Toán lớp 10 tập 2 trang 24 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Giải  toán lớp 10 tập 2 trang 24 bài 17 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 2 trang 24

Bài 6.15 trang 24 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a. $3x^{2}-4x+1$

b. $x^{2}+2x+1$

c. $-x^{2}+3x-2$

d. $-x^{2}+x-1$

Hướng dẫn:

a. $f(x) = 3x^{2}-4x+1, \Delta >0, a>0$, có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là $1$ và $\frac{1}{3}$.

Vậy $f(x) > 0$ với mọi $x \in \left( -\infty; \frac{1}{3} \right) \cup \left( 1; +\infty \right)$ và $f(x) < 0$ với mọi $x \in \left( \frac{1}{3}; 1 \right)$.

b. $f(x) = x^{2} + 2x + 1, \Delta = 0, a > 0$, có nghiệm kép $x = -1$.

Vậy $f(x) > 0$ với mọi $x \neq -1$.

c. $f(x) = -x^{2} + 3x – 2, \Delta > 0, a < 0$, có 2 nghiệm phân biệt lần lượt là $1$ và $2$.

Vậy $f(x) < 0$ với mọi $x \in \left( -\infty; 1 \right) \cup \left( 2; +\infty \right)$ và $f(x) > 0$ với mọi $x \in \left( 1; 2 \right)$.

d. $f(x) = -x^{2} + x – 1, \Delta < 0, a < 0$.

Suy ra $f(x)$ luôn âm với mọi số thực $x$.

Bài 6.16 trang 24 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Giải các bất phương trình bậc hai:

a. $x^{2}-1 \geq 0$

b. $x^{2}-2x-1 < 0$

c. $-3x^{2} + 12x + 10 \leq 0$

d. $5x^{2} + x + 1 \geq 0$

Hướng dẫn:

a. $x^{2}-1$ có $\Delta > 0$, $a > 0$, 2 nghiệm phân biệt lần lượt là $-1$ và $1$.

$x^{2}-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left( -\infty; -1 \right) \cup \left( 1; +\infty \right)$

Vậy tập nghiệm là $S = \left( -\infty; -1 \right) \cup \left( 1; +\infty \right)$.

b. $x^{2}-2x-1$ có $\Delta = 0$, $a > 0$, nghiệm kép là $x = -1$.

Nên bất phương trình $x^{2}-2x-1 < 0$ vô nghiệm.

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

c. $-3x^{2} + 12x + 10$ có $\Delta > 0$, $a < 0$, 2 nghiệm phân biệt lần lượt là $\sqrt{\frac{13}{3}} + 2$ và $-\sqrt{\frac{13}{3}} + 2$.

$-3x^{2} + 12x + 10 \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}} + 2 \right] \cup \left[ -\sqrt{\frac{13}{3}} + 2; +\infty \right)$

Vậy tập nghiệm là $S = \left( -\infty; \sqrt{\frac{13}{3}} + 2 \right] \cup \left[ -\sqrt{\frac{13}{3}} + 2; +\infty \right)$.

d. $5x^{2} + x + 1$ có $\Delta < 0, a > 0$ nên $5x^{2} + x + 1 > 0$ với mọi số thực $x$.

Vậy tập nghiệm là $S = \mathbb{R}$.

Bài 6.17 trang 24 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tìm các giá trị của tham số $m$ để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$.

$x^{2} + (m+1)x + 2m + 3$

Hướng dẫn:

$x^{2} + (m+1)x + 2m + 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =(m+1)^{2}-4.(2m+3)<0\\ a=1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^{2}-6m-11<0$

Bài 6.18 trang 24 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu vQ = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giấy, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Hướng dẫn:

Chọn trục Oy thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại điểm ném và gốc thời gian là lúc ném.

Có $y= v_{o}t-g\frac{t^{2}}{2}=20t+5t^{2}$ , với g là gia tốc tự do, lấy g = 10

Nếu vật cách mặt đất 100m thì quãng đường vật đã đi được là y = 320 – 100 = 220 m.

Để vật đó cách mặt đất không quá 100m, thì quãng đường y đi được của vật phải lớn hơn 220.

Ta có bất phương trình:$20t+5t^{2}>220$

$\Leftrightarrow 5t^{2}+20t-220>0$

$\Leftrightarrow t>-2+4\sqrt{3}\approx 4,93$ hoặc $t<-2-4\sqrt{3}\approx -8,93$ (loại)

Vậy sau ít nhất 4,93 giấy thì vật đó cách mặt đất không quá 100m.

Bài 6.19 trang 24 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Toán lớp 10 tập 2 trang Bài 17

Hướng dẫn:

AM = x, AB = 4 => MB = 4 -x, nên bán kính đường tròn đường kính AM là $\frac{x}{2}$

, bán kính đường tròn đường kính MB là $\frac{4-x}{2}.$

Diện tích hình tròn đường kính AM là: $S_{1}=\pi \frac{x^{2}}{4}.$

Diện tích hình tròn đường kính MB là:$S_{2}=\pi \frac{(4-x)^{2}}{4}.$

Diện tích hình tròn đường kính AB là:S=$\pi .16.$

Diện tích $S(x) = \pi .16- \pi \frac{x^{2}}{4}-\pi \frac{(4-x)^{2}}{4} = \pi \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}$

Theo đề bài $S(x) \leq \frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})$

$\Leftrightarrow \pi \frac{-2x^{2}+8x+48}{4}\leq \frac{1}{2}(\pi \frac{x^{2}}{4} +\pi \frac{(4-x)^{2}}{4})$

$\Leftrightarrow -2x^{2}+8x+48 \leq \frac{1}{2}(x^{2}+(4-x)^{2}$

$\Leftrightarrow -2x^{2}+8x+48 \leq x^{2}-x+8$

$\Leftrightarrow -2,45 \leq x \leq 5,45$

Mà x > 0 nên ta có:$0 < x \leq 5,45$