Toán lớp 10 tập 2 trang 58: Bài tập cuối chương 7
Toán lớp 10 tập 2 trang 58: Bài tập cuối chương 7
Giải toán lớp 10 tập 2 trang 58 bài tập cuối chương 7 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán lớp 10 tập 2 trang 58
Bài 7.26 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. 2x – y +1 = 0.
B. $\left\{\begin{matrix}x=2t\\ y=t\end{matrix}\right.$
C. x2 + y2 =1.
D. y = 2x + 3
Hướng dẫn:
Đáp án B
Bài 7.27 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A. -x – 2y + 3 = 0
B. $\left\{\begin{matrix}x=2+t\\ y=3-t\end{matrix}\right.$
C. y2 = 2x
D. $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{6}=1$
Hướng dẫn:
Đáp án A
Bài 7.28 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A. x2 – y2 =1
B. (x -1)2 + (y-2)2 = -4
C. x2 + y2 =2
D. y2 = 8x.
Hướng dẫn:
x2 – y2 = 1 có hệ hệ số của y2 là – 1 ≠ 1 nên phương trình x2 – y2 = 1 không là phương trình đường tròn. Do đó A sai.
(x – 2)2 – (y – 2)2 = 1 không thoả mãn dạng của phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2. Do đó B sai.
y2 = 8x là phương trình chính tắc của parabol. Do đó D sai.
x2 + y2 = 2 là phương trình đường tròn có tâm I(0;0) và R = $\sqrt{2}$. Do đó C đúng.
Vậy chọn đáp án C.
Bài 7.29 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{9}=1$
B. $\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{6}=1$
C. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1$
D. $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{1}=1$
Hướng dẫn:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$ có (a = b = 3) không thỏa mãn điều kiện a > b > 0, nên
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó A sai.
$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{6} = 1$
có a = 1, b = $\sqrt{6}$ mà a < b không thỏa mãn điều kiện a > b > 0, nên $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{6} = 1$
không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó B sai.
$\frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{1} = 1$ là phương trình hypebol. Do đó C sai.$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$
là phương trình elip vì a = \sqrt{2}, b = 1 nên a > b > 0. Do đó D đúng.
Vậy chọn đáp án D.
Bài 7.30 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A. $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$
B. $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{6}=1$
C. $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{1}=1$
D. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{1}=1$
Hướng dẫn:
Đáp án B
Bài 7.31 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. x 2 = 4y
B. x 2 = -6y
C. y 2 = 4x
D. y 2 = -4x
Hướng dẫn:
Đáp án C
Bài 7.32 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Viết phương trình đường thẳng BC: có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BC}(-5;-1)$
và đi qua B(3; 5).
$\Rightarrow$ Đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(1; -5)$
$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) – 5(y – 5) = 0, Hay x – 5y +22 = 0
Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
Áp dụng công thức khoảng cách có: $d_{(A; BC)}=\frac{|1.1-5.(-1)+22|}{\sqrt{1^{2}+5^{2}}}=\frac{14\sqrt{26}}{13}$
Độ dài đoạn BC là: BC = $\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$
Diện tích tam giác ABC là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}d_{(A;BC)}.BC=\frac{1}{2}.\frac{14\sqrt{26}}{13}.\sqrt{26}=14$
Bài 7.33 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(-1; 0) và B(3; 1).
a. Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c. Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Hướng dẫn:
a. Đường tròn có bán kính là AB = $\sqrt{(3+1)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{17}$ = R
$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn tâm A bán kính AB là: (x +1)2 + y2 = 17
b. Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$(4;1).
$\Rightarrow$ Đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}$(1; -4)
$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng AB là: 1.(x +1) – 4(y – 0) = 0, Hay x – 4y +1 = 0
c. Khoảng cách từ O đến đường thẳng AB là:
$d_{(O; AB)}=\frac{|0-4.0+1|}{\sqrt{1^{2}+4^{2}}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$
Khoảng cách từ O đến AB là bán kính của đường tròn cần tìm.
$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn tâm O, bán kính $R = \frac{\sqrt{17}}{17} là: x2 + y2 = \frac{1}{17}$
Bài 7.34 trang 58 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 6y -12 = 0.
a. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C).
b. Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.
Hướng dẫn:
a. Tâm I(2; -3) và bán kính R = $\sqrt{2^{2}+3^{2}+12}=5$
b. Do 52 + 12 – 4.5 + 6.1 -12 = 0 nên M(5; 1) thuộc (C).
Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{IM}(3; 4)$
và qua M(5; 1) nên có phương trình là:
3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 hay 3x +4y -19 = 0.
Bài 7.35 trang 59 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Cho elip (E):
$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \, (a > b > 0) $
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của (E) với trục hoành và các giao điểm $B_1, B_2$ của (E) với trục tung. Tính $A_1A_2$; $B_1B_2$.
b) Xét một điểm bất kì $M(x_0; y_0)$ thuộc (E).
Chứng minh rằng: $b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq a^2$ và $b \leq OM \leq a$.
Chú ý: $A_1A_2$; $B_1B_2$ tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là $2a, 2b$.
Hướng dẫn:
a) Giao điểm của (E) với trục hoành có $y = 0$ nên
$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \implies x^2 = a^2 \implies x = \pm a $
Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: $A_1(-a; 0), A_2(a; 0)$.
$ \overrightarrow{A_1A_2}(2a; 0) \implies A_1A_2 = \sqrt{(2a)^2 + 0^2} = 2a $
Giao điểm của (E) với trục tung có $x = 0$ nên
$ \frac{0^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies y^2 = b^2 \implies y = \pm b $
Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: $B_1(0; -b), B_2(0; b)$.
$ \overrightarrow{B_1B_2}(0; 2b) \implies B_1B_2 = \sqrt{0^2 + (2b)^2} = 2b $
Vậy $A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$, $B_1(0; -b)$, $B_2(0; b)$, $A_1A_2 = 2a$, $B_1B_2 = 2b$.
b) Vì $M(x_0; y_0)$ thuộc (E) nên
$ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 $
Vì a > b > 0 nên
$ \frac{x_0^2}{a^2} \leq \frac{x_0^2}{b^2} \quad (\text{Dấu “=” xảy ra khi } x_0 = 0) $
$ \implies \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \leq \frac{x_0^2}{b^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \implies 1 \leq \frac{x_0^2}{b^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{x_0^2 + y_0^2}{b^2} $
$ \implies b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \tag{1} $
Tương tự, ta có:
$ \frac{y_0^2}{a^2} \leq \frac{y_0^2}{b^2} \quad (\text{Dấu “=” xảy ra khi } y_0 = 0) $
$ \implies \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \geq \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{a^2} \implies 1 \geq \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{a^2} \implies x_0^2 + y_0^2 \leq a^2 \tag{2} $
Từ (1) và (2) suy ra:
$ b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq a^2 \quad (\text{đpcm}) $
Mặt khác, ta có:
$ \overrightarrow{OM} = (x_0; y_0) \implies OM = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} $
Mà $b^2 \leq x_0^2 + y_0^2 \leq a^2 \implies b \leq \sqrt{x_0^2 + y_0^2} \leq a \implies b \leq OM \leq a \quad (\text{đpcm}) $
Bài 7.36 trang 59 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Cho hypebol có phương trình:
$ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn của $A_2$).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \leq -a$, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x \geq a$.
c) Tìm các điểm $M_1, M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để $M_1M_2$ nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
a) Giao điểm của (H) với trục hoành có $y = 0$ nên
$ \frac{x^2}{a^2} – \frac{0^2}{b^2} = 1 \implies x^2 = a^2 \implies x = \pm a $
Hơn nữa, hoành độ $A_1$ nhỏ hơn hoành độ $A_2$ nên ta có: $A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$.
Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là $A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$.
b) Ta có:
$ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $
$ \implies \frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{y^2}{b^2} $
Mà $ \frac{y^2}{b^2} \geq 0 $ nên $ \frac{x^2}{a^2} \geq 1 \implies x^2 \geq a^2 $
$ \implies |x| \geq |a| $
$ \implies x \geq a $ hoặc $x \leq -a$.
Vậy điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \leq 0$ nên $x \leq -a$, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x \geq 0$ nên $x \geq a$.
c) Gọi tọa độ điểm $M_1(x_1; y_1)$, $M_2(x_2; y_2)$, tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó $x_1 \leq -a$ và $x_2 \geq a$.
Ta có:
$ \overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 – x_1; y_2 – y_1) \implies M_1M_2 = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} $
Khoảng cách $A_1A_2$ là:
$ A_1A_2 = \sqrt{(a – (-a))^2 + (0 – 0)^2} = 2a $
Vì $x_1 < 0$ và $x_2 > 0$ nên $x_2 – x_1 = |x_2| + |x_1|$ (1).
Mặt khác, ta có: $x_1 \leq -a$ và $x_2 \geq a \implies |x_2| \geq a$ và $|x_1| \geq a$.
$ \implies |x_2| + |x_1| \geq a + a = 2a $ (2).
Từ (1) và (2), ta có: $x_2 – x_1 \geq 2a \implies (x_2 – x_1)^2 \geq (2a)^2$
Ta lại có: $(y_2 – y_1)^2 \geq 0$
$ \implies (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 \geq (2a)^2 + 0 = (2a)^2 $
$ \implies \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \geq 2a \implies M_1M_2 \geq A_1A_2 $
Vậy $M_1M_2$ nhỏ nhất khi $M_1M_2 = A_1A_2$.
Dấu “=” xảy ra khi điểm $M_1 \equiv A_1(-a; 0)$ và $M_2 \equiv A_2(a; 0)$.
Bài 7.37 trang 59 Toán lớp 10 tập 2 Kết nối tri thức
Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm chính giữa hai cột, trục Oy đi qua điểm chính giữa, hai bên cột lần lượt nằm về hai phía của trục tung (như hình vẽ)
Bài tập cuối chương 7
Phương trình hypebol (H) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
(H) cắt trục hoành tại hai điểm A1(-0,4; 0) và A2(0,4; 0), nên a = 0,4.
(H) đi qua điểm có tọa độ M(0,5; 3) nên: $\frac{0,5^{2}}{0,4^{2}}-\frac{3^{2}}{b^{2}}=1$
$\Rightarrow b2 = 16 \Rightarrow b =4$ .
Vậy phương trình (H) là: $\frac{x^{2}}{0,16}-\frac{y^{2}}{16}=1$
Ở độ cao 5 m thì khoảng cách từ vị trí đó đến trục hoành là 2 m, tương ứng ta có tung độ điểm đó là y = 2 $\Rightarrow x2 = 0,2 \Leftrightarrow x \approx \pm 0,45$
Suy ra độ rộng của cột là: 0,45.2 = 0,9 m.