Bài 3: Nhị thức Newton

Giải toán 10 tập 2 trang 35 bài 3 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 2 trang 35

Bài 1 trang 35 Toán 10 tập 2

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a. ${{(3x+y)}^{4}}$

b. ${{(x-\sqrt{2})}^{5}}$

Hướng dẫn:

a. ${{(3x+y)}^{4}}$ =$C_{4}^{0}{{(3x)}^{4}}+C_{4}^{1}.{{(3x)}^{3}}.y+C_{4}^{2}.{{(3x)}^{2}}.{{y}^{2}}+C_{4}^{3}.3x.{{y}^{3}}+C_{4}^{4}.{{y}^{4}}$

=$81{{x}^{4}}+108{{x}^{3}}y+54{{x}^{2}}{{y}^{2}}+12x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$

b. ${{(x-\sqrt{2})}^{5}}$

= $C_{5}^{0}{{x}^{5}}+C_{5}^{1}.{{x}^{4}}.{{(-\sqrt{2})}^{5}}+C_{5}^{2}.{{x}^{3}}.{{(-\sqrt{2})}^{4}}+C_{5}^{3}.{{x}^{2}}.{{(-\sqrt{2})}^{5}}+C_{5}^{4}.x.{{(-\sqrt{2})}^{4}}+C_{5}^{5}.x.{{(-\sqrt{2})}^{5}}$

=${{x}^{5}}+{{x}^{4}}-20\sqrt{2}{{x}^{4}}+40{{x}^{3}}-40\sqrt{2}+20x-4\sqrt{2}$

Bài 2 trang 35 Toán 10 tập 2

Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a. ${{(2+\sqrt{2})}^{4}}$

b. ${{(2+\sqrt{2})}^{4}} + {{(2-\sqrt{2})}^{4}}$

c. ${{(1-\sqrt{3})}^{5}}$

Hướng dẫn:

a. ${{(2+\sqrt{2})}^{4}}=C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$

=$16+32\sqrt{2}+48+16\sqrt{2}+4$

=$68+48\sqrt{2}$.

=$C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}+C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(-\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(-\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$

=$68+48\sqrt{2}$ + 0

=16+$32\sqrt{2}+48+16\sqrt{2}+4+16-32\sqrt{2}+48-16\sqrt{2}+4$

=32+96+8

=136

c.$ {{(1-\sqrt{3})}^{5}}$=

$C_{5}^{0}{{1}^{5}}+C_{5}^{1}{{1}^{4}}.(-\sqrt{3})+C_{5}^{2}{{1}^{3}}.{{(-\sqrt{3})}^{2}}+C_{5}^{3}{{1}^{2}}.{{(-\sqrt{3})}^{3}}+C_{5}^{4}1.{{(-\sqrt{3})}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-\sqrt{3})}^{5}}$

=1-$5\sqrt{3}+30-30\sqrt{3}+45-9\sqrt{3}$

=76-$44\sqrt{3}$

Bài 3 trang 35 Toán 10 tập 2

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(3x-2)^{5}$

Hướng dẫn:

${{(3x-2)}^{5}}$

=$C_{5}^{0}{{(3x)}^{5}}+C_{5}^{1}{{(3x)}^{4}}.(-2)+C_{5}^{2}{{(3x)}^{3}}.{{(-2)}^{2}}+C_{5}^{3}{{(3x)}^{2}}.{{(-2)}^{3}}+C_{5}^{4}(3x).{{(-2)}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-2)}^{5}}$

=$243{{x}^{5}}-810{{x}^{4}}+1080{{x}^{3}}-720{{x}^{2}}+240x-32$

Hệ số $x^{3}$ trong khai triển $(3x-2)^{5}$ là 1080

Bài 4 trang 35

Chứng minh rằng: $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$

Hướng dẫn:

$C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}$=0(*)

VT(*)=$\left( C_{5}^{0}-C_{5}^{5} \right)+\left( C_{5}^{4}-C_{5}^{1} \right)+\left( C_{5}^{2}-C_{5}^{3} \right)$

=$\left( C_{5}^{0}-C_{5}^{0} \right)+\left( C_{5}^{1}-C_{5}^{1} \right)+\left( C_{5}^{2}-C_{5}^{2} \right)$

= 0 + 0 + 0= 0 = VP(*)

Bài 5 trang 35

Cho A=$\{{{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A.

Hướng dẫn:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử $(1\le k\le 5)$ là một tổ hợp chập k của A.

Tập con số lẻ 1 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5

$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{1}$

Tập con số lẻ 3 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5

$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{3}$

Tập con số lẻ 5 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5

$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{5}$

$\Rightarrow$

Số tập con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng: $C_{5}^{1} + C_{5}^{3} + C_{5}^{5} (1)$

Tập con số chẵn 0 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5

$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{0}$

Tập con số chẵn 2 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5

$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{2}$

Tập con số chẵn 4 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5

$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{4}$

$\Rightarrow$ Số tập con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A bằng: $C_{5}^{0} + C_{5}^{2} + C_{5}^{4} (2)$

Có: $C_{5}^{1} = C_{5}^{4} ; C_{5}^{3} = C_{5}^{2} ; C_{5}^{5} = C_{5}^{0} (3)$

Từ (1); (2) và (3) $\Rightarrow$

số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A