Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 97 bài 3 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 97

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 tập 1

Cho hình bình hành ABCD D có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO}$

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC}$

Hướng dẫn

$\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{MO}$

a)$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow 0+\overrightarrow 0=4\overrightarrow{MO}\\\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO}=4\overrightarrow{MO}$ (Luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có : $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

Suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\left({\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}\right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 tập 1

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN}$

b) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}$

Hướng dẫn

a)$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}\\=\left({\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}}\right)+\left({\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MN}}\right)+\left({\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}}\right)=\overrightarrow 0+2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow 0=2\overrightarrow{MN}$

b) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}$

$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND}$

$\left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}$

Mặt khác ta có: : $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN}$

Suy ra $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}$

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 tập 1

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = – 4\overrightarrow {MB} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}}$ = $\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = \frac{{\left| { – 4\overrightarrow {MB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = 4$ và hai vectơ $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho $\frac{{MA}}{{MB}}$ = 4

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 tập 1

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng

$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{MD}$= $4\overrightarrow{MG}$

Hướng dẫn

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FC} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FD} } \right)\end{array}$

= $\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} \overrightarrow { + MG} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right) + \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} } \right)$

= $4\overrightarrow {MG} + 2.\overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MG}$

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 tập 1

Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow b$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow a$ của máy bay A

Hướng dẫn giải:

Vecto $\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b$ là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó $\left| {\overrightarrow a } \right|,\;\left| {\overrightarrow b } \right|$ lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.

Ta có:$\left| {\overrightarrow a } \right| = 600,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 800$

$\Rightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{800}}{{600}} = \frac{4}{3}$

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó $\overrightarrow b = – \frac{4}{3}\overrightarrow a$

Bài 6 trang 97 Toán 10 tập 1

Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = 4\overrightarrow {MO}$

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OB} = – \overrightarrow {BA}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}$

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho OB = $\frac{1}{4}$AB

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\left({\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}}\right)+3\left({\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}}\right)\\=\left({\overrightarrow{MO}+3\overrightarrow{MO}}\right)+\left({\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}\right)\\=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow 0=4\overrightarrow{MO}.(pcm)\end{array}$

Bài 7 trang 97 Toán 10 tập 1

Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow {MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {NB} ,\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {PA}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP}$

theo hai vectơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

+) $\overrightarrow {MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {MB}$

và $\overrightarrow {BC}$

cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{{BC}}{{MB}} = 2$

$\Rightarrow M$

nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho MB = $\frac{1}{2}$BC

$\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{NB}\Rightarrow 4\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\overrightarrow{NB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$

⇒N thuộc đoạn thẳng AB và NB=$\frac{{1}}{{4}}$ AB

+ $\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {PA} \Leftrightarrow \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PA} = \overrightarrow 0$

Suy ra P là trung điểm của CA

b) $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \\= \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}$

c) Ta có:

$\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA}$ ; $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MP} = 2\overrightarrow {MN}$

Vậy M,N,P thẳng hàng