Toán 10 tập 2 trang 57 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Giải toán 10 tập 2 trang 57 bài 2 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 2 trang 57

Bài 1 trang 57 Toán 10 tập 2

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a. d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; 1)

b. d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (3; -2)

c. d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2

d. d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Hướng dẫn:

a. Ta có $\vec{u}$ = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận $\vec{n}$ = (1; -2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận $\vec{u}$ = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{matrix} x = -1 + 2t\\ y = 5 + t\end{matrix}\right.$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận $\vec{n} = (1; -2)$ là vectơ pháp tuyến là:

1(x + 1) – 2(y – 5) = 0 $\Leftrightarrow$ x – 2y + 11 = 0

b. Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; -2) và nhận $\vec{n}$ = (3; -2) là vectơ pháp tuyến là:

3(x – 4) – 2(y + 2) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x – 2y – 16 = 0

Ta có $\vec{n}$ = (3; -2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận $\vec{u}$ = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; -2) và nhận $\vec{u}$ = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là:

$\left\{\begin{matrix}x = 4 + 2t\\ y = -2 + 3t\end{matrix}\right.$

c. Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + $y_{0}$

Vì hệ số góc k = -2 nên ta có: y = -2x + $y_{0}$

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được:1 = -2. 1 + $y_{0} \Rightarrow y_{0}$ = 3

$\Rightarrow$

Phương trình tổng quát của d là: y = -2x + 3 $\Leftrightarrow$ 2x + y – 3 = 0

Ta có: d nhận $\vec{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến $\Rightarrow$ $\vec{u}$ = (1; -2) là vectơ chỉ phương của d.

$\Rightarrow$

Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận $\vec{u}$ = (1; -2) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t\\ y = 1 -2t\end{matrix}\right.$

d. Ta có:$\vec{QR}$ = (-3; 2) là vectơ chỉ phương của d $\Rightarrow$ d nhận $\vec{n}$ = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận \vec{QR} = (-3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

$\left\{\begin{matrix}x = 3 – 3t\\ y = 2t\end{matrix}\right.$

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\vec{n} = (2; 3)$ làm vectơ pháp tuyến là:

2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y – 6 = 0

Bài 2 trang 57 Toán 10 tập 2

Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b. Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c. Lập phương trình của đường cao AH.

Hướng dẫn:

a. Ta có 2(x – 3) + 3(y – 0) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y – 6 = 0 nhận $\vec{n}$ = (2; -4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận $\vec{n}$ = (2; -4) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x – 1) – 4(y – 2) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x – 4y + 6 = 0 $\Leftrightarrow$ x – 2y + 3 = 0

b. Ta có M là trung điểm của BC $\Rightarrow M(\frac{1 + 5}{2}; \frac{2 + 4}{2}) \Rightarrow M(3; 3)$

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận $\vec{AM}$ = (1; -2) làm vectơ chỉ phương là:

$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t\\ y = 5 – 2t\end{matrix}\right.$

c. Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận $\vec{BC}$ = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là:

4(x – 2) + 2(y – 5) = 0 $\Leftrightarrow$ 4x + 2y – 18 = 0

$\Leftrightarrow$ 2x + y – 9 = 0

Bài 3 trang 57 Toán 10 tập 2

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong mỗi trường hợp sau:

a. $\Delta$ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b. $\Delta$ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Hướng dẫn:

a. Vì $\Delta$ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên $\Delta$ nhận $\vec{n}$ = (3; 1)

làm vectơ pháp tuyến và $\vec{u}$ = (1; -3) làm vectơ chỉ phương.

$\Rightarrow$

Phương trình tổng quát đường thẳng $\Delta$

đi qua A(2; 1) và nhận $\vec{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x – 2) + 1(y – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x + y – 7 = 0

Phương trình tham số của \Delta đi qua A(2; 1) và nhận $\vec{u}$ = (1; -3) làm vectơ chỉ phương là:

$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t\\ y = 1 – 3t\end{matrix}\right.$

b. Vì $\Delta$ vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0 nên $\Delta$ nhận $\vec{u}$ = (2; -1)

làm vectơ chỉ phương và $\vec{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

$\Rightarrow$

Phương trình tổng quát đường thẳng $\Delta$ đi qua B(-1; 4) và nhận $\vec{n}$ = (1; 2)

làm vectơ pháp tuyến là:

1(x + 1) + 2(y – 4) = 0 $\Leftrightarrow$ x + 2y – 7 = 0

Phương trình tham số của $\Delta$ đi qua B(-1; 4) và nhận $\vec{u}$ = (2; -1)

làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{matrix}x = -1 + 2t\\ y = 4 – t\end{matrix}\right.$

Bài 4 trang 57 Toán 10 tập 2

Xét vị trí tương đối của các cặp dường thẳng d_{1} và d_{2}sau đây:

a. $d_{1}$: x – y + 2 = 0 và $d_{2}$: x + y + 4 = 0

b. $d_{1}$: $\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t\\ y = 3 + 5t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}$: 5x – 2y + 9 = 0

c. $d_{1}$:$ \left\{\begin{matrix}x = 2 – t\\ y = 5 + 3t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}$: 3x + y – 11 = 0.

Hướng dẫn:

a. Ta có $d_{1}$ và $d_{2}$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (1; -1) và $\vec{n_{2}}$ = (1; 1).

Ta có: $\vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} = 1. 1 + 1. (-1) = 0 \Rightarrow \vec{n_{1}} \perp\vec{n_{2}}$. Do đó, $d_{1} \perp d_{2}$.

Tọa độ M là giao điểm của $d_{1}$ và $d_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x – y + 2 = 0\\ x + y + 4 = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -3\\ y = -1\end{matrix}\right.$

Vậy $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ và cắt nhau tại M(-3; -1).

b. Ta có $\vec{u_{1}}$ = (2; 5) là vectơ chỉ phương của $d_{1} \Rightarrow \vec{n_{1}}$ = (5; -2)

là vectơ pháp tuyến của $d_{1}$.

$\vec{n_{2}}$ = (5; -2) là vectơ pháp tuyến của $d_{2}$.

Ta có: $\vec{n_{1}} = \vec{n{2}}$ nên $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó, $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M(1; 3) \in d_{1}$, thay tọa độ của M vào phương trình $d_{2}$, ta được: 5. 1 – 2. 3 + $9 \neq 0$

$\Rightarrow M \notin d_{2}$.

Vậy $d_{1} // d_{2}$.

c. $\vec{u_{1}} = (-1; 3)$ là vectơ chỉ phương của $d_{1} \Rightarrow\vec{n_{1}}$ = (3; 1)

là vectơ pháp tuyến của $d_{1}$.

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của d đi qua điểm A(2; 5) và nhận $\vec{n_{1}}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến là: 3(x – 2) + 1(y – 5) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x + y – 11 = 0

Ta có: $\vec{n_{2}}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của $d_{2}$.

Ta có: $\vec{n_{1}} = \vec{n_{2}}$ nên $\vec{n_{1}} và \vec{n_{2}}$

là hai vectơ cùng phương. Do đó, $d_{1}$ và $d_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $N(2; 5) \in d_{1}$, thay tọa độ của N vào phương trình $d_{2}$

, ta được: 3. 2 + 5 – 11 = 0

$\Rightarrow N \in d_{2}$.

Vậy $d_{1} \equiv d_{2}$

Toán 10 tập 2 trang 58

Bài 5 trang 58 Toán 10 tập 2

Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{matrix}x = 2 – t\\ y = 5 + 3t\end{matrix}\right.$ Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ

Hướng dẫn:

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x = 2 – t\\ 0 = 5 + 3t\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} t = -\frac{5}{3}\\ x = \frac{11}{3} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A = (\frac{11}{3}; 0)$

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 0 = 2 – t\\ y = 5 + 3t\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} t = 2\\ y = 11 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ B = (0; 11)

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm $A(\frac{11}{3}; 0)$ và B(0; 11).

Bài 6 trang 58 Toán 10 tập 2

Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:

a. $d_{1}$: x – 2y + 3 = 0 và $d_{2$}: 3x – y – 11 = 0

b. $d_{1}: \left\{\begin{matrix}x = t\\ y = 3 + 5t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}$: x + 5y – 5 = 0

c. $d_{1}: \left\{\begin{matrix}x = 3 + 2t\\ y = 7 + 4t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}: \left\{\begin{matrix}x = t’\\ y = -9 + 2t’\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn:

a. Ta có: $cos(d_{1}, d_{2}) = \frac{|1.3 + (-2).(-1)}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}. \sqrt{3^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 45^{\circ}$

b. Ta có$\vec{n_{1}} = (5; -1) và \vec{n_{2}} = (1; 5)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $d_{1}$ và $d_{2}$

Ta có: $\vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} = 5. 1 + (-1). 5 \Rightarrow \vec{n_{1}} \perp \vec{n_{2}} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 90^{\circ}$.

c. Hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}$ = (2; 4) và $\vec{u_{2}}$ = (1; 2).

Ta có: $\vec{u_{1}} = 2\vec{u_{2}} \Rightarrow \vec{u_{1}} // \vec{u_{2}} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 0^{\circ}$.

Bài 7 trang 58 Toán 10 tập 2

Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:

a. M(1; 2) và $\Delta$: 3x – 4y + 12 = 0;

b. M(4; 4) và $\Delta$: $\left\{\begin{matrix}x = t\\ y = -t\end{matrix}\right.$;

c. M(0; 5) và $\Delta$: $\left\{\begin{matrix}x = t\\ y = \frac{-19}{4}\end{matrix}\right.$;

d. M(0; 0) và $\Delta$: 3x + 4y – 25 = 0

Hướng dẫn:

a. $d(M; \Delta) = \frac{|3. 1 – 4. 2 + 12}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{7}{5}$

b. Phương trình tổng quát của $\Delta$ đi qua điểm O(0; 0) và nhận $\vec{n}$ = (1; 1)

làm vectơ pháp tuyến là: x + y = 0

$d(M; \Delta) = \frac{|4 + 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{8\sqrt{2}}{2}$

c. Phương trình tổng quát của $\Delta$ đi qua điểm $A(0; \frac{-19}{4})$ và nhận $\vec{n}$ = (0; 1)

làm vectơ pháp tuyến là: $0(x – 0) + (y – \frac{-19}{4}) = 0 \Leftrightarrow y + \frac{19}{4} = 0$

$d(M; \Delta) = \frac{|5 + \frac{19}{4}|}{1} = \frac{39}{4}$

d. $d(M; \Delta) = \frac{|3. 0 + 4. 0 – 25|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$ = 5

Bài 8 trang 58 Toán 10 tập 2

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

$\Delta$: 3x + 4y – 10 = 0

$\Delta’$: 6x+8y-1=0

Hướng dẫn:

Ta có: $\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \neq \frac{-10}{-1} \Rightarrow \Delta // \Delta’$

Lấy điểm $M(2; 1) \in \Delta$

$\Rightarrow d(\Delta; \Delta’) = d(M; \Delta’) = \frac{|6.2 + 8.1 – 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{19}{10}$

Bài 9 trang 58 Toán 10 tập 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d: 12x – 5y + 16 = 0

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Hướng dẫn:

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Ta có: $d(M; d) = \frac{|12. 5 – 5. 10 + 1|}{\sqrt{12^{2} + (-5)^{2}}} = 2$

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2.

Bài 10 trang 58 Toán 10 tập 2

Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.

a. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Hướng dẫn:

a. Ta có: $\vec{AB} = (10; 5), \vec{AC} = (6; -4), \vec{BC} = (-4; -9)$

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(-1; 1) và nhận $\vec{n_{1}}$ = (5; -10) là vectơ pháp tuyến là:

5(x + 1) – 10(y – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ 5x – 10y + 15 = 0 $\Leftrightarrow$ x – 2y + 3 = 0

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(-1; 1) và nhận $\vec{n_{2}}$ = (4; 6) là vectơ pháp tuyến là:

4(x + 1) + 6(y – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ 4x + 6y – 2 = 0 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y – 1 = 0

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận $\vec{n_{3}}$ = (9; -4) là vectơ pháp tuyến là: 9(x – 9) – 4(y – 6) = 0 $\Leftrightarrow$ 9x – 4y – 57 = 0

b. $cos(AB, AC) = \frac{|1. 2 + (-2).3|}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}. \sqrt{2^{2} + 3^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{65}} \Rightarrow (AB, AC) \approx 60^{\circ}15$

c. $d(A; BC) = \frac{|9. (-1) – 4. 1 – 57|}{\sqrt{9^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{70}{\sqrt{97}}$