Toán lớp 10 tập 2 trang 34 Bài 19: Phương trình đường thẳng

Giải  toán lớp 10 tập 2 trang 34 bài 19 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 2 trang 34

Bài 7.1 trang 34 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ cho $\vec{n}(2; 1)$, $\vec{v}(3; 2)$, $A(1; 3)$, $B(-2; 1)$.

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

b. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua B và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$.

c. Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Hướng dẫn:

a. Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A(1; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2; 1)$:

$2(x – 1) + 1(y – 3) = 0$ hay $2x + y – 5 = 0$.

b. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B(-2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}(3; 2)$:

$\left\{\begin{matrix} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{matrix}\right.$

c. Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec{AB}(-3; -2)$.

Chọn vectơ chỉ phương $\vec{u}(3; 2)$.

Phương trình tham số của đường thẳng AB: $\left\{\begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 3 + 2t \end{matrix}\right.$ (Hoặc có thể dùng điểm B: $\left\{\begin{matrix} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{matrix}\right.$)

Bài 7.2 trang 34 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.

Hướng dẫn:

Trục Ox: có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(0; 1)$, đi qua điểm $O(0; 0)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng chứa trục Ox: $y = 0$.

Trục Oy: có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(1; 0)$, đi qua điểm $O(0; 0)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng chứa trục Oy: $x = 0$.

Bài 7.3 trang 34 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Cho hai đường thẳng $\Delta_1: \left\{\begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{matrix}\right.$ và $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$.

a. Lập phương trình tổng quát của $\Delta_1$.

b. Lập phương trình tham số của $\Delta_2$.

Hướng dẫn:

a. $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}(2; 5)$.

$\Rightarrow \Delta_1$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(5; -2)$.

Phương trình tổng quát: $5(x – 1) – 2(y – 3) = 0$, hay $5x – 2y + 1 = 0$.

b. $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2; 3)$.

$\Rightarrow \Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}(3; -2)$.

$\Delta_2$ đi qua điểm có tọa độ $(1; 1)$. (Thay $x=1$ vào phương trình ta tìm được $y=1$)

Phương trình tham số: $\left\{\begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 1 – 2t \end{matrix}\right.$

Bài 7.4 trang 34 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 2)$, $B(3; 0)$ và $C(-2; -1)$.

a. Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$.

b. Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$.

Hướng dẫn:

a. Phương trình đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ nhận vectơ $\vec{BC}(-5; -1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường cao qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{BC}(-5; -1)$ là:

$-5(x – 1) – 1(y – 2) = 0$ hay $5x + y – 7 = 0$.

b. Gọi $M(x; y)$ là trung điểm của $AC$. Suy ra tọa độ điểm $M$ là:

$\left\{\begin{matrix} x = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2} \\ y = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow M(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$ có vectơ chỉ phương là $\vec{BM}(-\frac{7}{2}; \frac{1}{2})$.

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u}(-7; 1)$.

Phương trình tham số của đường thẳng qua $B$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}(-7; 1)$:

$\left\{\begin{matrix} x = 3 – 7t \\ y = t \end{matrix}\right.$

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A(a; 0)$ và $B(0; b)$ với $ab \ne 0$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Hướng dẫn:

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương $\vec{AB}(-a; b)$.

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(b; a)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng là: $b(x – a) + a(y – 0) = 0$ hay $bx + ay – ab = 0$ (1)

Chia cả hai vế của (1) cho $ab \ne 0$ ta có: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm $A(a; 0)$ và $B(0; b)$ với $ab \ne 0$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Bài 7.6 trang 34 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ $21,2^\circ$ Bắc, kinh độ $105,8^\circ$ Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ $16,1^\circ$ Bắc, kinh độ $108,2^\circ$ Đông. Một máy bay bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm $t$ giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ $x^\circ$ Bắc, kinh độ $y^\circ$ Đông được tính theo công thức:

$\left\{\begin{matrix} x = 21.2 – \frac{153}{40}t \\ y = 105.8 + \frac{9}{5}t \end{matrix}\right.$

a. Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b. Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 ($17^\circ$ Bắc) chưa?

Hướng dẫn:

a. Nếu máy bay đến Đà Nẵng thì $x = 16.1$ và $y = 108.2$.

Ta có: $\left\{\begin{matrix} 16.1 = 21.2 – \frac{153}{40}t \\ 108.2 = 105.8 + \frac{9}{5}t \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow t = \frac{4}{3} \approx 1.33$

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất gần 1,33 giờ.

b. Tại thời điểm 1 giờ thì $t = 1$ thay vào phương trình có:

$\left\{\begin{matrix} x = 21.2 – \frac{153}{40}(1) = 17.375 \\ y = 105.8 + \frac{9}{5}(1) = 107.6 \end{matrix}\right.$

Vậy tại thời điểm 1 giờ, máy bay đã qua vĩ tuyến 17.