh AB=10

$\Rightarrow MC = MD = AB. \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{{F_3}}l\left|{\overrightarrow{{F_3}}}\right|=\left|{\overrightarrow{MC}}\right|=MC=10\sqrt 2$(N)

Bài 6 trang 93 Toán 10 tập 1

Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\overrightarrow F$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\overrightarrow {{F_1}}$ và lực cản $\overrightarrow {{F_2}}$ (Hình 16). Cho biết $\alpha = 30^\circ$ và $\left| {\overrightarrow F } \right| = a.$Tính $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|$ và $\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|$ theo a

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu các điểm như hình dưới.

Khi đó các lực $\overrightarrow F ,\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ lần lượt là $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB}$

Ta có α = $\widehat{BAx}$ = 30⁰ => $\widehat{CAB}$= 60⁰

AB=AC=AC.sin $\widehat{CAB}$ = α.sin 60⁰= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $\left|{\overrightarrow{{F_1}}}\right|=\frac{{a\sqrt 3}}{2};\left|{\overrightarrow{{F_2}}}\right|=\frac{a}{2}$

Bài 7 trang 93 Toán 10 tập 1

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn

$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow 0;\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0;\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow 0$

Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow {KA} ,\overrightarrow {GH} ,\overrightarrow {AG}$ .

Hướng dẫn:

Ta có AC= AB$\sqrt{2}$=a$\sqrt{2}$

+) $\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0$ ,

Suy ra K là trung điểm $AC\Rightarrow AK=\frac{1}{2}.a\sqrt 2=\frac{{a\sqrt 2}}{2}$

+) $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0$,  suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow DH = \frac{2}{3}DK = \frac{1}{3}DB$ (1)

+) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$, suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow BG = \frac{2}{3}BK = \frac{1}{3}BD$ (2)

(1,2) $\Rightarrow HG = \frac{1}{3}BD=\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$

Mà KG = KH = $\frac{1}{2}HG= \frac{{a\sqrt 2 }}{6}$ (2)

$\Rightarrow AG = \sqrt {A{K^2} + G{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow {KA}\right| =\frac{{a\sqrt 2 }}{2} ,\left|\overrightarrow {GH}\right|=\frac{{a\sqrt 2 }}{3} ,\left|\overrightarrow {AG}\right|=\frac{{a\sqrt 5 }}{3}$ .

Bài 8 trang 93 Toán 10 tập 1

Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Hướng dẫn giải:

Gọi vecto vận tốc của tàu là $\overrightarrow {AB}$ , vecto vận tốc của dòng nước là vecto $\overrightarrow {BC}$

Ta có vectơ tổng là $\overrightarrow F = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Độ dài vectơ tổng là

$\left|{\overrightarrow F}\right|=\left|{\overrightarrow{AC}}\right|=AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{{{30}^2}+{{10}^2}}=10\sqrt{10}$(km/h)

Vậy độ dài vecto tổng là $10\sqrt {10}$ (km/h).