Toán 10 tập 2 trang 62 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải toán 10 tập 2 trang 62 bài 3 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 2 trang 62

Bài 1 trang 62 Toán 10 tập 2

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a.$x^2+y^2-6x-8y+21=0$;

b. $x^{2} + y^{2} – 2x + 4y + 2$ = 0;

c. $x^{2} + y^{2} – 3x + 2y + 7$ = 0;

d. $2x^{2} + 2y^{2} + x + y – 1$ = 0

Hướng dẫn:

a. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c = 0$ với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có: $a^{2} + b^{2} – c = 3^{2} + 4^{2} – 21 = 4 > 0$

. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính R = $\sqrt{4}$ = 2.

b. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c$ = 0 với a = 1, b = -2, c = 2

Ta có: $a^{2} + b^{2} – c = 1^{2} + (-2)^{2} – 2 = 3 > 0$

. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và có bán kính R = $\sqrt{3}$.

c. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c$ = 0 với a = $\frac{3}{2}$, b = -1, c = 7

Ta có: $a^{2} + b^{2} – c = (\frac{3}{2})^{2} + (-1)^{2} – 74 = -\frac{15}{4} < 0$. Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d. Ta có: $2x^{2} + 2y^{2} + x + y – 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y – \frac{1}{2} = 0$.

Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c = 0$ với a = $-\frac{1}{4}, b = -\frac{1}{4}$ , c = -$\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2} + b^{2} – c = (-\frac{1}{4})^{2} + (-\frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} > 0$.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4})$ và bán kính R = $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Bài 2 trang 62 Toán 10 tập 2

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x – 12y + 11 = 0;

d. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Hướng dẫn:

a. Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là: $(x – 1)^{2} + (y – 5)^{2} = 16$

b. Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của MN $\Rightarrow$ I = $(\frac{3+9}{2}; \frac{-1+3}{2})$ $\Rightarrow$ I = (6; 1)

Ta có: R = MI = $\sqrt{(6 – 3)^{2} + (1 + 1)^{2}} = \sqrt{13}$ Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính $R = \sqrt{13}$ là:

$(x – 6)^{2} + (y – 1)^{2}$ = 13

c. Ta có: R = d(I, d) = $\frac{|5. 2 – 12. 1 + 11|}{\sqrt{5^{2} + (-12)^{2}}} = \frac{9}{13}$

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính R = $\frac{9}{13}$ là:

$(x – 2)^{2} + (y – 1)^{2} = \frac{81}{169}$

d. Ta có R = AB = $\sqrt{(4 – 1)^{2} + (-5 + 2)^{2}} = 3\sqrt{2}$ Phương trình đường tròn (C) tâm A(1; -2) và bán kính $R = 3\sqrt{2}$ là: $(x – 1)^{2} + (y + 2)^{2}$ = 18

Bài 3 trang 62 Toán 10 tập 2

Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Hướng dẫn:

a. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c = 0$. Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}2^{2} + 5^{2} – 4a – 10b + c = 0\\ 1^{2} + 2^{2} – 2a – 4b + c = 0\\ 5^{2} + 4^{2} – 10a – 8b + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4a + 10b – c = 29\\ 2a + 4b – c = 5\\ 10a + 8b – c = 41\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 3\\ b = 3\\ c = 13 \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:

$x^{2} + y^{2} – 6x – 6y + 13 = 0$

b. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} – 2ax – 2by + c = 0$.

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 6^{2} – 12b + c = 0\\ 7^{2} + 7^{2} – 14a – 14b + c = 0\\ 8^{2} – 16a + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12b – c = 36\\ 14a + 14b – c = 98\\ 16a – c = 64\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 4\\ b = 3\\ c = 0\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$x^{2} + y^{2} – 8x – 6y = 0$

Bài 4 trang 62 Toán 10 tập 2

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Hướng dẫn:

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: R = d(I; Ox) = d(I; Oy) $\Rightarrow$ R = a = b $\Rightarrow$ (C) có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

=> Phương trình đường tròn (C) là: $(x – a)^{2} + (y – a)^{2} = a^{2}$

Ta có $A(4; 2) \in (C)$ nên $(4 – a)^{2} + (2 – a)^{2} = a^{2}$

=> $16 – 8a + a^{2} + 4 – 4a + a^{2} = a^{2}$

=> $a^{2} – 12a + 20 = 0 => a = 10 hoặc a = 2

Vậy (C): $(x – 10)^{2} + (y – 10)^{2} = 100 hoặc (x – 2)^{2} + (y – 2)^{2} = 4$

Bài 5 trang 62 Toán 10

Cho đường tròn (C) có phương trình $x^{2} + y^{2} – 2x – 4y – 20 = 0$.

a. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0

Hướng dẫn:

a. Ta có:$4^{2} + 6^{2} – 2. 4 – 4. 6 – 20 = 0$ Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là:

(1 – 4)(x – 4) + (2 – 6)(y – 6) = 0 => -3x – 4y + 36 = 0 => 3x + 4y – 36 = 0

c. Tiếp tuyến $\Delta$ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

$\Delta$: 4x + 3y + c = 0 $(c \neq 2022)$

Ta có: R = d(I; $\Delta$) => $\frac{|4.1 + 3. 2 + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \frac{|10 + c|}{5}$ = 5 => $|10 + c| = 25 => c = 15 hoặc c = -35

Vậy $\Delta$: 4x + 3y + 15 = 0 hoặc $\Delta$: 4x + 3y – 35 = 0

Bài 6 trang 62 Toán 10

Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

a. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Hướng dẫn:

a. Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính $R = 4,2 là: x^{2} + y^{2} = 17,64$

=> Phương trình mô phỏng cái cổng là: $x^{2} + y^{2} = 17,64 (y \geq 0)$

b. Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được y = $\sqrt{17, 64 – 2,2^{2}} \approx 3,58 > 2,6$

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.