Toán 10 tập 2 trang 44 Bài 1: Tọa độ của vecto
Toán 10 tập 2 trang 44 Bài 1: Tọa độ của vecto
Giải toán 10 tập 2 trang 44 bài 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 10 tập 2 trang 44
Bài 1 trang 44 Toán 10 tập 2
Bài tập 1. Trên trục $(O; \vec{e})$ cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.
a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.
b. Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng hướng hay ngược hướng.
Hướng dẫn:
a.
b. Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ ngược hướng nhau.
Toán 10 tập 2 trang 45
Bài 2 trang 45 Toán 10 tập 2
Chứng minh rằng:
a. $\vec{a}$ = (4; -6) và $\vec{b}$= (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.
b.$\vec{a}$= (-2; 3) và $\vec{b}$ = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.
c. $\vec{a}$ = (0; 4) và $\vec{b}$ = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.
Hướng dẫn:
a. Nhận thấy: $\vec{a}$ = $-2\vec{b}$ $\Rightarrow$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.
b. Nhận thấy: $\vec{a}$ = $4\vec{b}$ $\Rightarrow$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
c. Ta có:$|\vec{a}|$ = $\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ = 4; $|\vec{b}| = \sqrt{0^{2} + (-4)^{2}}$ = 4
Nhận thấy:$\vec{a} = -\vec{b} mà |\vec{a}| = |\vec{b}|$ = 4
$\Rightarrow$ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ đối nhau.
Bài 3 trang 45 Toán 10 tập 2
Tìm tọa độ các vectơ sau:
a. $\vec{a} = 2\vec{i} + 7\vec{j}$;
b.$\vec{b}=-\vec{i}+3\vec{j}$;
c. $\vec{c} = 4\vec{i}$;
d. $\vec{d} = -9\vec{j}$.
Hướng dẫn:
a. $\vec{a} = (2; 7)$;
b. $\vec{b} = (-1; 3)$;
c. $\vec{c} = (4; 0)$;
d. $\vec{d} = (0; -9)$
Bài 4 trang 45 Toán 10 tập 2
Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
a. Thuộc trục hoành;
b. Thuộc trục tung;
c. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
Hướng dẫn:
a. Điểm B(4; 0) thuộc trục hoành.
b. Điểm C(0; -3) thuộc trục tung.
c. Điểm D(2; 2) thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Bài 5 trang 45 Toán 10 tập 2
Cho điểm $M(x_{0}; y_{0})$. Tìm tọa độ:
a. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;
b. Điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox;
c. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;
d. Điểm M” đối xứng với M qua trục Oy.
e. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.
Hướng dẫn:
a. $H(x_{0}; 0)$
b. M’ đối xứng với M qua trục Ox $\Rightarrow$ H là trung điểm của MM’
$\begin{cases}x_H=x_M+x_{M’}^2\\y_H=y_M+y_{M’}^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=x_0+x_{M’}^2\\0=y_0+y_{M’}^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x_0=x_0+x_{M’}^2\\0=y_0+y_{M’}^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{M’}^2=x_0\\y_{M’}^2=-y_0\end{cases}$
Vậy điểm M’ đối xứng với M qua trục Ox thì M’ có tọa độ là: M'(x0; −y0).
c) Do điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy nên K có hoành độ bằng 0 và tung độ bằng tung độ của điểm M, tức là K(0; y0)
Vậy điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy thì K có tọa độ là: K(0; y0).
d) M” đối xứng với M qua trục Oy ⇒ K là trung điểm của MM”
$\begin{cases}x_K=x_M+x_{M”}^2\\y_K=y_M+y_{M”}^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}0=x_0+x_{M”}^2\\y_0=y_0+y_{M”}^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{M”}^2=-x_0\\y_{M”}^2=0\end{cases}$
⇒ M”(−x0; y0).
Vậy điểm M” đối xứng với M qua trục Oy thì M”(−x0; y0).
e) Vì C đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên O là trung điểm của CM.
$\begin{cases}x_O=x_M+x_C^2\\y_O=y_M+y_C^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}0=x_0+x_C^2\\0=y_0+y_C^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_C^2=-x_0\\y_C^2=-y_0\end{cases}$
⇒ C(−x0; −y0).
Vậy điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ thì C có tọa độ là: C(−x0; −y0).
Bài 6 trang 45 Toán 10 tập 2
Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).
a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
c. Giải tam giác ABC.
Hướng dẫn:
a. Xét D(x; y). Ta có: $\vec{AB}$ = (1; 3); $\vec{DC}$ = (5 – x; 5 – y)
Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{AB} = \vec{DC}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5 – x = 1\\ 5 – y = 3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 4\\ y = 2\end{matrix}\right.$
Vậy D(4; 2)
b. Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}= \frac{x_{A} + x_{C}}{2}\\ y_{M} = \frac{y_{A}+y_{C}}{2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}= \frac{2 + 5}{2}\\ y_{M} = \frac{2+5}{2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}= \frac{7}{2}\\ y_{M} = \frac{7}{2}\end{matrix}\right.$
Vậy M$(\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$
c. Ta có: $\vec{AC}$ = (3; 3), $\vec{BC}$ = (2; 0)
Suy ra: AB = $|\vec{AB}|$ = $\sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$
AC = $|\vec{AC}| = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2}$
BC = $|\vec{BC}| = \sqrt{2^{2} + 0^{2}}$ = 2
cosA = $cos(\vec{AB},\vec{AC}) = \frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB.AC} = \frac{1.3+3.3}{\sqrt{10}.3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \widehat{A} \approx 26^{\circ}34$
cosB = $cos(\vec{BA},\vec{BC}) = \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{BA.BC} = \frac{(-1).2+(-3).0}{\sqrt{10}.2} = \frac{-\sqrt{10}}{10} \Rightarrow \widehat{B} \approx 108^{\circ}26$
cosC = $cos(\vec{CA},\vec{CB}) = \frac{\vec{CA}.\vec{CB}}{CA.CB} = \frac{(-3).(-2)+(-3).0}{3\sqrt{2}.2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Bài 7 trang 45 Toán 10 tập 2
Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.
a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.
c. Giải tam giác ABC
Hướng dẫn:
a. $\vec{MP}$ = $(3; 1) \vec{BN} = (3 – x_{B}; 4 – y_{B})$
Có M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC
$\Rightarrow$ MP // BC và MP = $\frac{1}{2}$BC = BN $\Rightarrow$ MPNB là hình bình hành
$\Rightarrow \vec{MP} = \vec{BN}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3 = 3 – x_{B}\\ 1 = 4 – y_{B}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{B}= 0\\ y_{B} = 3\end{matrix}\right. \Rightarrow B(0; 3)$
Ta có: N là trung điểm của BC nên
$\left\{\begin{matrix}x_{C}= 2x_{N} – x_{B}\\ y_{C} = 2y_{N} – y_{B}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{C} = 2.3 – 0\\ y_{C} = 2.4-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{C}= 6\\ y_{C} = 5 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ C(6; 5)
Ta có: M là trung điểm của AB nên
$\left\{\begin{matrix}x_{A}= 2x_{M} – x_{B}\\ y_{A} = 2y_{M} – y_{B}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A} = 2.2 – 0\\ y_{A} = 2.2-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A}= 4\\ y_{A} = 1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ A(4; 1)
Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}\\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{4+0+6}{3}\\ y_{G} = \frac{1+3+5}{3}\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{10}{3}\\ y_{G} =3\end{matrix}\right. \Rightarrow G(\frac{10}{3}; 3)$ (1)
Gọi G’ là trọng tâm tam giác MNP, ta có:
$\begin{cases}x_{G’}=\frac{x_M+x_N+x_P}{3}\\y_{G’}=\frac{y_M+y_N+y_P}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{G’}=\frac{2+3+5}{3}\\y_{G’}=\frac{2+4+3}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{G’}=\frac{10}{3}\\y_{G’}=3\end{cases}$
Từ (1) và (2)$\Rightarrow$ G =G’
Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.
c. Ta có: $\vec{AB}$ = (-4; 2); $\vec{AC}$ = (2; 4); $\vec{BC}$ = (6; 2)
Suy ra: AB = $|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$
AC = $|\vec{AC}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$
BC = $|\vec{BC}| = \sqrt{6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{10}$
cosA = $cos(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{\vec{AB}. \vec{AC}}{AB.AC} = \frac{(-4). 2 + 2.4}{2\sqrt{5}. 2\sqrt{5}} = 0 \Rightarrow \widehat{A} = 90^{\circ}$
Xét tam giác ABC có AB = AC = $2\sqrt{5}$ và $\widehat{A} = 90^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tam giác ABC vuông cân tại A $\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = 45^{\circ}$
Bài 8 trang 45 Toán 10 tập 2
Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).
a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB
b. Tính chu vi tam giác OAB.
c. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Hướng dẫn:
a. D nằm trên trục Ox nên D(x; 0) $\Rightarrow$ $\vec{AD}$ = (x – 1; -3)$; \vec{BD}$ = (x – 4; -2)
Ta có: DA = DB $\Rightarrow$ $(x – 1)^{2} + (-3)^{2} = (x – 4)^{2} + (-2)^{2}$
$\Leftrightarrow x^{2} – 2x + 1 + 9 = x^{2} – 8x + 16 + 4 \Leftrightarrow 6x = 10 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}$
Vậy D$(\frac{5}{3};0)$
b. Ta có:$\vec{OA} = (1; 3); \vec{OB} = (4; 2); \vec{AB} = (3; -1)$
Suy ra: $OA = |\vec{OA}| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$
OB = $|\vec{OB}| = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$
AB = $|\vec{AB}| = \sqrt{3^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}$
$\Rightarrow$ Chu vi tam giác OAB là: OA + OB + AB = $\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}$
c. Ta có: $\vec{OA}.\vec{AB}$ = 1. 3 + 3. (-1) = 0
$\Rightarrow \vec{OA} \perp \vec{AB}$
$\Rightarrow S_{OAB} = \frac{1}{2}OA. AB = \frac{1}{2}. \sqrt{10}. \sqrt{10} = 5$
Bài 9 trang 45 Toán 10 tập 2
Tính góc xen giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong các trường hợp sau:
a. $\vec{a} = (2; -3), \vec{b} = (6; 4)$
b.$ \vec{a} = (3; 2); \vec{b} = (5; -1)$
c. $\vec{a} = (-2; -2\sqrt{3}), \vec{b} = (3; \sqrt{3})$
Hướng dẫn:
a. $cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|. |\vec{b}|} = \frac{2. 6 + (-3). 4}{\sqrt{2^{2} + (-3)^{2}}. \sqrt{6^{2} + 4^{2}}} = 0 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$
b. $cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|. |\vec{b}|} = \frac{3. 5 + (2. (-1)}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}. \sqrt{5^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$
c. $cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|. |\vec{b}|} = \frac{(-2).3 + (-2\sqrt{3}).\sqrt{3}}{\sqrt{(-2)^{2} + (-2\sqrt{3})^{2}}. \sqrt{3^{2} + (\sqrt{3})^{2}}} = \frac{-\sqrt{3}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 150^{\circ}$
Bài 10 trang 45 Toán 10 tập 2
Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Hướng dẫn:
Ta có: $\vec{AB} = (1; 7), \vec{DC} = (1; 7); \vec{AD} = (-7; 1)$
Nhận thấy:$\vec{AB} = \vec{DC}$ $\Rightarrow$ ABCD là hình bình hành
Mà$|\vec{AB}| = |\vec{AD}|$ (vì cùng =$5\sqrt{2}$) hay AB = AD
$\Rightarrow$ ABCD là hình thoi (1)
Ta có:$\vec{AB}. \vec{AD} = 1. (-7) + 7. 1 = 0 \Rightarrow \vec{AB} \perp \vec{AD} \Rightarrow AB \perp AD$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ ABCD là hình vuông
Bài 11 trang 45 Toán 10 tập 2
Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc $\vec{v} = (-210; -42)$. Cho biết vận tốc của gió là $\vec{w} = (-12; -4)$ và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$
Hướng dẫn:
Ta có:$\vec{v} + \vec{w}$ = (-210 + (-12); -42 + (-4))= (-222; -46)
Độ dài của vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$ là:
$|\vec{v} + \vec{w}| = \sqrt{(-222)^{2} + (-46)^{2}} = 10\sqrt{514}$ (km)