Toán lớp 10 tập 2 trang 41 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Giải  toán lớp 10 tập 2 trang 41 bài 20 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 2 trang 41

Bài 7.7 trang 41 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a. $\Delta _{1}:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ và $\Delta _{2}: 6x+2y-\sqrt{6}=0$

b. $d _{1}: x-\sqrt{3}y+2=0$ và $d _{2}: \sqrt{3}x-3y+2=0$

c. $m _{1}: x-2y+1=0$ và $m _{2}: 3x+y-2=0$

Hướng dẫn:

a. $\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{1}}(3\sqrt{2};\sqrt{2})$

$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{2}}(6; 2)$

Ta có $\overrightarrow{n_{1}}$ và $\overrightarrow{n_{2}}$ cùng phương, nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Ta có:

$3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow 3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$

Vậy $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ trùng nhau.

b. Ta có:

$x-\sqrt{3}y+2=0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}=0$

Mà $\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3} \neq \sqrt{3}x-3y+2$, nên $d _{1}$ và $d _{2}$ song song.

c. $m _{1}$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{1}}(1;-2)$

$m _{2}$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{2}}(3;1)$

Ta có $\overrightarrow{n_{1}}$ và $\overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương, nên $d _{1}$ và $d _{2}$ cắt nhau.

Bài 7.8 trang 41 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a. $\Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0$ và $\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0$

b. $d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.$ (t, s là các tham số)

Hướng dẫn:

a. $\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}}(\sqrt{3}; 1)$ $\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}}(1; \sqrt{3})$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$, ta có:

$\cos \varphi =\left | \cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{1^{2}+3}.\sqrt{3+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó, góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi =30^{\circ}$.

b. $d _{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(2; 4)$ $d _{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1; -3)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d _{1}$ và $d _{2}$, ta có:

$\cos \varphi =\left | \cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|2.1-3.4|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Bài 7.9 trang 41 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(-2; 0)$ và đường thẳng $\Delta: x + y – 4 = 0$.

a. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$.

b. Viết phương trình đường thẳng $a$ đi qua điểm $M(-1; 0)$ và song song với $\Delta$.

c. Viết phương trình đường thẳng $b$ đi qua điểm $N(3; 0)$ và vuông góc với $\Delta$.

Hướng dẫn:

a. Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(A; \Delta) = \frac{|-2 + 0 – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

b. Đường thẳng $a$ song song với $\Delta$ nên đường thẳng $a$ có dạng: $x + y + c = 0$.

Do $a$ đi qua $M(-1; 0)$ nên: $-1 + 0 + c = 0$, suy ra $c = 1$.

Vậy phương trình đường thẳng $a$: $x + y + 1 = 0$.

c. Đường thẳng $b$ vuông góc với $\Delta$ nên đường thẳng $b$ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$: $\vec{u}(1; 1)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $b$ là:

$\left\{\begin{matrix} x = 3 + t \\ y = t \end{matrix}\right.$

Bài 7.10 trang 41 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 0)$, $B(3; 2)$ và $C(-2; 1)$.

a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

b. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Hướng dẫn:

a. Viết phương trình đường thẳng $BC$: có vectơ chỉ phương $\vec{BC}(-5; -1)$ và đi qua $B(3; 2)$.

Đường thẳng $BC$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(1; 5)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là: $1(x – 3) + 5(y – 2) = 0$, hay $x + 5y – 13 = 0$.

Độ dài đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ chính là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$.

Áp dụng công thức khoảng cách có: $d(A; BC) = \frac{|1 + 5(0) – 13|}{\sqrt{1^2 + 5^2}} = \frac{12}{\sqrt{26}} = \frac{6\sqrt{26}}{13}$.

b. Độ dài đoạn $BC$ là: $BC = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC} = \frac{1}{2} d(A; BC) \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{6\sqrt{26}}{13} \cdot \sqrt{26} = 6$.

Bài 7.11 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng hai đường thẳng $d: y = ax + b (a \ne 0)$ và $d’: y = a’x + b’ (a’ \ne 0)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $aa’ = -1$.

Hướng dẫn:

Giả sử đường thẳng $d$ và $d’$ vuông góc với nhau, ta chứng minh $aa’ = -1$. Thật vậy,

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a; -1)$.

Đường thẳng $d’$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n’}(a’; -1)$.

Do đường thẳng $d$ và $d’$ vuông góc với nhau nên $\vec{n} \cdot \vec{n’} = 0$.

$\Rightarrow a \cdot a’ + (-1)(-1) = 0$, hay $aa’ = -1$.

Giả sử $aa’ = -1$, ta chứng minh đường thẳng $d$ và $d’$ vuông góc với nhau. Thật vậy,

Xét tích vô hướng: $\vec{n} \cdot \vec{n’} = a \cdot a’ + (-1)(-1) = aa’ + 1 = 0$.

$\Rightarrow \vec{n} \perp \vec{n’}$.

Vậy đường thẳng $d$ và $d’$ vuông góc với nhau.

Bài 7.12 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(1; 3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Hướng dẫn:

Gọi điểm phát tín hiệu là $I(x; y)$.

Do vị trí $I$ đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại $O$, $A$, $B$ nhận được cùng một thời điểm nên: $IO = IA = IB$.

Ta có: $IO = \sqrt{x^2 + y^2}$, $IA = \sqrt{(x – 1)^2 + y^2}$, $IB = \sqrt{(x – 1)^2 + (y – 3)^2}$.

Vì $IO = IA = IB$, nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = (x – 1)^2 + y^2 \\ (x – 1)^2 + y^2 = (x – 1)^2 + (y – 3)^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 1 = 0 \\ -6y + 9 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{3}{2} \end{matrix}\right.$

Vậy điểm cần tìm là $I(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.